Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Снова возьмем на прямой две точки и
),(
111
yxM
),(
222
yxM
o
180
.,
,
1211
21
12
bkxybkxy
xx
yy
BD
CD
tg
.
)(
)(
21
12
21
12
k
xx
xxk
xx
bkxbkx
tg
o180
.)(
)()180(
kktg
tgtgtg
o
.ktg
oo
18090
как показано на рисунке 43. Из рисунка
следует, что . Далее, из рисунка видно, что
Тогда
Так как , то
Таким образом, и в этом случае
Заметим, что в случае, когда
,
191
тангенс угла наклона прямой отрицателен и значит
0k
x
.00 tgtg
.by
bkxy
0 bykx
x
00 k
by
0k
00 tgtg
tgk
. Наконец, если угол наклона равен нулю, то есть
прямая параллельна оси , то
С другой стороны, уравнение прямой в этом случае
имеет вид
В самом деле, если уравнение
записать в виде
,
то видно, что вектор нормали к этой прямой равен
. Но если прямая параллельна оси , то вектор
коллинеарен вектору . Следовательно
.
Отсюда следует, что и уравнение
прямой имеет вид
.
Следовательно, и в этом случае и
, то есть .
192
Пример. Уравнение прямой имеет вид
32 xy
2
tg
2arctg
1
L
2
L
.:
,:
222
111
bxkyL
bxkyL
21
kk
21
bb 21bb
121 kk
.
Найти угол наклона прямой.
Решение. Обозначим угол наклона через . Тогда
.
Следовательно
.
Запишем в виде теоремы условия параллельности
и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с
угловым коэффициентом.
Теорема. Пусть прямые и заданы уравнениями с
угловым коэффициентом:
Эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда
(при условии, что ; если , то прямые
совпадают). Прямые перпендикулярны тогда и только
тогда, когда .
Док-во. Уравнения прямых можно записать в виде
193
11
21
kk
1
21
kk 21kk
21
bb
.1
,01
21
21
kkkk
Вначале докажем условие параллельности. Если
прямые параллельны, то векторы нормалей
и
коллинеарны, то есть существует такое число , что
.
Отсюда следует равенство координат:
.
Следовательно, и .
Обратно, если , то векторы нормалей
равны и значит прямые параллельны (при условии, что
.
Теперь рассмотрим условие перпендикулярности.
Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
перпендикулярны векторы нормалей, то есть
.
Или, в координатах,
Что и требовалось доказать.
194
Пример. Доказать, что прямые
7
2
1
,32
xyxy
.1)
2
1
(2
.
2
1
;2
21
21
kk
kk
1
L
2
L
.:
,:
222
111
bxkyL
bxkyL
перпендикулярны.
Решение.
Следовательно, прямые перпендикулярны.
Получим выражение для угла между прямыми в
случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом. Утверждение сформулируем в виде
теоремы.
Теорема. Пусть прямые и заданы уравнениями
с угловым коэффициентом:
195
Тогда тангенс острого угла межу прямыми выражается
1
cos
1
2
2
tg
21
21
1 kk
kk
tg
по формуле
Док-во. Уравнения прямых запишем в виде
Здесь
и
- векторы нормалей между прямыми.
Как было показано выше, косинус острого угла между
прямыми можно найти по формуле
.
С учетом соотношения
196
получаем
2
21
2
21
2
21
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
21
2
1
1
1
11
,
11
1
cos
kk
kk
kk
kk
tg
kk
kk
21
21
2
21
2
21
1
1
kk
kk
kk
kk
tg
Тогда, с учетом того, что тангенс острого угла есть
число положительное, получаем
.
197
§24. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
,0),,( zyxF
.04
222
zyx
0),,( zyxF
),,(
ooo
zyxooyx ,
o
z
)1,2,2(
09
222
zyx
),,( zyx
Уравнение плоскости в пространстве
Опр. Уравнением с тремя неизвестными называется
выражение вида
например,
Опр. Решением уравнения называется
любая упорядоченная тройка чисел такая, что
при подстановке вместо x,y и z чисел и ,
соответственно, получается верное числовое равенство.
Например, тройка чисел является решением
уравнения
так как при подстановке этих чисел в уравнение
получается верное числовое равенство.
Далее будем всегда предполагать, что в
пространстве задана Декартова система координат. Тем
самым, между тройками чисел и точками
пространства установлено взаимно однозначное
соответствие.
198
Опр. Уравнение вида называется
0),,( zyxF
),,(
1111
zyxM
),,(
111
zyx
),,(
222
zyx
),,(
2222
zyxM
),,(
oooo
zyxM
0)()()(
ooo
zzCyyBxxA
уравнением поверхности в пространстве если выполнено
следующее:
1) Пусть точка лежит на поверхности.
Тогда тройка чисел является решением
уравнения.
2) Пусть тройка чисел является решением
уравнения, тогда точка лежит на
рассматриваемой поверхности.
Ниже будем рассматривать один из видов
поверхностей, а именно плоскость. При рассмотрении
плоскости будем опираться на понятия и утверждения,
рассматриваемые в элементарной (школьной) геометрии.
Из элементарной геометрии известно, что
существует единственная плоскость, проходящая через
заданную точку и перпендикулярная заданному вектору.
Выведем уравнение этой плоскости. Утверждение
сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Уравнение плоскости, проходящей через
заданную точку и перпендикулярной
заданному вектору (нормаль к плоскости)
имеет вид
Док-во.
199
.
),,(
oooo
zyxM
),,(
1111
zyxM
o
M
1
MM
o
N
},,{
1111 oooo
zzyyxxMM
0)()()(
111
ooo
zzCyyBxxA
Пусть плоскость проходит через заданную точку
и перпендикулярна заданному вектору
. Возьмем на плоскости произвольную точку
, отличную от точки . Тогда из
элементарной геометрии следует, что вектор
перпендикулярен вектору . Следовательно,
.
Поскольку
,
получаем, что равенство, выражающее скалярное
произведение в координатной форме
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]