Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
лежат векторы и , значит перпендикулярен вектору ,
a
b
r
так как он также лежит в этой плоскости. Следовательно,
. Обратно, пусть . Если ,
и
ненулевые векторы и , то вектор
перпендикулярен . Кроме того, вектор
перпендикулярен вектору и вектор
перпендикулярен вектору
. Следовательно, все три
вектора , и перпендикулярны одному и тому же
вектору
и значит лежат в одной и той же плоскости.
Из последнего свойства в частности следует, что
если какие-то два из тройки векторов , и
коллинеарны, то , так как в этом случае векторы
,
и компланарны.
Опр. Пусть ненулевые векторы , и
некомпланарны. Отложим их от общей точки. Обозначим
, , плоскости, в которых лежат
пары векторов , , и , соответственно.
Через конец вектора проведем плоскость, параллельную
, через конец вектора
проведем плоскость,
параллельную плоскости , через конец вектора
проведем плоскость, параллельную плоскости .
Тогда, , , и построенные
плоскости ограничивают параллелепипед
.
131
V
c
1
D
1
A
C
DAB
Этот параллелепипед называется параллелепипедом,
построенным на векторах , и .
Свойство 5.
Если тройка векторов ( правая, то
,
если же тройка левая, то
,
где - объем параллелепипеда, построенного на
векторах , и . Докажем это свойство.
132
Пусть - правая тройка векторов. По
.осн
S
ABCD
H
ABCD
c
C
DAB
ba
a
определению
.
где - угол между векторами и . Построим на
векторах , и параллелепипед. Объем этого
параллелепипеда равен
,
где - площадь основания , - высота
параллелепипеда. Так как параллелограмм, то
133
H
Высота в случае, когда правая тройка, как
видно из рисунка , равна
Следовательно, учитывая, что
получаем
где - угол между векторами и . Таким
образом,
,
.
,
.
Пусть теперь - левая тройка векторов.
Построим параллелепипед на векторах , и .
134
Как видно из рисунка , в этом случае
a
b
r
c
r
cos
c
baa
где - угол между векторами
в этом случае тупой и значит отрицателен.
Следовательно, в случае левой тройки векторов
Замечание.
Независимо от того, является ли тройка векторов
правой или левой, объем параллелограмма,
построенного на этих векторах, равен
,
и
, причем угол
.
.
135
В самом деле, если - правая тройка
a
c
неотрицательное число и значит
.
В случае, когда левая тройка, число
отрицательно и. следовательно,
.
Пусть имеется тройка ненулевых некомпланарных
векторов , и . Отложим их от общей точки.
Если концы векторов соединить отрезками, как это
показано на рисунке 4, то получим треугольную пирамиду.
Эта пирамида называется пирамидой, построенной на
векторах , и .
В элементарной геометрии доказывается, что объем
этой пирамиды
равен одной шестой объема
136
параллелепипеда, построенного на векторах , и .
)2,7,5( A
)1,1,3( B
)4,4,9( C
)0,5,1(D
DиCBA ,,,
ADиACAB ,,
0ADACAB
}.2,2,4{)}2(0,75,51{
},2,3,4{)}2(4,74,59{
},1,6,2{)}2(1,71,53{
AD
AC
AB
Отсюда следует, что объем пирамиды равен
.
.
Рассмотрим пример на свойство 4.
Пример.
Доказать, что точки , ,
и лежат в одной плоскости.
Решение.
Точки лежат в одной плоскости тог
да и только тогда, когда векторы
компланарны. Покажем, что выполнено условие
компланарности (свойство 4)
Найдем координаты векторов
Тогда, согласно свойству 1
137
.
020020
24
34
24
24
6
22
23
2
224
234
162
ADACAB
ADACAB ,,
DCBA ,,,
Следовательно, векторы коллинеарны
(лежат в одной плоскости), а значит точки
лежат в одной плоскости.
138
СХЕМА «СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПО ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЕ»
СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕН
ИЕ
, (
)
=
Перпендикуля
рность
векторов и
ВЕКТОРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕН
ИЕ
Формулы для
СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕН
ИЕ
вычисления
꞊
Условия
꞊
Угол между
векторами
Применения
139
А
cos ABC BCBC
BABC
BA BC
g
S ABCD AB ADW
1
6
ABAC AD
A B
В С
C D
A
B C
V пар-꞊
Vтетр=
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]