Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
используя весовые коэффициенты платежей. Купон-
{(1; 60), (2; 60), (3; 60), (4; 360)}CF =
ный период равен 1году. Годовая рыночная процентная
ставка равна 10%.
Ответ: 3,5617года
9.9. Найдите дюрацию облигации поформуле, независящей отноминальной стоимости, если ее срок до погашения 6лет, купонный период 1год, годовая купонная
ставка 15%. Годовая рыночная процентная ставка равна
10%.
Ответ: 4, 510531365года.
9.10. Найдите а) дюрацию, б) модифицированную
дюрацию ив)выпуклость облигации, задаваемой потоком
платежей:
.
Купонный период равен 1 году. Рыночная годовая
процентная ставка равна 10%. По модифицированной
дюрации ивыпуклости найдите г)приближенное значение относительного изменения текущей стоимости облигации при повышении годовой процентной ставки на1
процентный пункт.
Ответ: а)3,2207; б)2,9279; в)12,2846; г)— 2,87%.
9.11. Компании необходимо через 6 лет выплатить
долг вразмере 20млн руб. Найдите а)количество 2-летних бескупонных облигаций иб) количество 10-летних
бескупонных облигаций сноминалами 1000 руб., которые следует купить, чтобы защитить портфель облигаций
отриска изменения годовой процентной ставки, равной
10%.
Ответ: а)8 197; б)14173.
Глава 10.
0
10
()PP−
10
PP
01
[; ]tt
12
[; ]tt
110
Ttt
2 21
Ttt= −
012
ttt
012
PPP
10
PP
−
21
PP
−
ПОРТФЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Финансовая операция иее доходность
Финансовой операцией называется любая операция,
начальное иконечное состояние которой имеет денежное
выражение.
Обозначим:
P
— денежное выражение начального состояния
финансовой операции;
P
— денежное выражение конечного состояния
1
финансовой операции;
— доход финансовой операции;
−
и
и
µ=
T
равны:
2
(10.1)
P
0
с периодами
;;
= −
и
. Доходно-
— доходность или эффективность финансовой операции.
Доходность финансовой операции
занесколько периодов
Рассмотрим 2следующие друг задругом промежутка
времени:
. Обозначим стоимости актива вмоменты вре-
мени
;;
сти запериоды
соответственно через
T
1
182
µ=
1
µ=
;
P
0
2
.
P
1
Доходность засуммарный период времени
12
TT T= +
20
PP
−
µ= −
12
12
1 (1 ) (1 )+µ= +µ +µ
12
µ= +µ +µ −
n
TT T
µµ µ
TT T T
(1 ) (1 ) ... (1 ) 1
µ= +µ +µ +µ −
равна:
µ=
.
P
0
Представим доходности ввиде:
P
µ= −
1
1
P
0
1
,
P
2
2
1
P
1
µ= −
,
P
2
1
,
P
0
а затем ввиде:
+µ =
1
P
1
+µ =
1
1
,
P
0
P
2
1
2
,
P
1
+µ=
P
2
.
P
0
Перемножая первые два выражения, получим:
P
+µ +µ =
(1 ) (1 )
2
.
P
0
Следовательно, справедливы выражения:
или же
(1 ) (1 ) 1
Эти формулы можно обобщить на
. (10.2)
последователь-
ных периодов времени. Пусть доходности финансовой
операции за последовательные периоды времени
; ; ... ;
12
соответственно равны
n
; ; ... ;
12
,
n
адоходность финансовой операции засуммарный период
времени
= + ++
12
...
равна µ. Тогда справедлива
n
формула:
1 (1 ) (1 ) ... (1 )
+µ= +µ +µ +µ
12
12
или
n
(10.3)
n
183
Если за рассматриваемые промежутки времени
TT T
µ=µ= =µ
1
12
TT T= +
12
µ= = µ= =
µ= +µ +µ − =µ +µ +µ µ =
24% 0,24; 12nµ= = =
; ; ... ;
12
доходности равны, то есть
n
12
...
n
тогда справедливы формулы:
(1 ) 1
µ= +µ −
µ = +µ −
1
n
1
(1 ) 1
n
, (10.4)
(10.5)
Пример
T
Доходности актива запериоды времени
T
и
1
соот-
2
ветственно равны 30% и40%. Найти доходность актива
запериод
.
Решение
30% 0,3; 40% 0,4
(1 )(1 ) 1
1 2 1 2 12
=++ = =
0,3 0,4 0,3 0,4 0,82 82%.·
Пример
Доходности актива закаждый месяц равны 3%. Найти
доходность актива загод.
Решение
3% 0,03; 12nµ= = =
1
(1 ) 1 (1 0,03) 1 0,425760886 42,58%
µ= +µ −= + −= =
n
1
12
,
Пример
Доходность актива загод равна 24%. Найти доходность актива закаждый месяц этого года при условии ее
постоянства.
Решение
11
(1 ) 1 (1 0,24) 1 0,018087582 1,81%
µ= +µ −= + −= =
1
184
n
12
Ожидаемая доходность, риск иоценка
AA A
A
01
[; ]tt
10
ii
PP
−
t
t
()
ii
µ=
22
() () ( )
i i i ii
()
ii i
A
(; )
ii
µσ
AA A
финансовых активов
Предполагается, что нафинансовом рынке вобращении находятся финансовые активы
Доходностью ценной бумаги
запромежуток времени
i
; ; ... ;
12
называется случайная величина:
R
P
где
0
и
P
и
0i
1
— стоимости бумаги
1i
.
Ожидаемой доходностью бумаги
=
i
, (10.6)
P
0
i
A
вмоменты времени
i
A
называется мате-
i
матическое ожидание ее доходности:
.
n
Вариация (дисперсия)доходности бумаги
Var R D R E R= =σ = −µ
Риском актива
ское отклонение (СКО)его доходности:
Оценкой актива
Ожидаемая доходность ириск актива являются его
важнейшими инвестиционными характеристиками,
наоснове которых инвестор принимает решение оразмещении средств вэтот актив.
Ожидаемая доходность, риск иоценка портфеля
Пусть
{ ; ; ... ; }
12
ных бумаг), присутствующих нарынке,
ER
. (10.7)
A
равна:
i
. (10.8)
A
называется среднее квадратиче-
i
2
Var Rσ= σ =
называется пара чисел
i
. (10.9)
ценных бумаг
— множество активов (цен-
n
.
185
{ ; ; ... ; }
PP P
AA A
0t =
ni
PP P P P
PP
x in
ni
+ ++ = =
AA A
x
++ + =
10
XX
PP
−
01 02 0
ных инвестором всоответствующие активы
— множество денежных сумм, вложен-
n
; ; ... ;
12
в начальный момент времени, то есть при
сумма всех инвестиций составит величину:
n
= + ++ =
0 01 02 0 0
...
∑
i
=
.
1
Относительная доля («вес») каждого актива вобщей
P
сумме
составит:
0
i
00
ii
= = =
P
0
; 1; 2; ...
n
P
∑
0
i
1
i
=
.
Сумма всех относительных долей (весов)равна единице:
n
xx x x
12
... 1
∑
i
=
1
.
Портфелем, состоящим из ценных бумаг
; ; ... ;
12
называется вектор:
n
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
,
n
n
. Тогда
компонентами которого являются
(веса)инвестиций вценную бумагу
выполняться условие нормировки (основное портфельное
ограничение):
xx x
12
... 1
n
Доходностью портфеля называется случайная величина
R
186
=
X
P
— ценовые доли
i
A
. При этом должно
i
n
1
∑
i
1
x==
(10.10)
i
или
(10.11)
0
X
P
X
...
X nn
R xR xR x R= + ++
X
( ) ( ... )
ER Ex R x R x R
µ= = + ++ =
nn
xx xµ= µ + µ + + µ
X
TT
µ=µ = µ
(; )
ij
A
A
= = −µ −µ
( )
( ) (; )
ij=
22
где
мени
Доходность портфеля
0 X
P
и
t
и
0
— стоимости портфеля Xв моменты вре-
1X
t
.
1
равна взвешенной сумме
доходностей активов, входящих впортфель:
11 22
. (10.12)
Ожидаемой доходностью или средним значением
доходности портфеля
называется математическое ожи-
дание его доходности:
X X nn
( ) ( ) ... ( )
xER x ER x ER
= + ++
112 2
11 22
nn
Таким образом, ожидаемая доходность портфеля X
равна:
µ
где
— ожидаемые доходности бумаг портфеля.
i
Обозначим через
11 22
( ; ; ... ; )
µ= µ µ µ
...
12
мых доходностей бумаг портфеля
. (10.13)
T
вектор ожидае-
n
. Тогда справедливы
формулы:
Ковариации
и
i
Cov R R
равны:
j
V Cov R R E R R
ij i j i i j j
( ; ) (( ) ( ))
XX
. (10.14)
доходностей
R
и
i
R
. (10.15)
бумаг
j
Матрица
риаций доходностей
V V Cov R R= =
ij i j
R
R
и
i
бумаг
j
ковариационной матрицей. При
V Cov R R E R Var R= = −µ = =σ
ii i i i i i i
(; ) ( ) ()
, состоящая изкова-
A
A
и
i
, называется
j
,
187
то есть наглавной диагонали ковариационной матрицы
22
() ( )
XX
X X i j ij
X VX
X
(; )µσ
µ
(; )
ij ij
Cov R R V
()
= ρ
VV
ij ji
ρ=ρ
V
расположены вариации (квадраты риска) доходностей
бумаг портфеля.
Вариация доходности (квадрат риска)портфеля ценных бумаг равна:
Var R E R=σ = −µ
Можно показать, что вариация доходности (квадрат
риска) портфеля ценных бумаг
. (10.16)
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
n
можно вычислить поформуле:
() ( )
Var R E R x x V
22
=σ = −µ =
nn
∑∑
ij
= =
11
. (10.17)
В матричном виде это выражение имеет вид:
2 T
σ=
. (10.18)
Таким образом, риск портфеля равен:
Оценкой портфеля
где
— ожидаемая доходность портфеля, σ — риск
X VXσ= σ =
называется пара чисел
. (10.19)
2 T
портфеля.
Коэффициент корреляции
A
равен:
и
j
стей
Матрица
R
R
и
i
ρ= =
ij
C
бумаг
j
, состоящая изкорреляций доходно-
ij
A
i
ρ
доходностей бумаг
ij
i j ij
σσ σσ
A
и
, называется корреляционной
j
. (10.20)
A
матрицей.
Исходя из определений этих величин, видно, что
=
ij ji
и
. Поэтому, ковариационная матрица
и корреляционная матрица C являются симметричными.
Так как
,
i
188
2
(; )
Cov R R
ρ= = =
C
ij
ij ij i j
=ρ σσ
ρ
43
39
42
93
ii
ii
σσ
ii
σ
i
1
, (10.21)
2
σ
i
то наглавной диагонали корреляционной матрицы
положены единицы.
Ковариационная икорреляционная матрицы
портфеля издвух бумаг
V
Так как
ρ=
ij
ij
и,следовательно,
σσ
V
рас-
, то
VV
V
11 12
= =
VV
21 22
C
=
σ ρ σσ
ρ σσ σ
12 1 2 2
1
ρ
12
Пример
Дана ковариационная матрица:
V
=
−
−
Найти корреляционную матрицу.
Решение
Риски активов равны:
σ= =
1
Коэффициенты корреляции равны:
ρ=ρ= = =−=−
V
12 21
σσ
12
12
−
23 2
·
Корреляционная матрица имеет вид:
1 0,5
С
=
−
−
0,5 1
2
1 12 1 2
12
(10.23)
1
(10.22)
2
.
σ= =
;
2
31
0,5
189
Ковариационная икорреляционная матрицы
ρρ
=ρρ
4 32
39 9
−
=−−
42
93
V
=−−
портфеля изтрех бумаг
VVV
11 12 13 1 12 1 2 13 1 3
VVVV
= = ρ σσ σ ρ σσ
21 22 23 12 1 2 2 23 2 3
VVV
31 32 33 13 1 3 23 2 3 3
2
σ ρσσ ρ σσ
ρ σσ ρ σσ σ
1
C
12 23
ρρ
13 23
Пример
Дана ковариационная матрица:
V
2 9 16
Найти корреляционную матрицу.
Решение
Риски активов равны:
σ= =
1
σ= =
;
2
;
Коэффициенты корреляции равны:
−
23
31
·
23 2
21
24 4
·
93
−
34 4
·
ρ=ρ= = =−=−
12 21
ρ=ρ= = = =
13 31
12
σσ
12
V
13
σσ
13
V
ρ=ρ= = =−=−
23 32
σσ
23
Корреляционная матрица имеет вид:
1 0,5 0,25
−
0,5 1 0,75
C
0,25 0,75 1
190
−
12 13
1
−
3
0,5
0,25
2
2
(10.25)
1
.
16 4σ= =
.
;
;
0,75
.
. (10.24)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]