Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Проверяем свойство элемента контрольного столбца
для третьей строки:
0+0+6+6=12.
Таким образом, нами получена треугольная матрица,
где ниже главной диагонали все элементы равны нулю. На
этом прямой ход метода Гаусса завершен. Поскольку
определитель треугольной матрицы равен произведению
элементов диагонали, то полученная матрица треугольного
вида показывает, что определитель исходной системы
Обратный ход.
Составим систему, соответствующую полученной
треугольной матрице:
Решим эту систему. Из последнего уравнения.
Из второго уравнения, учитывая, что , получаем:
61
Наконец из первого уравнения
Вообще говоря, этот метод с некоторыми изменениями
применим и для системы с нулевым определителем, а
также для системы из m уравнений с n неизвестными. В
этих случаях в результате элементарных преобразований, в
том числе и над столбцами, получится система
ступенчатого вида, которую и надо исследовать.
Возможно, что система не имеет решений или имеет
бесконечно много решений. Это зависит, как известно из
теоремы Кронекера-Капелли, от рангов матрицы систем и
её расширенной матрицы.
Пример 2. Решить систему линейных уравнений
методом Гаусса:
(**)
Решение. Составим расширенную матрицу этой
системы, добавив к ней контрольный столбец:
62
Выберем ведущий элемент на первом шаге. Пусть это
. Выполним элементарные преобразования над
строками: - : ш+1, получим
Проверим свойства элементов контрольного столбца:
0-3+1+3=1 ( вторая строка),
0+3-1+1=3 ( третья строка).
Выберем ведущий элемент на втором шаге. Пусть это
Преобразуем полученную матрицу:
ⅢⅡ
.
Проверим свойство элемента контрольного столбца
третьей строки:
63
0+0+0+4=4
Из полученной матрицы видно, что ранг матрицы
системы (**) r(A)=2, а ранг её расширенной матрицы
r(B)=3, таким образом, r(A)≠ r(B), а следовательно, по
теореме Кронекера-Капелли, данная система не
совместная.
Итак, в §8 вы познакомились с методом Гаусса.
Заметим, что метод Гаусса очень чувствителен к ошибкам
округления( такие методы называются не устойчивыми).
Поэтому часто используют модификации метода Гаусса.
Очевидно, решение будет более точным, если а каждом
шаге в качестве ведущего коэффициента выбирать
наибольший по модулю коэффициент при неизвестном.
Метод решения линейных систем, в котором реализована
эта идея, носит название метода главных элементов.
64
ТЕМА: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ВСТУПЛЕНИЕ
При изучении различных разделов физики, механики,
технических наук вам встречаются величины, которые
полностью определяются из численных значений. Такие
величины называются скалярным. Скалярными
величинами, например, является длина, объём, масса,
температура, плотность. Помимо скалярных величин, в
различных задачах встречаются величины, для
определения которых, кроме численного значения,
необходимо знать так же их направление в пространстве.
Такие величины называются векторными. Векторные
величины изображаются в виде векторов.
Понятие вектора математики широка использовали с
16 века. Вектор-математическая абстракция объектов,
характеризующихся величиной и направлением ( таких,
как скорость, ускорение, перемещение, сила,
напряженность электрического тока).
В данной теме мы рассмотрим линейные операции над
векторами: сложение и вычитание векторов, умножение
векторов на скаляр, убедимся, что по отношению к этим
операциям векторы образуют векторную алгебру.
Рассмотрим и другие операции над векторами.
ЛИТЕРАТУРА К ТЕМЕ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая
геометрия. Глава 2. §1,2,3
65
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.Н. Краткий
курс высшей математики. Глава 18, §1-16
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической
геометрии и линейной алгебры. Глава 1,§1
4. Гурский Е.И. и др. Руководство к решению
задач по высшей математике. Часть 1,2.1,2.2.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии.
§5,7,11-13..
6. Лавров Ю.К., Улановский М.А. Краткий курс
высшей математики. §2.1-2.4,2.6,2.7.
66
67
68
Доказательство.
Пусть даны вектор и точка . Если точка и
вектор
не лежат на одной прямой, то через точку
проведем прямую, параллельную вектору
. Далее,
от точки отложим отрезок, длина которого равна длине
вектора
. Стрелку поставим у того конца полученного
отрезка, чтобы получившийся вектор был сонаправлен с
вектором
. Тогда, согласно определению, построенный
вектор будет равен вектору . Если точка и вектор
лежат на одной прямой, то вектор, равный вектору
строим на этой прямой аналогично.
Теперь дадим определение угла между векторами.
Пусть векторы и
векторы и
образую геометрический угол. Мера этого
угла называется углом между векторами и
отложены от общей точки. Тогда
69
Пусть теперь векторы и имеют разные начала.
Возьмем в пространстве какую-нибудь точку и от
этой точки отложим векторы и
между векторами и
, отложенными от общей точки и
называется углом между векторами и
(на рис. выше). Угол
(если их начала
не совпадают).
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]