Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Из рисунка видно, что точка
(; )
mz
µσ
()σµ
22
σ=σ
µ
22
20
mz
βδ
α αα
mm
= +µ
δδ
95
53
−
35
59
α
11α=
1,5β=; 0,205γ=
0,005δ=
справа на пересечении кривой
прямой
искомое значение
дает решение задачи. Таким образом,
z
максимальной ожидаемой доходно-
m
B
2
игоризонтальной
2
, лежащая
сти является наибольшим корнем уравнения:
2
2
αµ − βµ + γ
δ
= σ
2
или
z
αµ − βµ + γ −δσ =
z
. (10.95)
Наибольший корень этого уравнения равен:
1
µ = + σ−
2
. (10.96)
Искомый портфель максимальной доходности извсех
портфелей риска неболее заданного значения
σ
z
равен:
XV I
∗
Пример
На рынке присутствуют два актива сожидаемыми
доходностями:
матрицей
V
1
=
−
доходности среди портфелей риска не более 50% и его
ожидаемую доходность.
Решение
Рынок вданной задаче такой же, как ивпредыдущем
1
1
−
V
примере.
=
2
Параметры
;
γ−βµ αµ −β
1
−
20%µ=
,
10%µ=
2
. (10.97)
и ковариационной
. Найти портфель максимальной
, β γ иδ равны:
;
.
221
Искомое значение
µ
22
µ = + σ− = + − =
=+ =+=
0,136364 0,008544 0,144908 14,49%=+==
z
= + µ=
δδ
−−
= +=
=−+ =
22
TT
U X X X X X VX
θθ
доходности равно:
максимальной ожидаемой
m
βδ
mz
α αα
1 1,5 1 0,005
11 11 11
0,5
0,136364 0,159091 0,000455 0,136364 0,000073·
0,144908 14,49%
µ= =
m
Искомый портфель максимальной доходности извсех
портфелей риска не более заданного значения
σ=
равен:
γ−βµ αµ −β
1
XV I
3 5 1 0,2
1 0,205 1,5 0,144908 11 0,144908 1,5
5 9 1 0,1
2 0,005 0,005
1
2
= =
−
∗
··
3 5 1 0,2
2,4724 18,7976
5 9 1 0,1
3 5 1,28712 0,44908
1
5 9 0,59264 0,55092
2
0,44908; 0,55092
X∗=
( )
mm
−
T
.
0,5
Нахождение портфеля смаксимальной полезностью
Функцией полезности портфеля Xпо Марковицу
называется функция:
() () ()
222
=µ −σ =µ −
2
, (10.98)
где
()Xµ
()
θ
2
θ
TT T
θ
(;) 0
VX I
X
11
1
X V VI
−−
I
11
1
−−
θ
IV I
µ=β
( )1
θ
β−λα=θ
λα=β−θ
β−θ
α
2
— ожидаемая доходность портфеля;
Xσ
— квадрат риска портфеля;
— коэффициент неприятия риска инвестора.
Постановка задачи: найти портфель
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
такой, чтобы:
n
( ) max
U X X X VX
TT
=µ− →
T
IX=
1
. (10.99)
Функция Лагранжа имеет вид:
( ; ) (1 )
LX X X VX I X
λ =µ − +λ −
2
Необходимые условия максимума:
∂
LX VX I
∂
X
∂
(;)1 0
LX I X
∂λ
λ =µ−θ −λ =
λ= − =
T
или
Из первого уравнения системы выразим
= µ−λ
( )
θ
Умножая обе части этого равенства на
T
IX=
что
Учитывая, что
1
, получим:
TT T
IX IV IV I
= µ−λ =
( )
1T
−
= α
и
IV
при условии
. (10.100)
θ =µ−λ
T
IX
1
=
(10.101)
:
. (10.8102)
T
иучитывая,
1
.
1T
−
, получим:
1
β−λα =
;
;
;
λ=
. (10.103)
223
Следовательно, портфель снаибольшей полезностью
11
X V VI
−−
θα
θ→∞
11
−−
= µ− =
11
−−
=−==
0,01θ=
0,1θ=
1θ=
1,5θ=
2θ=
7θ=
23,5θ=
35
59
11α=
1,5β=
V·
11
X V VI
−−
θα
0,01θ=
1,5 0, 01 1, 49
11 11
−
имеет вид:
1
При
lim VI VIX
= µ−
пол
X V VI
lim lim
θ→∞
пол
θ→∞ θ→∞
β−θ
θα α
β−θ
1
. (10.104)
β−θ
θα
1
min
Пример
Для рынка издвух активов спараметрами:
0,2 9 5
µ= =
;
V
0,1 5 3
−
−
найти портфель снаибольшей полезностью при заданном
коэффициенте неприятия риска а)
; г)
; д)
; е)
; ж)
; б)
; в)
Решение
Ранее были найдены характеристики:
1
1
−
V
=
2
;
;
Найдем произведения матриц:
35 1 4
1
1
−
= =
VI ·
1
−
59 1 7
2
3 5 0,2 0,55
1
µ= =
5 9 0,1 0,95
2
;
1
= µ−
пол
а)
224
;
β−θ
( ) / 0,135455
β−θ α= = =
11
X V VI
−−
= ⋅ − ⋅=
0,1θ=
1,4 14
11 110
11
−−
= µ− =
θα
=⋅− =
=⋅− =
=−=
1θ=
0,5 1
11
= =
1
= µ− =
пол
θα
1
0,01
100
0,55 0,541818 0,8182
·
0,95 0,948182 0,1818
X =
б)
0,8182 0,1818
( )
пол
( )/
;
β−θ
0,55 4
0,135455
0,95 7
−
−
T
β−θ α= =
.
X V VI
1
пол
0,55 4
1 14
0,1 110
10
0,95 7
11 / 20 56 / 110
19 / 20 98 /110
β−θ
11 / 2 56 / 11 9 / 22
19 / 2 98 / 11 13 / 22
81 / 220
X
= =
пол
139 / 220
( )/
в)
X V VI
пол
0,55 4 5 / 20 4 / 22
=−= −
0,95 7 19 / 20 7 / 22
β−θ α= =
;
1
= µ− =
−−
θα
1
22
0,409091 0,590909
( )
11 22
β−θ
.
T
225
1,5θ=
( )/ 0β−θ α=
11
2θ=
0,5 1
11 22
1 11
= µ− = + =
7θ=
5,5 1
1 11
72
= µ− = + =
23,5θ=
22
11
X
= =
пол
г)
81 / 220
139 / 220
;
0,368182 0,631818
( )
T
β−θ
11
= µ− = =
X V VI
пол
X
= =
пол
д)
X V VI
пол
11 / 40 4 / 44
= +
19 / 40 7 / 44
X
= =
пол
е)
X V VI
пол
11 / 140 2 / 7
= +
19 / 140 1 / 2
X
= =
пол
−−
θα
11 / 30
19 / 30
( )/
β−θ α=− =−
;
θα
161 / 440
279 / 440
( )/
β−θ α=− =−
;
θα
0,366667 0,633333
( )
β−θ
11
−−
0,365909 0,634091
( )
11 2
β−θ
11
−−
1,5
2 22
.
51 / 140
89 / 140
0,364286 0,635714
( )
0,55 11 / 30
0,95 19 / 30
T
0,55 4
0,95 7
T
0,55 4
0,95 7
T
.
( )/ 2
ж)
226
β−θ α=− =−
;
0,55 4
11
= µ− = + =
AA A
0
( )0V Var R= =
cov( ; ) 0
V V RR= = =
1; 2; ... ;in=
VV
VV
VV
VV
β−θ
11
X V VI ·
пол
11 / 470 16 / 47
= +
19 / 470 28 / 47
X
= =
пол
−−
θα
171 / 470
299 / 470
0,363830 0,636170
( )
23,5
0,95 7
2
T
Матричные методы оптимизации портфелей
вмодели Тобина
Пусть рынок состоит избезрискового актива
рисковых активов
A
имеет доходность
0
; ; ... ;
12
µ
ириск
0
что значения элементов ковариационной матрицы равны:
00 0
и
00 0
ii i
. Параметрическая модель рынка из этих
активов имеет вид:
( ; ; ... ; )
µ= µ µ µ
01
T
µ= µ µ µ
,
n
0 0 ... 0
0 ...
V
=
... ... ... ...
0 ...
11 1
1
n nn
n
;
V
=
11 11n
n nn
Портфель Тобина обозначим как
Через
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
обозначим вектор, коорди-
n
натами которого являются веса рисковых активов. Безрисковый портфель в модели Тобина обозначим как
(1; 0; ... ; 0)
X =
0
T
.
Ожидаемая доходность портфеля в модели Тобина
равна:
A
иn
0
. Безрисковый актив
n
0σ=
. Изэтого следует,
для всех
( ; ; ... ; )
12
T
(10.105)
n
. (10.106)
( ; ; ... ; )
X xx x=
01
n
T
227
.
nn
Xxx xµ =µ +µ + +µ
DX DX X VX
;;VXµ
;;VXµ
+ ++ =
10
x xx
σ
µ
xXµ +µ =µ
+=
µ
xXµ +µ =µ
00 0 0
( ) ...
00 11
. (10.107)
Квадрат риска (дисперсия)портфеля вмодели Тобина
равна:
2
() ()
= =σ=
T
, (10.108)
то есть зависит только отрисковых активов иотковариационной матрицы рисковых активов.
Неподчеркнутые символы:
относятся
крисковым активам, аподчеркнутые символы
A
включают также безрисковый актив
( ; ; ... ; )
Вектор
X xx x=
01
T
является портфелем, так
n
.
0
как для него выполняется основное портфельное ограничение:
xx x
01
Вектор
лем неявляется, так как
фелем только при
... 1
n
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
0
.
n
... 1
++ =−
0x =
.
T
в общем случае портфе-
n
. Он будет порт-
Портфель Тобина минимального риска извсех
портфелей с заданной ожидаемой доходностью
Требуется найти портфель
рый минимизировал бы риск
величину
ожидаемой доходности. Следовательно,
( ; ; ... ; )
X xx x=
01
иобеспечивал заданную
n
T
, кото-
постановка задачи такова: найти минимум целевой функции
2
T
X VXσ= →
min
при условиях:
00
T
;
(1; 1; ... ; 1)
I =
где
Умножим обе части второго уравнение на
00
228
T
x IX
0
T
— n-мерный вектор.
T
;
1
, (10.109)
x IXµ +µ =µ
:
0
T
и исключим переменную
00
00
00
TT
00
()
X
()XV I
0 00
00 0
λαµ−βµ+γ=µ−µ
00
22
µ−µ µ−µ
2 12
0 0 00
= µ−µ µ−µ =αµ − βµ +γ
00
=αµ−βµ+γ
x
, вычитая изпервого уравне-
0
ния второе. Получим уравнение:
()
T
IXµ−µ =µ−µ
. (10.110)
Задача оптимизации примет следующий вид: найти
минимум целевой функции:
2
T
X VXσ= →
()
min
при условии:
T
IXµ−µ =µ−µ
. (10.111)
Для решения этой задачи составим функцию
Лагранжа изапишем для нее необходимые условия экстремума:
L X VX I X= − λ µ−µ −µ+µ
2 (( ) )
Необходимые условия экстремума имеют вид:
VX I
=λ µ−µ
Выразим
µ−µ =µ−µ
()
T
IX
изпервого уравнения иподставим во второе:
1
−
=λ µ−µ
TT
( )( )
λ µ −µ µ−µ =µ−µ
(2 )
или
1
−
IV I
2
Множитель Лагранжа равен:
()() 2
d IV I
где
λ= =
αµ−βµ+γ
T
2 d
00
−
2
2d
. (10.112)
0
. (10.113)
;
0
.
, (10.114)
, (10.115)
. (10.116)
229
Вектор рисковых долей искомого портфеля равен:
()XV I
d
µ−µ
00
1 1 ()
TT
x I X IV I
d
00
( ) ()
σ = =λ µ −µ µ−µ =
22
00
µ≥µ
d
µ−µ
µ
0
1
= µ−µ
−
2
. (10.117)
0
Безрисковая доля искомого портфеля равна:
µ−µ
= − = − µ−µ
0
2
1
−
.
Квадрат минимального риска равен:
2 2 11
T TT
X VX I V VV I
22 2
(2 ) d
=λαµ−βµ+γ= =
00
−−
µ−µ µ−µ
2
d
d
и уравнение минимальной границы имеет вид:
2
0
. (10.118)
d
Так как
µ−µ
2
σ=
, то уравнение минимальной (эффек-
0
тивной)границы портфеля Тобина принимает вид:
0
σ= µ≥µ
,
. (10.119)
0
Покажем, что эта прямая является касательной кграфику минимальной границы портфеля Марковица:
2
σ=
2αµ − βµ + γ
δ
.
Приравняем правые части этих выражений:
µ−µ
2
0
d
2
2
αµ − βµ + γ
=
δ
и решим полученное квадратное уравнение относительно
переменной
.
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]