Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
трудность, мы здесь и в дальнейшем договоримся, всякую
ac
bd
ad bc
y
x
z
x y z
a
a
a
b b b
xx
ab
yy
ab
zz
ab
:AM MB
пропорцию
понимать в смысле равенства
.
Обратно, предположим, что координаты
пропорциональны, т.е. выполняются равенства
.
Обозначив каждое из отношений координат через ,
получим:
,
Следовательно, :
вектора на число, вектор :
,
.
. По определению умножения
коллинеарен вектору
Пример. Пусть
,
Тогда
.
Значит, векторы и
коллинеарны.
Деление отрезка в данном отношении.
Введём предварительно понятие направленного
отрезка.
Опр. Направленным отрезком называется отрезок, у
которого указаны его начало и конец.
Направленный отрезок с началом в точке A и концом в
точке B будем обозначать AB(иногда его обозначают
).
Предположим, что надо разделить данный
направленный отрезок AB с помощью точки M на две
части так, что
.
Где - данное положительное число.
111
Если известны координаты точек A и B:
1 1 1
( ,y , )A x z
2 2 2
B( ,y , )xz
1 2 1 2 1 2
, ,z
1 1 1
x x y y z z
xy
0
1 2 1 2 1 2
( ),y (y ),z (z )x x x x y y z z
12
x x x x
12
(1 )x x x
12
1
xx
x
1 2 1 2 1 2
,y ,z
2 2 2
x x y y z z
x
, то координаты точки M находятся по
формулам:
,
Действительно, выразим координаты векторов
через координаты A,B и M:
и
, ,
где x,y,z – координаты точки M.
Так как должно выполняться условие
и
, то
(3)
.
Изобразим эти векторы:
Векторное равенство (3) равносильно трём скалярным
уравнениям:
.Разрешим
первое из них относительно x:
и, окончательно,
. Аналогично выводятся
формулы для y и z.
Следствие (деление отрезка пополам).Середина
отрезка ABимеет координаты:
112
.
Формулы для середины отрезка получаются из общих
1
1
2
1
1 *( 1)
3 0 1
2
2,
11
3
11
22
xy
2
3 0 1 2 1
1,
1 2 1 2 3
xy
1
3
1
3
формул для точки M при
.
Пример. Отрезок, ограниченный точками A(3;1) и
B(0;-1), разделён на три равные части. Определить
координаты точек деления.
Решение. Пусть M и N – точки деления,M делит
направленный отрезок AB в отношении 1:2, точка N делит
направленный отрезок AB в отношении 2:1.
Тогда для точки M число
, а координаты точки
M находим по формулам
:
Для точки M число
.
, координаты точки N
находим по формулам:
.
Нашли координаты точек деления:
M(2;
),N(1,
).
Завершая параграф, перечислим ещё раз некоторые
рассмотренные здесь задачи: нахождение координат
векторов по координатам конца и начала вектора,
вычисление длины вектора и направляющих косинусов
вектора, вычисление расстояния между двумя точками,
деление отрезка в данном отношении. Здесь разобраны
типовые примеры таких задач.
Содержание этого параграфа будет использовано вами
в других дисциплинах( физике, теоретической механике и
т.д.)
113
§17. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Опр. Пусть даны два ненулевых вектора и
Скалярным произведением векторов и
число, обозначаемое
и равное
называется
где - угол между векторами и
. Если хотя бы
один из векторов нулевой, то полагаем, что . При
обозначении скалярного произведения точка часто
опускается.
Свойства скалярного произведения сформулируем
в виде теоремы.
Теорема.
Свойства скалярного произведения.
.
114
115
o
90
где - угол между векторами и и
ненулевые
векторы, то cos . Отсюда и значит векторы
и
ненулевые векторы и
взаимно перпендикулярны. Таким образом, чтобы
были взаимно перпендикулярны
116
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
.
Из определения скалярного произведения
следует, что если и
ненулевые векторы, то
В свою очередь, зная координаты векторов, можно
найти скалярное произведение и длины векторов. Таким
образом, зная координаты векторов, можно найти косинус
угла между векторами, а зная косинус можно найти и сам
угол.
117
§18. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
22
33
Введем понятие определителя. С помощью
определителя удобно записывать одно из свойств
векторного произведения векторов. Кроме того, понятие
определителя будет применяться при рассмотрении
смешанного произведения векторов.
Матрицей размером называется таблица из
чисел вида
Определителем этой матрицы называется число,
обозначаемое в виде
и вычисляемое по формуле
Матрицей размера называется таблица вида
.
.
118
Определитель этом матрицы есть число, обозначаемое
в виде
Этот определитель можно вычислить следующим
образом. Выбирается какая-то строка или какой-то
столбец. Возьмем, например первую строку. Тогда
вычисление определителя проводится по формуле
То есть определитель есть сумма трех слагаемых.
Каждое слагаемое образуется так. Последовательно
берутся элементы выбранной строки или столбца (в
данном случае выбрана первая строка) и умножаются на
данный элемент, а n - номер столбца, в котором он
находится. Затем полученное число умножается на
определитель размером 2x2, который получается
вычеркиваем строки и столбца, в которых расположен
взятый элемент. Такой способ вычисления определителя
называется разложением его по строке или по столбцу.
, где m - номер строки, в которой находится
.
Пример.
Вычислить определитель, разложив его по 2-й строке.
Решение.
119
Введем понятие ориентации базиса пространства.
Опр. Три ненулевых вектора , называются
компланарными, если они, будучи отложенными от одной
точки, лежат в одной и той же плоскости. Будем говорить,
что имеется упорядоченная тройка некомпланарных
векторов, если все три вектора ненулевые и не лежат в
одной плоскости (будучи отложенными от общей точки).
Заметим, что два вектора всегда лежат в одной
плоскости. Третий же вектор может лежать, а может и не
лежать в той плоскости, в которой лежат первые два
вектора. Плоскость, в которой лежат два вектора,
разбивает все пространство на два полупространства.
Опр. Пусть имеется упорядоченная тройка
некомпланарных векторов . Плоскость, в которой
расположены векторы и
, делит все пространство на два
полупространства. Тогда третий вектор находится в
одном из этих полупространств. Упорядоченная тройка
векторов называется правой при условии, что если
смотреть из полупространства, в котором расположен
вектор , кратчайший поворот от вектора к вектору
120
(то
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]