Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Параметрическая модель рынка
A AA A
( )
µ
AA A
; ; ... ;
xx x
xx x≥≥ ≥
xx x
Для решения большинства инвестиционных проблем
инвестору достаточно знать следующие параметры рынка:
{ ; ; ... ; }
– множество
щихся нарынке;
– вектор
µ= µ µ µ
=
12
( ; ; ... ; )
12
n
активов, обращаю-
n
T
ожидаемых доходностей
активов;
– ковариационная матрица
( ) ( ; ) ; ; 1; ... ;
V V Cov R R i j n= = =
ij i j
доходностей этих активов.
Параметры рынка
иV оцениваются с помощью
известных значений цен активов заопределенный промежуток времени впрошлом.
Типы моделей втеории инвестиций
Рассмотрим портфели, состоящие изn рисковых
активов
Если значения весов
X xx x=
лей
цательные значения:
; ; ... ;
12
( ; ; ... ; )
12
.
n
12
T
могут принимать только неотри-
n
0; 0; ... ; 0
12
активов портфе-
n
, то такая
n
модель называется моделью Марковица, апортфели, рассматриваемые вданной модели, называются портфелями
Марковица.
Если же значения весов
; ; ... ;
12
активов могут
n
принимать как неотрицательные, так иотрицательные
значения, то такая модель называется моделью Блэка,
апортфели, рассматриваемые вданной модели, называются портфелями Блэка. Отрицательные веса означают
долговые обязательства.
В финансовой теории ипрактике важную роль играют
безрисковые активы, то есть активы, которые имеют фиксированную доходность. Модель, вкоторой предполага-
191
ется наличие n рисковых активов
AA A
X
X
() ()
ij
XX
() ()
ij
XXσ ≤σ
() ()
ij
XX
() ()
ij
XX
(; )Q =µσ
A
иодного безрискового актива
, называется моделью
0
; ; ... ;
12
n
Тобина, апортфели, рассматриваемые в данной модели,
называются портфелями Тобина.
Основные задачи портфельного анализа
При инвестировании возникает основной вопрос:
вкакие активы ивкаких пропорциях вкладывать средства,
учитывая, что более высокий уровень доходности связан
сболее высоким риском. Поэтому основные задачи портфельного анализа формулируются следующим образом:
– найти портфель минимального риска при заданной
его доходности;
– найти портфель максимальной доходности при
заданном его риске;
– найти портфель максимальной полезности.
Эффективные инаилучшие портфели
Будем говорить, что портфель
портфелем
доходности портфеля
ходит риск портфеля
– риск портфеля
идоходность портфеля
феля
Портфели, для которых взаданном множестве портфелей ненайдется доминирующих над ними портфелей,
называются эффективными портфелями относительно
этого множества.
Пример
Пусть
портфеля соценками:
192
X
, то есть
j
X
доминирует над
i
, если:— доходность портфеля
j
X
ириск портфеля
j
X
, то есть
j
µ >µ
;
X
меньше риска портфеля
i
X
не меньше доходности порт-
σ <σ
i
µ ≥µ
и
— оценка портфеля. Рассмотрим 4
больше
i
X
непревос-
i
.
и
X
j
(0,4; 0,1)Q
=
=
=
1
2
3
(0,5; 0,3)Q =
(; )µσ
(; )µσ
(; )µσ
1
,
(0,5; 0,3)Q
2
(0,3; 0,4)Q =
4
(0,6; 0,2)Q
,
3
,
.
Третий портфель доминирует над вторым ичетвертым портфелями. Следовательно, второй и четвертый
портфеля неявляются эффективными. Третий портфель
недоминирует над первым ипервый портфель недоминирует над третьим. Следовательно, эффективными относительно заданного множества из четырех портфелей
являются только первый итретий портфели.
Наилучшим портфелем иззаданного множества портфелей называется портфель, который доминирует над
всеми остальными портфелями.
Пример
Рассмотрим 4 портфеля соценками:
(0,3; 0,4)Q =
,
(0,6; 0,1)Q =
(0,4; 0,2)Q =
,
,
4
.
Из заданного множества портфелей наилучшим является второй, так как он доминирует над всеми остальными
портфелями.
Критериальное множество
иего эффективная граница
Введя координатную плоскость
и вычисляя для
каждого портфеля издопустимого множества портфелей
его оценку
, можно отобразить точками наэтой пло-
скости оценки всех допустимых портфелей.
Плоскость
, накоторой отображаются оценки
портфелей, называется плоскостью оценок. Образом допустимого множества портфелей при таком отображении
будет некоторое множество вплоскости оценок, которое
называется критериальным множеством. Можно пока-
зать, что оценки эффективных портфелей лежат на границе критериального множества.
193
Множество оценок всех эффективных портфелей назы-
12
(; )
11 1
(; )
µσ
22 2
(; )
µσ
12
xx
12
µµ
12
σσ
ρ
+=
µ
11 2 2
xx
σ
σ= = =
=+ +=
вается эффективной границей критериального множества
или кривой Парето или Парето-эффективной границей.
Риc.10.1. Критериальное множество
иего эффективная граница
Портфели издвух итрех бумаг
Ожидаемая доходность ириск портфеля издвух бумаг
Рассмотрим портфели
издвух бумаг
A
вые доли бумаг,
;
— риски бумаг. Обозначим коэффициент корреля-
;
X xx=
A
и
— ожидаемые доходности бумаг,
ции доходностей бумаг через
. Справедливо условие
12
T
, составленные
, где
;
— цено-
нормировки (основное портфельное ограничение):
12
1xx
Ожидаемая доходность портфеля
Квадрат риска портфеля
2
X VX x x
xV xV xV xV
( )
194
µ=µ +µ
2
равен:
T
1 11 2 12 1 12 2 22
( )
12
. (10.26)
равна:
. (10.27)
VV
11 12
VV
12 22
x
1
x
2
x
1
x
2
22
x V x xV x xV x V
=+++=
22
2 22 22
11 121212 22
x xx x
22 22
11 121212 22
123
(; ; )
11 1
(; )A µσ
22 2
(; )A µσ
33 3
(; )A µσ
123
xxx
123
µµµ
123
σσσ
A
;;ρ ρρ
123
++=
µ
11 2 2 33
xxx
σ= = =
1 11 1 2 12 1 2 12 2 22
xV xxVxV
2
1211 1212 2222
. (10.28)
Риск портфеля равен:
Так как
1 11 1 2 12 2 22
22
11 1 22 2 12 1 2 1 2
;;VVV=σ =σ =ρ σσ
2xV xxV xVσ= + +
. (10.29)
, то выраже-
ния для квадрата риска и риска можно представить
ввиде:
σ =σ + ρ σ σ +σ
2
2x xx xσ= σ + ρ σ σ +σ
(10.30)
(10.31)
Ожидаемая доходность ириск портфеля изтрех бумаг
Рассмотрим портфели
из трех бумаг
;;
— ценовые доли бумаг,
мые доходности бумаг,
X xxx=
и
;;
— риски бумаг. Обозна-
чим коэффициенты корреляции доходностей бумаг
A
A
A
A
,
и
2
1
,
3
A
и
2
соответственно через
3
T
, составленные
,
;;
— ожидае-
, где
1
12 13 23
и
.
Справедливо условие нормировки (основное портфельное
ограничение):
1xxx
. (10.32)
Ожидаемая доходность портфеля
Квадрат риска портфеля
2
X VX x x x V V V x
µ=µ +µ +µ
T
( )
1 2 3 12 22 23 2
2
σ
равен:
VVV x
11 12 13 1
VVV x
13 23 33 3
равна:
. (10.33)
195
222
1 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 23
222xV xV xV xxV xxV xxV=+++ + +
. (10.34)
222
1 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 23
222xV xV xV xxV xxV xxVσ= + + + + +
;;; ;
;,
22
σ=σ ++σ +σ +ρσσ +ρσσ +
xx
22 22 22
1 1 2 2 3 3 12 1 2 1 2 13 1 3 1 3 23 1 3 1 3
222x x x xx xx xxσ=σ ++σ +σ +ρσσ +ρσσ +ρσσ
12
(; )
11 1
(; )
µσ
22 2
(; )
µσ
12
xx≥≥
1ρ=
σ =σ + ρ σ σ +σ =σ +
22 2
2 ()
12
xx≥≥
11 2 2 11 2 2
xx xx
Риск портфеля равен:
. (10.35)
Так как
VVVV
222
=σ =σ =σ =ρ σσ
11 1 22 2 33 3 12 12 1 2
VV
=ρ σσ =ρ σσ
13 13 1 3 23 23 2 3
то выражения для квадрата риска и риска можно представить ввиде:
2 22 22 22
x x x xx xx
11 22 33 121 212 131313
2
+ρ σσ
23 1 3 1 3
(10.36)
(10.37)
Портфели издвух бумаг.
Случай полной корреляции ρ12 = 1
Рассмотрим портфели
издвух бумаг
A
вица, то есть при условии
Так как поусловию
и
X xx=
A
0; 0
, то квадрат риска порт-
12
T
, составленные
, вмодели Марко-
.
феля равен:
2 22 22 22
2x xx x x
11 121212 22 11
Так как поусловию
xx x x xσ σ +σ = σ +σ
1212 2 2 11 2 2
0; 0
, то риск портфеля
равен:
196
σ= σ +σ =σ +σ
(10.39)
. (10.38)
Ожидаемая доходность портфеля µ равна:
11 2 2
xxµ=µ +µ
1 11 2 2 2
xxµ σ=µ σ +µ σ
12
xx≥≥
+=
(; )µσ
11 1
(; )A µσ
22 2
(; )A µσ
(; )µσ
1
ρ=
xx
µ +µ =µ
12
+=
11
xx
(10.40)
Запишем выражения (10.33)и(10.34)ввиде:
Это выражение при условиях
является уравнением отрезка наплоскости
цами вточках
Риc.10.2. Множество портфелей вмодели Марковица
(; ) ( ; ) ( ; )
0; 0
и
наплоскости
.
. (10.41)
и
12
скон-
Пример
Портфель состоит из двух бумаг
(0,64; 0,23)A
2
. Коэффициент корреляции бумаг
(0,14; 0,11)A
и
1
12
Ожидаемая доходность портфеля равна 0,37. Найти портфель иего риск.
Решение
1xx
.
0,5 0,27; 0,54; 0,46; (0,54; 0,46)
0,14 0,64 0,37
11 2 2
+=
xx
12
x xxX−=− = = =
1 12
1
0,14 0,64(1 ) 0,37
xx
21
+ −=
= −
1
xx
= −
1
xx
21
T
197
11 2 2
σ=σ +σ = + = + =
0,1652 16,52%= =
(0,13; 0,12)A
ρ=
xx
σ +σ =σ
12
xx
+=
11
xx
µ=µ +µ = + = + =
0,415 41,5%= =
12
(; )
11 1
(; )
µσ
22 2
(; )
µσ
12
xx≥≥
ρ=−
2 22 22 22 22
11 121212 22 11 1212 22
22x xx x x xx xσ =σ + ρ σ σ +σ =σ − σ σ +σ =
()xx
0,11 0,54 0,23 0,46 0,0594 0,1058xx · ·
.
Пример
Портфель состоит из двух бумаг
(0,51; 0,32)A
2
. Коэффициент корреляции бумаг
1
и
1
12
Риск портфеля равен 0,27. Найти портфель иего доходность.
Решение
.
11 2 2
+=
xx
12
0,2 0,05; 0,25; 0,75; (0,25; 0,75)
x xxX−=− = = =
1 12
11 2 2
1
0,12 0,32(1 ) 0,27
= −
xx
1
21
0,13 0,25 0,51 0,75 0,0325 0,3825xx · ·
0,12 0,32 0,27
= −
xx
1
21
+ −=
.
Случай полной антикорреляции ρ12 = –1
Рассмотрим портфели
издвух бумаг
A
вица, то есть при условии
Так как поусловию
и
12
X xx=
A
0; 0
1
, то квадрат риска порт-
T
, составленные
, вмодели Марко-
.
феля равен:
= σ −σ
11 22
2
. (10.42)
T
198
Риск портфеля равен:
11 22
xx
11 22
xxσ=σ
(; )µσ
xx
11 2 1
21
xx
1 21 2
21
xx
2 1 21
12 12 1212
;; ;
σ σ σσ
12 21
11
µ σ +µ σ
ρ=−
σ= σ −σ
. (10.43)
Видно, что при выполнении условия
портфеля равен нулю.
Риc.10.3. Множество портфелей вмодели Марковица
наплоскости
1
X
0
(1 )
Портфель нулевого риска
σ −σ =
11 22
+=
xx
12
xxX
= = =
12 0
σ +σ σ +σ σ +σ σ +σ
1
σ =σ−
0
= −
xx
.
находится изсистемы:
()
σ +σ =σ
= −
1
x
T
Ожидаемая доходность портфеля равна:
риск
(10.44)
xx
µ=µ +µ =
11 2 2
Пример
Портфель состоит из двух бумаг
(0,56; 0,43)A
2
. Коэффициент корреляции бумаг
Найти портфель нулевого риска иего ожидаемую доходность.
σ +σ
. (10.45)
(0,24; 0,21)A
1
и
1
12
199
.
Решение
( )
0,24 0,671875 0,56 0,328125xx · ·µ=µ +µ = + =
0,16125 0,18375 0,345 34,5%=+==
ρ=−
xx
µ +µ =µ
12
+=
11
xx
0,12 0,65 0,36 0,35
xxσ= σ −σ = ⋅ − ⋅ =
11 1
(; )
µσ
22 2
(; )A µσ
ρ=
xσ= = = =
1
xσ= = = =
2
X =
0
2
σ +σ +
12
1
σ +σ +
12
0,671875; 0,328125
11 2 2
0,43 0,43
0,21 0,43 0,64
0,21 0,21
0,21 0,43 0,64
T
0,671875
0,328125
Пример
Портфель состоит из двух бумаг
(0,53; 0,36)A
2
. Коэффициент корреляции бумаг
(0,13; 0,12)A
1
и
1
12
Ожидаемая доходность портфеля равна 0,27. Найти портфель иего риск.
Решение
0,13 0,53 0,27
11 2 2
+=
xx
12
1
xx
= −
1
xx
21
.
0,13 0,53(1 ) 0,27
xx
0,4 0,26; 0,65; 0,35; (0,65; 0,35)
=−==
+ −=
= −
1
21
x xxX−=− = = =
1 12
11 2 2
0,078 0,126 0,048 4,8%.
Портфели издвух независимых бумаг
Так как, поусловию, доходности бумаг
независимы, то они инекоррелированы. Сле-
довательно, коэффициент корреляции бумаг
200
T
A
и
0
12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]