Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Портфель минимального риска равен:
1
X VI
35 35
11
59 59
35 1 4
59 1 7
11
β= µ= =
1,5 3
β
1
−
V
= =
27 25 2
−
1
1
−
VI ·
= =
2
4
1
T
−
IV I ·
α= = = + =
4 4 / 11
11
1
−
= = = = =
X VI ·
min
α
=
7 7 / 11
11
0,363636 0,636364
( )
1 1 4 7 11
( )
7
4 / 11 7 / 11
( )
T
min
=
α
.
1
−
.
T
σ= = = =
min
T
IV · · ·
∗
µ= = = = =
α
11
α
1
−
11
( )
1
= =
1 1 1, 5
··
( )
2
11 22
Нахождение портфеля минимального риска
с доходностью неменьшей заданной
Постановка задачи: найти портфель
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
2
T
X VXσ= →
T
, такой, чтобы
n
min
при условиях:
0,301511 30,15%
3 5 0,2
1
5 9 0,1
2
1,1
1,9
0,136364 13,64%
.
211
1
IX=
µ
(; )
(; )µσ
β
α
1
X VI
T
T
Xµ ≥µ
,
, (10.78)
z
где
— минимальный требуемый уровень доходности.
z
Рассмотрим множество оценок допустимых портфелей (критериальное множество). Как будет показано
ниже, это множество ограничено снизу минимальной гра-
ницей, которая наплоскости
анаплоскости
является ветвью гиперболы.
µσ
является параболой,
2
Правая часть минимальной границы является эффективной границей, накоторой лежат оптимальные портфели.
Риc.10.6. Критериальное множество иего минимальная
иэффективная границы
минимального риска:
212
Возможны 2случая.
Случай а)
Заданное значение
µ ≤µ =
z
.
∗
В этом случае вкачестве решения берется портфель
1
−
min
=
α
. (10.71)
Его риск
1
β
α
β
α
µ=µ
IV I
α=
11TT
−−
β=µ = µ
γ=µ µ
0α>
0γ>
0δ>
TT T
;λν
,,X λν
X
()
∗
µ=
.
Случай б)
Заданное значение
σ=
min
, а его ожидаемая доходность
α
∗
µ >µ =
z
.
В этом случае в исходной задаче можно заменить
условие
T
Xµ ≥µ
наусловие
z
T
X
.
z
Введем следующие обозначения для констант:
1T
−
;
VIIV
1TV−
δ=αγ−β
;
;
2
. (10.79)
В силу положительной определенности матрицы
справедливы соотношения:
;
;
.
Для решения поставленной задачи составим функцию
Лагранжа инайдем ее экстремум:
( ; ; ) 2 (1 ) 2 ( )
LX X VX I X Xλν= +λ − +νµ−µ
где
— множители Лагранжа.
z
, (10.80)
Приравнивая кнулю производные по
чим систему уравнений:
VX I
=λ +νµ
T
IX
=
Выразим
µ=µ
1
T
X
изпервого уравнения:
1
−
XV I
= λ +νµ
. (10.81)
z
(10.82)
, полу-
1V−
213
и подставим во второе итретье уравнения:
()
δδ
δδ
µ
zz
= +µ
δδ
2 11
(())()
TT
12 2
= λ +νµ λ +νµ =λ α+ λνβ+ν γ=
( )( )= λ αλ+βν +ν βλ+γν
1αλ+βν =
zz z z
zz
δδ δ
1
T
−
( )1
IV I
µ λ +νµ =µ
λ +νµ =
1
T
−
VI
. (10.83)
z
Раскрывая скобки сучетом введенных выше обозначений, получим систему:
αλ+βν =
βλ+ γν =µ
1
. (10.84)
z
Определитель данной системы равен:
αβ
=αγ−β =δ>
βγ
2
0
. (10.85)
Следовательно, система имеет единственное решение:
1
1
λ= =
β
µγ
z
γ −βµ
z
ν= =
;
α
1
βµ
1
z
αµ −β
z
. (10.86)
Таким образом, портфель минимального риска при
заданной его ожидаемой доходности
γ−βµ αµ −β
1
∗−
XV I
равен:
z
.
Минимальное значение квадрата риска равно:
∗ ∗− −
XVXVI VVI
σ = = λ +νµ λ +νµ =
TT
( )( ) 2
I VI
−
.
Так как
2
σ=λ+νµ= + µ=
то:
214
γ −βµ αµ −β αµ − βµ + γ
βλ+ γν =µ
и
,
z
2
2
.
Таким образом, для каждого значения ожидаемой
µ
= +µ
δδ
()σµ
δ
(; )
()σµ
(; )µσ
()σµ
αβ
βα
доходности
имеется единственный портфель
γ−βµ αµ−β
1
∗−
XV I
(10.87)
обеспечивающий минимальное значение риска:
2
σ=
Полученная зависимость
σ=
2
2αµ − βµ + γ
δ
2
2αµ − βµ + γ
. (10.88)
2
:
(10.89)
называется уравнением минимальной границы на плоскости
µσ
2
. Ее график называется минимальной гра-
ницей иявляется параболой.
Полученная зависимость
2
σ=
:
2αµ − βµ + γ
δ
называется уравнением минимальной границы на плоскости
, аграфик функции
называется мини-
мальной границей ипредставляет собой верхнюю ветвь
гиперболы сминимумом вточке
1
∗∗
(; ) ;MM
µ σ=
β
α
α
и асимптотами:
σ= µ−
.
Чтобы это доказать, приведем уравнение
2
σ=
2αµ − βµ + γ
δ
215
к каноническому виду:
22
22
ab
−=
δ
22
22
22
αβγβαβαγ−β
σ = µ− + − = µ− + =
αα
22
δ α δ αα
αβ
δα
22
ab
−=
1
δβ
αα
α
α βα β
αδ α
xy
1
.
Для этого вуравнении
2
2
σ=
2αµ − βµ + γ
выделим полный квадрат:
2
δαα δα
α β δα β
= µ− + = µ− +
2
α
Полученное выражение можно записать ввиде:
2
2
ασ − µ− =
2
1
(10.90)
или вканоническом виде:
2
σµ
1
, (10.91)
1
.
где
22
;;ab
= = µ=µ−
2
Следовательно, уравнение асимптот для верхней
ветви гиперболы имеет вид:
1a
216
σ= µ = µ− = µ−
b
αδ
. (10.92)
. (10.93)
σ
β
µ
α
∗
=
0
µ
1
σ
α
∗
=
A
M
B
(; )µσ
20%µ=
10%µ=
95
53
−
β
1
Риc.10.7. Минимальная граница наплоскости
Минимальной границей является кривая AMB.
Асимптоты изображены штриховыми линиями (крупная
штриховка). Точки наболее доходной части минимальной
границы, то есть накривой МВ, являются эффективной
границей.
Пример
На рынке присутствуют два актива сожидаемыми
доходностями:
V
матрицей
=
1
−
,
2
. Найти портфель минимального
и ковариационной
риска изпортфелей доходности неменее а) 18%; б)12%
иего риск. Найти уравнение минимальной границы.
Решение
Рынок вданной задаче такой же, как ивпредыдущем
примере:
∗
µ= = =
0,136364 13,64%
α
;
min
0,301511 30,15%σ= = =
α
217
Случай а)
µ=
µ= > =µ
zz
= +µ
δδ
35
59
11α=
1,5β=
γ
γ=µ µ= = =
0,11 0,095 0,205=+=
0,205 1,5 0,18 0,205 0,27 0,065
·γ −βµ − − −
11 0,18 1,5 1,98 1,5 0,48
·αµ−β − −
18%µ=
= + µ= − + =
−−
В этом случае
0,18
z
0,18 0,1364
z
портфель минимального риска равен:
∗
. Следовательно,
γ−βµ αµ −β
1
∗−
XV I
.
При решении предыдущего примера были найдены:
1
1
−
V
Найдем
1
TV−
0,2 0,1 0,55 0,95
( ) ( )
=
2
иδ.
,
3 5 0,2 0,2
1
5 9 0,1 0,1
2
;
.
.
22
11 0,205 1,5 2,255 2,25 0,005·δ=αγ−β = − = − =
Тогда:
= = = = −
δ
δ
0,005 0,005 0,005
= = = =
0,005 0,005 0,005
96
Портфель минимального риска сдоходностью
равен:
.
13
,
.
3 5 1 0,2
XV I
= += =
218
δδ
3 5 13 19,2 3 5 6,2
11
59 13 9,6 59 3,4
22
−
γ−βµ αµ−β
1
∗−
1
5 9 1 0,1
2
13 96
0,8 0,2
( )
T
Его риск равен:
σ= = =
µ= < =µ
1
11
1,5 3
11 22
β
(; )
δ
11; 1,5; 0,205; 0,005α= β= γ= δ=
22
2 11 0,18 21,5 0,18 0,205
δ
· ··αµ − βµ+ γ − +
0,005
0,0214
= = = =
4,28 2,068816 206,88%
0,005
0,12
Случай б)
В этом случае
µ=
z
0,12 0,1364
z
∗
. Следовательно,
решением будет портфель минимального риска, найденный впредыдущем примере:
1
X VI
min
−
= =
α
0,364 0,636
( )
T
.
Его риск равен:
σ= = = =
min
α
0,301511 30,15%
11
.
Его доходность равна:
∗
µ= = = = =
α
0,136364 13,64%
.
Уравнение минимальной границы на плоскости
2
µσ
имеет вид:
2
σ=
2
2αµ − βµ + γ
.
Подставляя найденные значения параметров:
находим искомое уравнение:
2
11 3 0,205
µ − µ+
2
σ=
0,005
22
2200 600 4,1σ = µ − µ+
,
,
219
Нахождение портфеля смаксимальной доходностью
1
IX=
22
z
σ
(; )
δ
(; )
σ <σ
σ ≥σ
из всех портфелей риска неболее заданного
Постановка задачи: найти портфель
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
, такой, чтобы
n
( ) max
T
XXµ =µ→
при условиях:
где
T
— максимальный допустимый уровень риска порт-
z
()
X X VXσ = ≤σ
,
T
, (10.94)
феля.
На рисунке изображено множество оценок допустимых портфелей (критериальное множество). Это множество ограничено снизу минимальной границей, которая
наплоскости
µσ
2
является параболой:
2
2
αµ − βµ + γ
2
()
σ µ=
.
Риc.10.8. Минимальная граница наплоскости
Если
Тогда в исходной задаче можно заменить условие
X VX≤σ
2T
z
, то задача неразрешима. Пусть
minz
наусловие
что наэффективной границе сувеличением риска увеличивается доходность.
220
X VX= σ
2
µσ
minz
2T
. Это следует изтого,
z
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]