Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
1919
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Департамент математики Факультета информационных
технологий ианализа больших данных
С.В.Александрович
ФИНАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Для студентов, обучающихся понаправлениям подготовки
38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»
МОСКВА
2023
УДК 336.6(075.8)
ББК 65.261я73
А 46
ександрович С.В., канд. физ.-мат. наук, доцент
Ал
Департамента математики Факультета информационных
технологий ианализа больших данных Финансового университета при Правительстве РФ.
ь-Натор М.С., кандидат физико-математических
Ал
наук, доцент, доцент Департамента математики факультета
информационных технологий Финансового университета при
Правительстве Российской Федерации;
Попов В.Ю., доктор физико-математических наук, профессор, профессор Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».
Автор:
Рецензенты:
Александрович С.В.
А 46
Финансовая математика: Учебное пособие /
С.В.Александрович. – М.: Прометей, 2023. – 306 с.
ISBN 978-5-00172-507-7
Целью пособия
в изучении теоретических основ дисциплины «Финансовая
математика». В пособии кратко и доступно изложены следующие темы: временные и календарные шкалы, начисление
простых и сложных процентов, математическое дисконтирование и банковский учет, учет инфляции, финансовые потоки
и ренты, облигации, портфельный анализ, модели финансовых рынков, производные финансовые инструменты. Изложение сопровождается большим количеством подробно разобранных примеров и задач для самостоятельного решения,
способствующих лучшему пониманию изложенных теоретических выводов.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент».
ISBN 978-5-00172-507-7
является оказание помощи студентам
© Александрович С.В., 2023
© Издательство «Прометей», 2023
Оглавление
Глава 1. Временная икалендарная шкалы................................. 4
Задачи кглаве 1 .......................................................... 9
Глава 2. Простейшие кредитные операции .............................. 12
Задачи кглаве 2 .........................................................21
Глава 3. Начисление простых исложных процентов .............. 24
Задачи кглаве 3 .........................................................46
Глава 4. Финансовая эквивалентность обязательств
и конверсия (перерасчет)платежей .......................................... 50
Задачи кглаве 4 .........................................................53
Глава 5. Инфляция идоходность. Формула фишера................56
Задачи кглаве 5 .........................................................61
Глава 6. Дискретные финансовые потоки ................................. 63
Задачи кглаве 6 .........................................................79
Глава 7. Непрерывные финансовые потоки ............................. 81
Задачи кглаве 7 .........................................................88
Глава 8. Ренты .............................................................................90
Задачи кглаве 8 ....................................................... 143
Глава 9. Облигации ...................................................................151
Задачи кглаве 9 ....................................................... 179
Глава 10. Портфельный анализ ...............................................182
Задачи кглаве 10 ..................................................... 240
Глава 11. Модели финансовых рынков ................................... 244
Задачи кглаве 11 ..................................................... 265
Глава 12. Производные финансовые инструменты ................ 267
Задачи кглаве 12 ..................................................... 299
Литература.................................................................................303
Приложение. Порядковые номера n(∂) дней вгоду,
используемые при применении правил act/365; act/360 .... 304
3
Глава 1.
0t =
(. . )dmy∂=
d
()N ∂
()N ∂
∂
∂
∂
2
T
K
ВРЕМЕННАЯ ИКАЛЕНДАРНАЯ ШКАЛЫ
Временной шкалой называется временная координата, заданная началом отсчета иединицей измерения.
Началом отсчета обычно служит
измерения времени является год, то временная шкала
называется годовой.
Основным элементом календарной шкалы является
дата. Дата обозначается упорядоченной тройкой чисел:
— номер дня, m— номер месяца, y— номер года.
где
В календарной шкале мерой длины является продолжительность промежутка вднях. Она вычисляется спомо-
щью функции
— порядкового номера даты ∂
вкалендарной шкале. Функция
(см. Приложение). При вычислении продолжительности
временного промежутка между двумя датами
календарной шкалы, день, соответствующий дате
∂
идень, соответствующий дате
считаются заодин день.
Временные правила
. Если единицей
,
задается таблицей
1
и
2
1
Обозначим через T — срок финансовой операции
в годах. Если срок финансовой операции измеряется
невгодах
, авднях D, то вкачестве T нужно взять
отношение:
D
=
4
T
, ( 1.1)
где K— временная база (число дней вфинансовом году).
365K =
D
360K =
D
360K =
D
1
2
D N N yy k∂ ∂= ∂− ∂+ − +
()N ∂
в
∂
∂
На практике обычно используются следующие вре-
менные правила.
Правило АСТ/365 (английская практика)
Согласно этому правилу, временная база
число дней между двумя датами
является точным
ипродолжительность месяца равна календарной.
Правило АСТ/360 (французская практика)
Согласно этому правилу, временная база
число дней между двумя датами
является точным
ипродолжительность месяца равна календарной. Это правило также называется банковским правилом.
Правило 30/360(немецкая практика)
Согласно этому правилу, временная база
число дней между двумя датами
является приближен-
ным ипродолжительность любого месяца равна 30 дням.
Точное иприближенное число дней
∂
∂
между датами
Точное число дней между датами
и
∂
∂
и
вычисляется
1
2
поформуле:
где
число високосных дат между датами
датой называется дата
( ; ) ( ) ( ) 365( )
12 2 1 2 1
, (1.2)
— порядковый номер даты по таблице, k —
∂
∂
и
. Високосной
2
— номер високос-
29.02.вy
, где
1
y
ного года.
Приближенное число дней между датами
1
и
вычисляется поформуле:
,
,
,
2
5
12 2 1 2 1 2 1
( ; ) 360( ) 30( )
D y y mm dd
d
11
∂= ∂ =
22
Nk∂= ∂ = =
∂
∂
DN N y y k= ∂− ∂+ − +=
223 56 365*(2022 2015) 2 167 2555 2 2724= − + − += + +=
1
2
21 2 1 21
D yy mm dd= − + − +−=
360 *(2022 2015) 30*(8 2) 11 25 2520 180 14 2686= − + −+ − = + − =
/ 365; / 360; 30 / 360ACT ACT
DD
/ 365ACT
2724
365
D
/ 360ACT
где
∂∂= − + − + −
— номер дня, m— номер месяца, y— номер года.
Пример
Найти точное и приближенное число дней между
25.02.2015 и11.08.2022.
Решение
25.02.2015; ( ) 56;N
11.08.2022; ( ) 223; 2
, (1.3)
Точное число дней между датами
( ) ( ) 365( )
2 1 21
и
1
равно:
2
дня.
Приближенное число дней между датами
равно:
360( ) 30( )
дней.
Пример
Найти срок в годах между датами 25.02.2015
и11.08.2022 повременным правилам
.
Решение
В предыдущем примере было найдено:
2724; 2686
По правилу
TK= = =
= =
срок вгодах равен:
7,463013699
.
лет
∂
∂
и
По правилу
6
срок вгодах равен:
2724
360
D
TK= = =
30 / 360
360
K
12 1 2 21
;; 1
01.01.y
01.01.( 1)y +
1
2
; 1; 12
d d m m y y при m
= =+= ≠
===+=
∂
∂
= =+= ≤
= =−=+ >
1
2
= =+= ≤
= =−=+ >
7,666666667
лет
По правилу
T
D
= = =
срок вгодах равен:
2686
7,461111111
лет
Часто встречающиеся календарные промежутки
Календарным годом называется промежуток между
∂
∂
и
двумя датами
Промежуток между
1
dd mm y y= = = +
, если выполняются соотношения:
2
.
и
называется
стандартным календарным годом.
Календарным месяцем называется промежуток между
∂
двумя датами
12 2 1 21 1
d d m y y при m
12 2 21 1
∂
и
, если выполняются соотношения:
; 1; 1 12
Календарным кварталом называется промежуток
и
между двумя датами
1
, если выполняются соотно-
2
шения:
d d m m y y при m
d d m m y y при m
; 3; 9
12 2 1 21 1
; 9; 1 9
12 2 1 21 1
Календарным полугодием называется промежуток
∂
∂
и
между двумя датами
, если выполняются соотно-
шения:
d d m m y y при m
d d m m y y при m
; 6; 6
12 2 1 21 1
; 6; 1 6
12 2 1 21 1
7
Пример
/ 365;ACT
/ 360; 30 / 360ACT
11
∂= ∂ =
22
/ 365ACT
/ 360ACT
DN N y y k= ∂− ∂+ − +=
290 76 365 (2021 2021) 0 214− + ⋅ − +=
30 / 360
21 2 1 21
D y y mm dd= − + − +−=
360 (2021 2021) 30 (10 3) 17 17 210= ⋅ − +⋅ −+−=
/ 365; / 360; 30 / 360ACT ACT
22
27.08.2022; ( ) 239N∂= ∂ =
11
∂= ∂ =
/ 365ACT
/ 360ACT
2 1 21
DN N y y k= ∂− ∂+ − +=
239 147 365 (2022 2021) 0 92 365 0 457·= − + − += + +=
30 / 360
Кредит выдан 17марта 2021год на 7 календарных
месяцев. Найти дату возврата и срок кредита в днях
повременным правилам
.
Решение
Дата выдачи:
Дата возврата:
По правилам
17.03.2021; ( ) 76N
17.10.2021; ( ) 290N∂= ∂ =
и
срок кредита
вднях равен точному числу дней между датами:
( ) ( ) 365( )
2 1 21
дней.
По правилу
срок кредита вднях равен при-
ближенному числу дней между датами:
360( ) 30( )
дней.
Пример
Кредит, выданный на15 календарных месяцев, был
погашен 27августа 2022года. Найти дату выдачи исрок
кредита вднях повременным правилам
.
Решение
Дата погашения:
Дата выдачи:
По правилам
27.05.2021; ( ) 147N
и
срок кредита
вднях равен точному числу дней между датами:
( ) ( ) 365( )
дней.
По правилу
срок кредита вднях равен при-
ближенному числу дней между датами:
8
21 2 1 21
360( ) 30( )
D y y mm dd= − + − +−=
360 (2022 2021) 30 (8 5) 27 27 360 90 450··= − + −+−= +=
/ 365; / 360; 30 / 360ACT ACT
/ 365ACT
365 365 2,1235 775,0775D ·T ·= = =
776D =
/ 360ACT
360 360 2,1235 764,46D ·T ·= = =
765D =
30 / 360
765D =
23.12.2015∂=
05.04.2023∂=
2660D =; 2622D =
дней.
Правило вычисления количества дней
по известному количеству лет
При вычислении точного иприближенного количества дней позаданному количеству лет, полученное значение всегда округляется доближайшего большего целого
числа.
Пример
Кредит выдан на2,1235года. Насколько дней выдан
кредит повременным правилам
.
Решение
По правилу
:
Согласно правилу:
По правилу
дней.
:
.
Согласно правилу:
По правилу
:
дней.
360 360 2,1235 764,46D ·T ·= = =
Согласно правилу:
.
дней.
Задачи к главе 1
1.1. Найдите точное и приближенное число дней
между датами
1
и
2
Ответ:
.
9
1.2. Найдите срок вгодах между датами
∂=
∂=
/ 365ACT, / 360ACT
30 / 360
/ 365ACT
2660 / 365 7,287671233T = =
/ 360ACT
2660 / 360 7,388888889T = =
30 / 360
2622 / 360 7,283333333T = =
03.10.2019
08.08.2022
/ 365ACT, / 360ACT
30 / 360
/ 365ACT
1040 / 365 1,849315068T = =
/ 360ACT
1040 / 360 2,888888889T = =
30 / 360
1025 / 360 2,847222222T = =
22.03.2016
17.11.2022
/ 365ACT, / 360ACT
30 / 360
/ 365ACT
2431 / 365 6,660273973T = =
/ 360ACT
2431 / 360 6,752777778T = =
30 / 360
2395 / 360 6,652777778T = =
/ 365ACT, / 360ACT
30 / 360
15.10.2022
/ 365ACT
153 / 365 0,419178082T = =
/ 360ACT
153 / 360 0,425T = =
30 / 360
150 / 360 0,416666667T = =
/ 365ACT, / 360ACT
30 / 360
08.07.2021
и
05.04.2023
2
,
Ответ:
по временным правилам
.
:
:
;
23.12.2015
1
:
;
.
1.3. Заём сделан
ивозвращен
.
Найдите срок займа в годовой шкале по правилам
Ответ:
,
:
:
.
;
;
:
.
1.4. Заём сделан
ивозвращен
.
Найдите срок займа в годовой шкале по правилам
Ответ:
,
:
:
.
;
;
:
.
1.5. Кредит выдан 15мая 2022года на5 календарных
месяцев. Найдите дату возврата исрок кредита вгодовой
шкале поправилам
Ответ: Дата возврата:
:
;
:
,
.
.
;
:
.
1.6. Кредит, выданный на14 календарных месяцев,
был погашен 8сентября 2022года. Найдите дату выдачи
исрок кредита вгодовой шкале поправилам
,
Ответ: Дата выдачи:
.
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]