Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Док-во. Т.к. элементы двух строк определителя
пропорциональны, то элементы одной из них получаются
умножением соответствующих элементов другой на
некоторой общий множитель. Например, в последнем
определителе элементы первой строки получены
умножением второй строки на один и тот же множитель k.
По свойству 4 общий множитель k можно вынести за знак
определителя. Тогда получится определитель с двумя
одинаковыми строками, он равен нулю по свойству 3.
Свойство 7. Определитель не изменится, если ко всем
элементам одной строки прибавить соответствующие
элементы другой строки, умноженные на одно и тоже
число.
Например:
Миноры и алгебраические дополнения
Опр.Минором элемента данного определителя
называется определитель меньшего порядка, полученный
вычёркиванием той строки и того столбца данного
определителя на пересечении которых расположен этот
элемент. Минор элемента обозначается
Опр.Алгебраическое дополнение элемента
определяется формулой:
11
Отсюда видно, что алгебраическое дополнение можно
вычислить так:
,
Где знак плюс берётся при чётной i+j и знак минус –
при нечётной i+j.
Пример. Пусть дан определитель
Δ =
Рассмотри элемент
=3, его минор и алгебраическое
дополнение соответственно равны:
=
=
Возьмём теперь элемент
=2,
=2, тогда
=-(20+3)=-23
Замечание. Для определителя третьего порядка удобно
использовать такую схему при использовании формулы
12
Разложение определителя по элементам строк и
столбцов.
Теорема. Определитель равен сумме произведений
элементов какой-либо его строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения.
Например, разложение по первой строке и разложение
по второму столбцу имеют вид.
=+
+
Доказательство теоремы проводится с помощью
«правила треугольников».
Пример. Вычислить определитель разложением по
третьей строке:
=0 – 3*
+ 0=-3*(2+1)=-9
Итак, в этом параграфе мы познакомились с понятием
определителя и его свойствами. Определители второго и
третьего порядков имеют простой геометрический смысл,
об этом будет сказано при изучении векторного и
смешанного произведений векторов. Мы будем
использовать определители для решения линейных систем
и при изучении векторной алгебры. С помощью
определителя удобно записываются многие формулы
векторной алгебры, аналитической геометрии,
математического анализа.
13
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-ГО ПОРЯДКА
В § 1 были введены понятия определителя первого,
второго и третьего порядков, но определитель можно
ввести для квадратной матрицы любого порядка n, что и
будет сделано в этом параграфе. Определители n-го
порядка (n=1,2,3,…) используется во многих
вычислительных задачах.
Определитель n-го порядка составляется из элементов
квадратной матрицы n-го порядка и обозначается так:
Индуктивное определение
Сформулировать определение определителя n-го
порядка, аналогично тому, которое было дано для
определителей второго и третьего порядков, довольно
сложно. Поэтому дадим так называемое индуктивное
определение этого понятия.
Согласно теореме о разложении определителя по
элементам строк (столбцов) определитель третьего
порядка может быть найден по формуле:
= +
14
где ,
соответственно элементов ,
- алгебраические дополнения
( разложение по
первой строке)
Это свойство можно использовать для индуктивного
определения определителя 4-го, 5-го и т.д. порядков.
Опр. Определителем 4-го порядка называется число
где - алгебраическое дополнение элементов
=+ +
которые являются определителями 3-го порядка.
Аналогично определяется определитель 5,6,…
порядков.
Для определителей n-го порядка остаются в силе
определения минора и алгебраического дополнения,
сформулированные выше, все свойства, рассмотренные
для определителей третьего порядка.
Индуктивное определение определителя n-го порядка
лежит в основе одного из методов его вычисления. Этот
метод состоит в разложении определителя n-го порядка по
элементам какой-либо строки или столбца, что приводит к
вычислению определителей (n-1)-го порядка. В свою
очередь, определитель (n-1)-го порядка можно таким же
образом свести к вычислению определителей (n-2)-го
порядка и т.д. Поэтому метод называется методом
понижения порядка.
,
15
Прежде чем применять метод понижения порядка,
полезно, используя свойство определителя, обратить в
нуль все элементы какой-нибудь строки или столбца,
кроме одного. Чаще всего для достижения этой цели
применяются свойство 7. Покажем на примере, как
вычисляется определитель методом понижения порядка ( с
использованием свойства 7).
Пример. Вычислить определитель.
Δ=
Решение. Ко второй строке прибавим первую,
получим:
Δ=
Из первой строки вычтем удвоенную третью строку:
Δ=
Схематично указание этих преобразований и
подобных им здесь и в дальнейшем будем записывать так:
Ⅱ+1 и 1-2Ⅲ.
Полученный определитель разложим по элементам
первого столбца:
16
Δ=0+0+
Т.е.
*4*
+0
Δ=4*
=4*3*2*
=
=24*
Выполнив над строками преобразование: П-10*Ш,
получим:
Δ=24*
=24*(0+0+
*1*
=24*(-13-62)=24*(-75)=-1800
Приведение определителя к треугольному виду.
Другой метод вычисления определителя n-го порядка
состоит в приведении определителя к треугольному виду.
)
Опр. Треугольной матрицей называется матрица, у
которой все элементы, расположенные ниже главной
диагонали, равны нулю, т.е.
17
A=
(здесь * обозначает произвольные числа; ниже главной
диагонали стоят нули).
Утверждение. Определитель треугольной матрицы
равен произведению элементов его главной диагонали:
Док-во. Раскладывая определитель треугольной
матрицы А по элементам первого столбца, в котором все
элементы заведомо равны нулю, кроме
получим:
Но
=
.
= причём минор
определитель (n-1)-го порядка матрицы треугольного вида,
который также можно разложить по элементам его первого
столбца получив произведение
элемента
=
=…
– определитель (n-2)-го порядка, т.е.
. И т.д. В конце концов получим: .
на минор этого
Пример: Вычислить определитель
Δ=
,
18
-
Преобразовав его к треугольному виду.
Решение. Выполнив над строками преобразования: П1, Ш-1,1У-1, получим:
Δ=
Последний определитель ещё не является
определителем треугольного вида,поэтому выполним
преобразование: 1У-Ш, получим:
Δ=
=1*(-2)*(-2)*(-4)=-16.
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели понятие
определителя n порядка и способы его вычисления.
19
§ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ПРАВИЛО КРАМЕРА.
В этом параграфе мы рассмотрим системы линейных
алгебраических уравнений, их решение и исследование с
помощью определителей.
Сначала рассмотрим линейную систему из трёх
уравнений с тремя неизвестными:
Где - неизвестные,
неизвестных,
- свободные члены.
(1)
коэффициенты при
Опр. Если система (1) имеет хотя бы 1 решение, то она
называется совместной. Если система (1) не имеет ни
одного решения, то она называется несовместной.
Совместные системы бывают определённые и
неопределённые.
Опр. Совместная система (1) называется
определённой, если она имеет единственное решение и
называется неопределённой, если она имеет более одного
решения.
Сформулированные определения справедливы для m
линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Существует много способов изучения систем
линейных алгебраических уравнений, в том числе правило
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]