Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
является верным числовым равенством. А это
),,(
111
zyx
0)()()(
ooo
zzCyyBxxA
),,(
ooo
zyx
),,(
222
zyx
0)()()(
ooo
zzCyyBxxA
0)()()(
222
ooo
zzCyyBxxA
),,(
2222
zyxM
),,(
2222
zyxM
означает, что тройка чисел является решением
уравнения
.
Непосредственной подстановкой в уравнение легко
убедиться, что тройка чисел также является
решением этого уравнения. Таким образом, если точка
лежит на плоскости, то ее координаты образуют решение
рассматриваемого уравнения.
Докажем теперь, что если тройка чисел есть
решение рассматриваемого уравнения, то точка,
координаты которой есть эти числа, лежит на плоскости.
Пусть тройка чисел есть решение
уравнения
,
то есть
есть верное числовое равенство. Докажем, что точка
принадлежит плоскости.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
точка не лежит на плоскости .
201
Из элементарной геометрии следует, что вектор
},,{
2222 oooo
zzyyxxMM
0)()()(
222
ooo
zzCyyBxxA
),,(
222
zyx
0)()()(
ooo
zzCyyBxxA
не перпендикулярен вектору
не является верным числовым равенством. Или
соответствующее равенство для координат
не является верным числовым равенством. Но это
противоречит сделанному предположению о том, что
тройка чисел есть решение уравнения
и значит равенство
202
. Тогда равенство
,
0)()()(
121212
zzCyyBxxA
),,(
2222
zyxM
),,(
2222
zyxM
)4,1,2(
o
M
0)4(2)1(5)2(3 zyx
019253 zyx
0)()()(
ooo
zzCyyBxxA
0)(
ooo
CzByAxCzByAx
есть верное числовое равенство. Следовательно,
предположение о том, что точка не лежит
на плоскости не верно. Следовательно, точка
лежит на плоскости. Теорема доказана.
Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей
через точку и перпендикулярной вектору
.
Решение. Как показано выше, уравнение имеет вид
или
.
Если в уравнении
раскрыть скобки, то получим уравнение вида
.
Обозначим
203
.
ooo
CzByAxD
0 DCzByAx
0 DCzByAx
0 DCzByAx
CBA ,,
),,(),,,(),,,(
333322221111
zyxMzyxMzyxM
Тогда уравнение примет вид
.
Таким образом, уравнение любой плоскости можно
записать в виде
.
При этом вектор нормали к плоскости равен .
Уравнение плоскости, записанное в таком виде, называется
общим уравнением плоскости. Можно показать, что
уравнение вида
,
где хотя бы одно из чисел отлично от нуля,
есть уравнение какой-то плоскости.
Как известно из элементарной геометрии, через
три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
плоскость и при том только одну. В связи с этим в общем
виде рассмотрим следующую задачу. Записать уравнение
плоскости, проходящей через три точки
,
не лежащие на одной прямой.
204
21
MM
31
MM
321
,, MMM
3121
, MMMM
1
M
0)(},,{
3121111
MMMMzzyyxx
Векторы и лежат в плоскости и не
коллинеарны, так как точки не лежат на
одной прямой. Тогда вектор
, будучи
перпендикулярный векторам , будет
перпендикулярен плоскости
. Следовательно, вектор
можно взять в качестве нормали к плоскости. Тогда
поставленная задача сводится к решению рассмотренной
выше задачи: записать уравнение плоскости, проходящей
через точку и перпендикулярной вектору
. Уравнение
этой плоскости можно записать в виде
Так как
, то левая часть уравнения
=0
принимает вид смешанного произведения векторов
.
Учитывая, что
205
},,,{
},,,{
13131331
12121221
zzyyxxMM
zzyyxxMM
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
)2,3,5(),2,4,1(),1,3,2(
321
MMM
0
123325
123421
132
zyx
и что смешанное произведение можно записать в виде
определителя, получим искомое уравнение плоскости в
виде
.
Если разложить этот определитель по строке или
столбцу, то окончательно уравнение примет вид общего
уравнения плоскости.
Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей
через точки
.
Решение. Выше получено, что уравнение имеет вид
.
206
Или
0
163
373
132
zyx
02839625 zyx
1
2
1
2
.
Разлагая определитель, например по первой строке,
получим искомое уравнение плоскости
.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Две плоскости могут совпадать, быть
параллельными или пересекаться по прямой. Ниже
рассматривается вопрос о том, как по уравнениям
плоскостей определить их взаимное расположение.
Пусть две плоскости и заданы своими
уравнениями
и
соответственно.
- нормали плоскостей и ,
207
Из элементарной геометрии следует, что
.0111596
,04532
zyx
zyx
)
5
4
,0,0(
плоскости совпадают или параллельны тогда и только
тогда, когда их нормали коллинеарны, то есть существует
число такое, что справедливо равенство
.
Если плоскости совпадают, то все точки у них общие.
Поэтому любое решение уравнения одной плоскости будет
также решением уравнения другой плоскости. Если это не
выполняется, то плоскости параллельны.
Пример Даны две плоскости, заданные уравнениями
Определить взаимное расположение плоскостей.
Решение. Векторы нормалей равны:
.
Так как
,
то нормали коллинеарны и значит плоскости либо
совпадают, либо параллельны. Легко проверить, что
тройка чисел является решением первого
уравнения и не является решением второго.
Следовательно, плоскости параллельны
208
Если векторы
o
180
0cos
0cos
условие
не выполняется ни при каком , то
и
не коллинеарны, то есть
плоскости пересекаются по прямой. В этом случае можно
поставить вопрос об угле, под которым они пересекаются.
Пересекающиеся плоскости образуют двугранные углы,
мерой которых являются мера соответствующего
линейного угла. Так же как и в случае пересекающихся
прямых на плоскости, пересекающиеся плоскости (если
они не перпендикулярны) образуют острый и тупой
двугранные углы, который в сумме составляют . Из
элементарной геометрии следует, что линейные углы
равны углам между векторами нормалей к плоскостям.
При этом, если угол между нормалями острый, то этот
угол равен острому двугранному углу (и
соответствующему ему линейному углу), а если тупой, то
он равен тупому двугранному углу, образованному
плоскостями. Как известно, косинус угла между
нормалями можно найти по формуле
.
Если получаем, что , то угол - острый
угол, равный острому двугранному углу между
плоскостями. Если , то равен тупому
двугранному углу между плоскостями.
Как и в случае пересекающихся прямых на
плоскости, если поставить задачей найти острый угол
между плоскостями, то можно получить следующее
выражение для острого угла
209
.0732
02532
zyx
zyx
.
Пример. Даны плоскости, заданные уравнениями
Найти острый угол между плоскостями.
Решение.
Векторы нормалей равны
Следовательно, косинус острого угла равен
=
Наконец, рассмотрим условие
перпендикулярности плоскостей. Как следует из
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]