Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
где i— годовая процентная ставка, q— годовая купон-
n
iq=
1
i
Di
+
()n →∞
1 i
i
+
()D Dq=
q
()qi>
()Dn
n
()qi<
()Dn
nn=
11
i
i iq
+
≈+
+−
()Dn
≤
≥
{(1; 100), (2; 100), (3; 100), (4; 1100)}CF=
ная ставка,
Вчастности, при
— количество лет допогашения облигации.
дюрация равна:
n
= −+
1 (1 )
( )
i
−
.
Свойство 6
Для бессрочных облигаций
D
=
∞
.
дюрация равна:
Свойство 7
Дюрация купонной ставки
является убывающей функцией
.
Свойство 8
Если облигация продается спремией ция
допогашения том
является возрастающей функцией от срока
. Если же облигация продается сдискон-
, то функция
имеет максимум при
, то дюра-
max
где
,
В этом случае
при
nn
max
.
Пример
Найти дюрацию облигации, задаваемой потоком пла­тежей:
по формуле, не зависящей отноминальной стоимости. Годовая процентная ставка равна 8%.
n
max
ln(1 )
возрастает при
.
nn
иубывает
max
,
171
Решение
1000; 100; 4; 0,1; 0,08F C nq i= = = = =
=−=−
−=
1,16
=−=
() ( ) ()
Pi Pi i Pi
∆ +∆ −
i∆
() () 1 ()
()
Pi P i P i
ii
′ ′′
∆
()Wi
()
Pi
′′
()
1
Pi D
Pi
′
∆=− ∆=− ∆
+
()
()
Pi
P
′′
i∆
1 (q ) 1 1 0,08
ini i
+ − ++ +
D
i
qi i
− ++
4 (0,1 0,08) 1 0,08
·
+ −+
0,1((1 0,08) 1) 0,08
n
+ −+
((1 ) 1)
4
0,08
13,3 3,504213396
0,116048896
года.
Выпуклость облигации
Как было показано выше, ценовая чувствительность облигации
=
() ()
Pi Pi
в квадратичном приближении по
Выпуклостью
= ∆+ ∆
() 2
Pi P P
облигации называется величина:
()
Wi
=
Pi
()
(9.55)
выражается формулой:
2
. (9.56)
. (9.57)
Таким образом:
и
i i MD i
Wi
=
. (9.59)
(9.58)
Следовательно, уточненная формула для приближен­ного значения ценовой чувствительность облигации при изменении годовой процентной ставки навеличину
имеет вид:
172
1 2
P
P
∆
1
k
−−
=
=−+
1
k
−−
=
= ++
1
k
=
= ++
++
w
kk k
W tt w
{(1; 100), (2; 100), (3; 100), (4; 1100)}CF =
то
или
Так как
Тогда:
Wi
MD i W i i
=− ∆+ ∆
n
( ) (1 )
Pi P i
= +
∑
=
1
k
n
′
( ) (1 )
Pi tP i
′′
( ) ( 1) (1 )
Pi t t P i
′′
Pi t t P i
( ) ( 1) (1 )
(1 )
′′
() 1
Pi
= =
()
() ()
Pi Pi
∑
n
∑
kk k
1
∑
2
+
i
+
(1 )
i
kk
n
kk k
∑
k
2
()( )
−
t
k
k
n
tt P i
kk k
=
1
, (9.38)
1
t
k
( 1) (1 )
2
. (9.60)
, (9.44)
2
t
k
(9.62)
−
t
k
. (9.63)
−
t
k
. (9.64)
Применяя весовые коэффициенты вес каждого платежа можно формулу для выпуклости облигации записать ввиде:
Пример
Найти дюрацию, модифицированную дюрацию ивыпуклость облигации, задаваемой потоком платежей:
при годовой процентной ставке 8%.
P
в текущей стоимости потока,
k
n
1
= +
(1 )
∑
2
i
+
1
k
=
( 1)
, определяющие
k
. (9.65)
173
Найти помодифицированной дюрации ивыпуклости
1234
wwww
3,5043; 3,2447D MD= =
1
= ++ +
++ =⋅
16,7160
1
P
∆
=−+ =
0,032447 0,00143313 0,3388013 3,39%=+==
1; 2; ; ... ; n
12
n
xx x
D
DD D
nn
D xD xD xD= + ++
приближенное значение относительного изменения теку­щей стоимости облигации при снижении годовой про­центной ставки на1 процентный пункт.
Решение
Ранее были найдены следующие характеристики облигации:
0,0868; 0,0804; 0,0745; 0,7583;
= = = =
Найдем выпуклость облигации:
W ·· ··
3 4 0,0745 4 5 0,7583)
·· ··
(1 2 0,0868 2 3 0,0804
2
1,08
1
1,1664
(0,1736 0,4824 0,8940 15,1660) 14,3313
⋅+++ = =
1,1664
2
1
2
2
MD i W i
=− ∆+ =
P
3,2447 (-0,01) 14,3313 (-0,01)
· ··
2
(i)(D )
 

Дюрация портфеля облигаций
Рассмотрим портфель облигаций, состоящий изобли­гаций
сценовыми долями ция портфеля облигаций шенная сумма дюраций
определяется как средневзве-
; ; ... ;
12
; ; ... ;
отдельных обли-
n
гаций, входящих впортфель, то есть:
11 2 2
...
. (9.66)
. Дюра-
174
Защита портфеля облигаций отизменения
F
F
Dt= A
A
B
t
t
AB
t tt<<
AB
AB
tt
FF
ii
++
AA BB
D xt xt
процентной ставки
(иммунизация портфеля облигаций)
Пусть требуется выплатить долг F через t лет.
Покупка бескупонной облигации номинальной стоимо­стью
со сроком погашения через t лет обеспечит
выплату долга. Назовем эту облигацию облигацией 1.
Текущая стоимость облигации 1равна:
а ее дюрация
Pi=
1
(1 )
.
1
, (9.67)
t
+
Можно заменить одну облигацию двумя так, что при данной процентной ставке текущая стоимость портфеля издвух облигаций останется такой же, как и исходной облигации, апри изменении процентной ставки текущая стоимость портфеля издвух облигаций будет больше теку­щей стоимости исходной облигации.
Это связано с тем, что текущая стоимость облига­ции является убывающей функцией процентной ставки, аоблигации с разными сроками погашения по-разному реагируют наизменение процентной ставки.
Рассмотрим две бескупонные облигации
F
сноминальными стоимостями шения соответственно
и
A
B
такими, что:
F
и
. (9.68)
, исроками пога-
иB
Портфель, состоящий изэтих двух облигаций, назо­вем облигацией 2.
Текущая стоимость облигации 2равна:
P
а ее дюрация
2
= +
2
= +
(1 ) (1 )
, где
, (9.69)
175
F
Pi
Pi
AB
+=
ii=
PiPiP
DiDiD
10 20
() ()
′′
()Pi
()Pi
(; )iP
0
ii
12
() ()Pi Pi<
10 20
() ()Pi Pi
′′ ′′
<
()Pi
1
()Pi
0
ii
()Pi
()Pi
ii
( )
00 0
tt
Ft t
ii i

= ++ = + =

++ +

22
22
00 000
tt t

= + = +=
   
()
P
tD
(1 )
2
A
+
x
;
B
t
A
=
x
A
Пусть текущая процентная ставка равна
F
(1 )
2
B
+
, причем
t
B
xx
i
ипри
0
1
. (9.70)
0
=
выполняются условия:
() ()
 
= =
10 20
= =
() ()
10 20
. (9.71)
Данная система условий обеспечивает эквивалент­ность денежных потоков, связанных соблигациями 1 и2 иравенство дюраций облигаций 1 и2. Изданной системы условий, согласно (9.44), следует, что:
Pi Pi
=
. (9.72)
Следовательно, графики функций ются вточке
.
0
Покажем, что для значений венство:
. Для этого убедимся, что для вторых
≠
выполняется нера-
и
1
производных справедливо неравенство: есть график функции чем график функции
является «более выпуклым»,
2
при
=
.
Найдем первые ивторые производные функций и
вточке
2
′′
( ) ( 1)(1 )
P i Ft t i
10 0
=
.
0
′
P i Ft i
=−+
10 0
t
−−
(1 )
2
(1 ) (1 ) (1 )
1
t
−−
,
2
2
P tF tF P tF
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
++ +++
i Pi Pi i Pi
= +
(1 )
+
176
2
2
i
0
2
каса-
, то
1
D
( )
11
AB
tt
−− −−
′
=−+− +
22
20 0 0
AB
tt
AA A BB B
= ++ + ++ =
22
22
00
00 00
AA BB
A A A BB B
tt tt
Ft t Nt t
ii
ii ii

= ++ +=

++
++ ++

22
00 00
AA BB
tt tt

= +++ =

++++

22
00
()
PP
D tx tx D
ii
= + += + +
++
t
22
AA BB
tx tx
AA BB
t tx tx= +
+=
() 2
= + =++ =
22 222
ABAB AA BB AB A B A A BB
ttxx tx tx xx t t tx tx
20 10
() ()Pi Pi
′′ ′′
()Pi
()Pi
ii
B
P i Ft i Ft i
20 0 0
′′
( ) ( 1)(1 ) ( 1)(1 )
P i Ft t i Ft t i
(1 ) (1 )
AA BB
−− −−
,
(1 ) (1 )
(1 )
(1 ) (1 )
Сравним
2 ()
+ = + − −< +
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
P
+
i
0
t tx tx tx tx ttxx
t F tF t F tF
A A A A B B BB
2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
Pi Pi Pi Pi
22

tF tF
AA BB

Pi Pi
(1 ) (1 )

2 2 2 2 22
tt
12
++
00
2
и
AA BB A A BB AB AB
= −+ −+
tx x tx x
+
22
(1 ) (1 )
AA B BB A
сучетом того, что
xx
и
AB
22
AA BB
1
:
Следовательно, справедливо неравенство:
Это означает, что кривая клой», чем кривая
1
>
2
(риc.1).
. (9.73)
является «более выпу-
Видно, что при изменении процентной ставки, то есть
≠
при
текущая стоимость портфеля издвух облигаций
0
(облигация 2)больше текущей стоимости исходной обли­гации (облигация 1). Вэтом случае говорят, что облига­ция 2 иммунизирует облигацию 1.
Из приведенных рассуждений следует, что для имму­низирующего портфеля, состоящего издвух облигаций А
и
, доли облигаций
x
x
и
A
должны удовлетворять
B
системе уравнений:
177
Dx Dx D
+=
+=
1
P
1
P
2
P
2
P
0
i
0
P
i
1
()Pi
2
()Pi
= = = = = =
10000000
F
Риc.9.11. Зависимости текущих стоимостей
отпроцентной ставки
xx
AB
 
AA BB
1
. (9.74)
и
облигаций 1 и2.
Пример
Компании необходимо через 5 лет выплатить долг в размере 10 млн руб. Найти количество 2-летних бес­купонных облигаций иколичество 10-летних бескупон­ных облигаций сноминалами 1000руб., которые следует купить, чтобы защитить портфель облигаций от риска изменения годовой процентной ставки, равной 10%.
Решение
10000000; 5; 2; 10; 10% 0,1F tt t i
12
Текущая стоимость задолженности равна:
P руб
= = =
t
(1 ) (1 0,1)
i
++
5
Дюрации облигаций A иB равны:
Dt Dt= = = =
AA BB
2; 10
Ценовые доли облигаций A иB, иммунизирующие задолженность, находятся изсистемы:
178
6209213,23 .
xx
Dx Dx D
+=
+=
AB
xx
+=
+=
AA
xx
= −
+ −=
85
BA
xx
= −
−=−
A
AA
0,375 6209213,23 2328454,96 .
P x P · руб= = =
F
F
n
n
A
1000 1000
1000 1000
AB
 
AA BB
xx
BA
2 10 (1 ) 5
xx= =
A
 
B
Текущие стоимости
1
1
5 / 8 0,625
= =
3 / 8 0,375
xx
AB
2 10 5
1
 
x
A
P
P
и
A
B
1
n
n
и
A
штук облигаций
B
иB равны:
P x P · руб= = =
BB
Стоимости кпогашению гаций
иB равны:
F P i · руб= += =
AA
F P i · руб= += =
BB
0,625 6209213,23 3880758,27 .
и
и
A
B
A
t
A
(1 ) 3880758,27 1,1 4695717,51 .
t
B
(1 ) 2328454,96 1,1 6039412,50 .
2
10
штук обли-
B
Искомые количества облигаций, входящие в порт­фель, иммунизирующий задолженность, равны:
F
4695717,51
n = = ≈
A
A
4696
F
6039412,50
n = = ≈
B
B
9.1 Найдите текущую стоимость облигации номиналь­ной стоимостью 1000руб., сроком до погашения 7 лет, ежегодными выплатами по купонной ставке 20% при рыночной годовой процентной ставке 12%.
Ответ: 1365,10руб.
6040
Задачи к главе 9
179
9.2 Найдите текущую стоимость облигации номиналь-
{(1; 80), (2; 80), (3; 80), (4; 1080)}CF=
ной стоимостью 1000 руб., сроком до погашения 7 лет, полугодовыми купонными выплатами погодовой купонной ставке 20% при рыночной годовой процентной ставке 12%.
Ответ: 1391,71руб.
9.3. Двумя способами: а) по точной формуле иб)поприближенной формуле найдите доходность кпога­шению облигации сноминальной стоимостью 1000руб., годовой купонной ставкой 5% игодовыми купонными выплатами. Рыночная цена облигации за2 года допога­шения равна 712руб.
Ответ: а)25%, б)24,74%.
9.4. Найдите доходность к погашению облигации номинальной стоимостью 1000руб., сроком до погаше­ния 5лет, купонным периодом 1год игодовой купонной ставкой 15%, если ее рыночная цена равна 1120руб.
Ответ: 11,75%
9.5. Облигация номинальной стоимостью 1000руб. продается за 7 лет до погашения. Годовая купонная ставка равна 12%. Купоны выплачиваются 1раз вгод. Доходность кпогашению равна 16%. Найдите величину дисконта.
Ответ: 161,54руб.
9.6. Облигация номинальной стоимостью 1000руб. продается за 7 лет до погашения. Годовая купонная ставка равна 16%. Купоны выплачиваются 1раз вгод. Доходность кпогашению равна 12%. Найдите величину премии.
Ответ: 182,55руб.
9.7. Найдите доходность к погашению облигации номинальной стоимостью 1000руб., сроком допогашения 7лет, купонным периодом 1 полугодие игодовой купон­ной ставкой 15%, если ее рыночная цена равна 1125руб.
Ответ: 12,77%
9.8. Найдите дюрацию облигации, задаваемой пото­ком платежей:
,
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности