Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ВСТУПЛЕНИЕ
Аналитическая геометрия – часть математики, в
которой исследуются геометрические образы средствами
алгебры на основе метода координат.
В аналитической геометрии на плоскости ставятся две
основные задачи: 1)зная геометрические свойства линии(
как геометрического места точек), найти её уравнение, т.е.
уравнение, связывающее координаты её текущих
(переменных) точек, и 2)зная уравнение линии, установить
геометрические свойства этой линии.
Между точками плоскости и парами чисел (х, у)координатами точки, определяющими положение точки
рассматриваемой плоскости, устанавливается взаимно
однозначное соответствие.
Устанавливается также взаимно однозначное
соответствие между точками трёхмерного пространства и
тройками чисел (x,y,z)- координатами точки,
определяющими её положение в пространстве.
Наибольший вклад в создание аналитической
геометрии внесли французские ученые Ферма(1601-1665)
и Декарт(1696-1650). Пользуясь буквенной символикой,
введенной французским ученым Виетом, Декарт и Ферма
одновременно и независимо друг от друга дали науке
новый метод- метод координат, лежащий в основе
созданной ими в ХУ 11в. аналитической геометрии.
141
Большой заслугой Декарта по сравнению с Ферма
было создание более удачной символики, установление
тесной связи с числом, алгебры с геометрией, введение в
математику переменной величины, в результате чего стало
возможным бурное развитие всей высшей математики и
смежных с ней разделов естествознания.
ЛИТЕРАТУРА К ТЕМЕ
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической
геометрии,§4,8,9 12,14-19,24-26,30-
32,36,59,60,63,67,72.
2. Щипачев В.С. Высшая математика. Глава
3,§3,6-8; глава 9,§14.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая
геометрия. Глава 4,§1,2;глава 6,§1-3;глава 7,§3.
4. Гурский Е.И. и др. Руководство к решению
задач по всей высшей математике. Часть
1.§,5.3,6.2-6.4,8.1,8.2.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс
высшей математики. Глава 1,§2.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической
геометрии и линейной алгебры. Глава 3,§1.
142
§20.ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
0r
0r
2 n
На плоскости, помимо декартовой прямоугольной
системы координат, часто применяется полярная система
координат, так как рассмотрение некоторых вопросов
значительно упрощается при переходе к полярной системе
координат.
Полярная система координат определяется заданием
некоторой точки O, называемой полюсом, и исходящего из
этой точки луча OA, называемого полярной осью. Кроме
того, при задании полярной системы координат должно
быть сказано, какие повороты вокруг точки O считаются
положительными. Будем считать положительными те
повороты, которые совершаются против часовой стрелки.
Пусть заданы полюс и полярная ось:
Рассмотрим произвольную точку M на плоскости и
обозначим через r расстояние от точки M до полюса
O.Таким образом, ,r – длина радиуса - вектора
точки M.Число r называется полярным радиусом точки
M.Очевидно,
Далее, обозначим через угол, на который надо
повернуть полярную ось до совмещения с радиус –
вектором
однозначно, а с точностью до
.Для полюса полярный радиус
точки M.Угол
143
определяется не
,где n - целое.
.
Угол считается положительным, если поворот
полярной оси до совмещения с радиус – вектором точки M
происходит против часовой стрелки, и считается
отрицательным, если поворот происходит по часовой
стрелке. Угол называется полярным углом точки M(или
амплитудой). Среди возможных значений полярного угла
точки M выделяют одно, то, которое удовлетворяет
неравенству:
значением.(иногда выбирает
его называют главным
)
Заметим, что для полюса полярный угол не определён.
Опр. Полярными координатами точки M на плоскости
называется её полярный радиус r и полярный угол .
Используется запись:M(r,).
В некоторых случаях приходится одновременно
пользоваться и декартовой и полярной системой. В таких
случаях возникает задача: зная полярные координаты
точки, вычислить её декартовы координаты, или, обратно,
зная декартовы координаты, вычислить полярные. Решим
такую задачу, считая, что полюс полярной системы
совпадает с началом координат декартовой системы,
полярная ось совпадает с полуосью Ox, а сама декартова
система координат является правой:
144
(Заметим, что в случае левой системы координат надо
cos , y rsinxr
22
,
y
rxу tg
x
y
tg
x
2 2 2 2
( 2) 2 8 2 2rxу
2
1
2
y
tg
x
1tg
4
n
считать положительными повороты по часовой стрелке).
Пусть M – произвольная точка плоскости x,y – её
декартовы координаты; r,- полярные координаты. Тогда,
независимо от того, в какую четверть попадает точка M, по
определению синуса и косинуса угла :
Это и есть формулы,
выражающие декартовы координаты точки через
полярные.
Пользуясь теоремой Пифагора и определением
тангенса, получим выражение полярных координат через
декартовы:
Заметим, однако, что формула
главное
значение полярного угла определяет не вполне, а именно,
нужно ещё знать, положительна величина или
отрицательна.
Пример. Даны декартовы прямоугольные координаты
точки M: x=-2, y=2.Найти её полярные координаты, считая,
что полюс полярной системы совмещен с началом
декартовой системы, а полярная ось совпадает с
положительным направлением оси абсцисс.
Решение. Имеем
.Уравнение
имеет
бесконечно много решений вида
.
145
Среди них в промежутке
[ , ]
3
4
4
22r
3
4
попадает только два
значения:
четверти, то из двух указанных значений мы должны в
качестве главного значения выбрать первое.
Полярные координаты точки M найдены:
Итак, здесь мы рассмотрели полярные координаты точки
на плоскости, получили формулы перехода от полярной
системы координат к декартовой прямоугольной и
обратно.
и
.Так как точка M во второй
,
146
§21.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА
1
''O x y
ПЛОСКОСТИ.
Уравнение одной и той же кривой в различных
системах координат имеют различный вид. А если учесть,
что в некоторой системе координат уравнение кривой
значительно проще, то возникает необходимость перехода
от одной системы координат к другой. Формулы,
выражающие координаты точки в одной системе через её
координаты в другой системе, называются формулами
преобразования координат.
Ранее были получены формулы перехода от
декартовой системы координат к полярной системе
координат и наоборот.
В этом параграфе мы будем предполагать, что обе
системы координат декартовы(прямоугольные).
Параллельный перенос осей координат.
Пусть оси новой системы координат
параллельны одноименным осям старой системы
координат Oxy и имеют одинаковые с ними направления.
147
При этом точки
1 0 0
( , )O x y
1
''O x y
1
(0,0)O
00
' x x , ' (1)x y y y
00
' x , y ' (2)x x y y
' 2 1
' 1 3
xy
'x
''Ox y
'Ox
'Oy
, M(x,y) в системе координат
Oxy при переходе к новой системе координат
в ней иметь координаты
и M('x,'y).Из
будут
рисунка непосредственно получаем:
т.е. новые координаты точки равны её старым
координатам минус старые координаты нового начала.
Обратно, из (1) находим
Пример. Дана точка M(2;-1) в системе Oxy.Найти её
новые координаты 'x и 'y при параллельном переносе
осей, если новое начало в старой системе имеет
координаты(-1;3).
Решение. По формуле (1) имеем:
откуда
=3, 'y=-4.
Поворот осей координат.
Пусть на плоскости заданы две системы координат,
имеющие общее начало 0: система Oxy(старая) и
(новая), которая получена поворотом старой системы на
угол . Это значит, что угол между осями Ox и
и угол между осями Oy и
равен . Здесь речь идёт
равен
о направлении угла. Угол считается положительным,
если поворот осуществляется против хода часовой
стрелки, и отрицательным если по ходу часовой стрелки.
Найдём формулы, выражающие старые координаты x
и y произвольной точки M плоскости через её новые
координаты 'x и 'y.
148
Введём полярные координаты: старые с полярной
'Ox
cos( )xr
sin( )yr
(cos cos sin sin ) cos cos sin sinx r r r
(sin cos cos sin ) sin cos cos siny r r r
( cos )cos ( sin )sinx r r
( cos )sin ( sin )cosy r r
осью, совпадающей с осью Ox, и новые – с полярной осью,
совпадающей с осью
,полюс – точка O.
Пусть точка M в новой полярной системе координат
имеет угол и полярный радиус r.В старой полярной
системе координат угол точки M будет равен
, а
полярный радиус будет таким же, как в новой системе.
По формулам перехода от полярной системы
координат к декартовой получим:
.
Используя тригонометрические формулы для косинуса
и синуса суммы двух углов, получим:
,
или
,
(3)
Но 'x,'y - новые декартовы координаты точки M
связанные с её полярными координатами r,
соотношениями:
149
,
' rcosx, ' rsiny
,
'cos 'sinx x y
'sin 'cosy x y
' cos sinx x y
' sin cosy x y
4
2
cos sin
4 4 2
22
' y'
22
22
' y'
22
xx
yx
2
( ' y')
2
2
( ' y')
2
xx
yx
поэтому равенство (3) можно переписать так:
,
(4)
Формулы (4) называются формулами поворота осей.
Отсюда можно получить, меняя старые и новые
координаты ролями формулы:
.(5)
Пример. Выразить старые координаты точки x и y
через её новые координаты 'x и 'y при повороте осей на
,
угол
получим:
перехода от одной декартовой прямоугольной системы
координат к другой (декартовой прямоугольной) при
параллельном переносе осей и повороте осей.
.
Решение. Т.к.
или
В этом параграфе мы познакомились с формулами
150
, то по формуле (4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]