Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
При банковском учете по сложной годовой учетной
d
S Sd
d
SS
PS=
SS
(1 )
S S Ti= +
(1 )
T
SS i= +
ставке
из(3.24)следует, что:
S
T
= = −
0
d
(1 )
−
T
(1 )
T
T
−
. (3.30)
При банковском учете посложной номинальной годовой учетной ставке
сдисконтированием m раз вгоду
из(3.26)следует, что:
mT
m
−
d
. (3.31)
S
= = −
0
T
mT
d
1
−
m
1
T
Определение срока кредитной операции
Если известны сумма кредита
=
ния
, номинальная процентная ставка икратность
T
ее начисления, то можно определить срок кредитной операции.
При начислении простых процентов, из формулы
(3.1):
0
T
можно выразить срок операции T:
T
При начислении сложных процентов, из формулы
(3.4):
0
T
получаем:
При кратном начислении сложных процентов, изфор-
1
= +
мулы (3.8):
SS
0
T
S
1
= −
iS
S
ln
=
T
ln(1 )
mT
i
следует, что:
m
, сумма погаше-
0
T
1
. (3.32)
0
T
S
0
. (3.33)
+
i
41
S
iS
= = =
1m =
4,25416371 360 1531,498936 1532D·= = ≈
12m =
4,071522095 360 1465,747954 1466D·= = ≈
T
ln
S
ln 1
0
. (3.31)
i
+
=
T
m
m
При непрерывном начислении процентов, из формулы (3.9):
S Se=
T
iT
следует, что срок кредитной опера-
0
ции равен:
S
1
=
T
ln
T
. (3.32)
0
Пример
За какой срок вгодах иднях начальный вклад увеличится в 1,5раза при а) ежегодном, б) ежемесячном,
в) непрерывном начислении процентов. Номинальная
ставка 10% сложных годовых. Правило банка ACT/360.
Решение
/ 1,5; 10% 0,1
SS i
0
T
а)
T
;
S
T
ln
S
= = = =
ln(1 ) ln1,1 0,095310179
ln1,5 0,405465108
0
i
+
4,25416371
лет
б)
T
= = = =
4,071522095 лет
=
42
;
S
T
ln
S
0
i
ln 1 12 ln 1
m
+ ⋅+
m
дня
ln1,5 0,405465108
0,1
0,099585633
12
дней
в)
m →∞
T·
4,054651081 360 1459,674389 1460D·= = ≈
d
=−≤
T
dS
d
SS d
T
PS=
SS
(1 )
S S Ti= +
i
= = = =
;
S
11
iS
T
ln ln1,5 10 ln1,5 4,054651081
0,1
0
дней.
Если известны сумма учета P = S
S = S
и номинальная учетная ставка, то срок кредитной
0
, сумма погашения
T
операции определяется следующим образом.
При банковском учете по простой годовой учетной
ставке
из формулы (3.23):
можно выразить срок
S S Td T d
:
(1 ); 1 /
0
T
лет
1
= −
T
S
T
1
. (3.33)
0
При банковском учете по сложной годовой учетной
ставке
срок
из формулы (3.24):
:
=
T
S
ln
S
ln(1 )
= −
T
0
T
0
. (3.34)
−
d
получаем
T
(1 )
Определение процентной ставки кредитной операции
Если известны сумма кредита
=
ния
, срок кредита T икратность начисления про-
T
, сумма погаше-
0
центов, то можно определить срок кредитной операции.
При начислении простых процентов, из формулы
(3.1):
T
ную ставку
0
:
можно выразить годовую процент-
S
1
= −
i
T
TS
0
1
. (3.35)
43
При начислении сложных процентов, из формулы
SS i
i
mT
TS
= =
1m =
(3.4):
ставку
= +
T
:
0
получаем годовую процентную
1
T
S
T
i
= −
S
1
. (3.36)
0
T
(1 )
При кратном начислении сложных процентов, изфор-
мулы (3.8):
SS
0
T
следует, что номинальная
m
i
1
= +
годовая процентная ставка равна:
1
mT
S
= −
im
T
S
0
1
. (3.38)
При непрерывном начислении процентов, из формулы (3.9):
процентная ставка (сила роста)равна:
Пример
По какой номинальной годовой ставке сложных процентов нужно разместить вклад, чтобы при а)ежегодном,
б)ежемесячном, в)непрерывном начислении процентов
он увеличился в1,5раза за5лет?
Решение
SS T
T
а)
i
= −= −= −= ≈
44
S Se=
T
/ 1,5; 5
0
iT
0
;
1
T
S
T
S
1 1,5 1 1,5 1 0,084471771 8,45%
0
следует, что номинальная годовая
S
1
=
i
1
5
ln
T
. (3.39)
0
0,2
б)
12m =
11
= −= −= −=
0,081367643 8,14%= ≈
m →∞
PS
SS=
d
=−≤
d
TS
d
SS d
im · ·
в)
Если известны сумма учета
, срок кредитной операции икратность дисконти-
0
;
1
mT
S
T
S
0
;
1 12 1,5 1 12 1,5 1
S
1 ln 1,5
i
= = = ≈
TS
T
ln 0,081093021 8,11%
0
·
12 5 60
5
=
, сумма погашения
T
.
рования, то можно определить номинальную учетную
ставку.
При банковском учете по простой годовой учетной
ставке
из формулы (3.20):
можно выразить
S S Td T d
:
(1 ); 1 /
0
T
1
= −
d
S
T
1
. (3.40)
0
При банковском учете по сложной годовой учетной
(1 )
ставке
изформулы (3.21):
1
= −
d
= −
T
0
1
T
S
T
. (3.41)
S
0
При банковском учете по сложной годовой учетной
ставке d сдисконтированием m раз в году из формулы
mT
d
1
= −
(3.23):
SS
0
T
m
следует, что:
dm
1
= −
1
mT
S
T
S
0
T
получаем d:
. (3.42)
45
Задачи к главе 3
3.1. Найдите: а)сумму погашения иб)проценты, если
кредит вразмере 5 000000руб. был выдан на1,75года
под 12% простых годовых.
Ответ: а)6050000руб., б)1050000руб.
3.2. Найдите: а) сумму погашения и б) проценты, если
кредит в размере 5000 000 руб. был выдан на 1,75 года
под 12% сложных годовых.
Ответ: а) 6096794,32 руб., б) 1096794,32 руб.
3.3. Кредит в размере 8 000 000 руб. был выдан
20.11.2019 ипогашен 23.05.2022. Найти сумму погашения поправилам: а) АСТ/365, б) АСТ/360 ив) 30/360.
Процентная ставка 10% годовых простых.
Ответ: а)10 005 479,45руб., б) 10033 333,33 руб.,
в)10006666,67руб.
3.4. Кредит в размере 8 000 000 руб. был выдан
20.11.2019 ипогашен 23.05.2022. Найти сумму погашения поправилам: а) АСТ/365, б) АСТ/360 ив) 30/360.
Процентная ставка 10% годовых сложных.
Ответ: а)10 159 099,44руб., б) 10192 667,88 руб.,
в)10160536,47руб.
3.5. Клиент сделал вклад в размере 2 000 000 руб.
вбанк надепозит сроком на5лет. Втечение первого года
хранения ставка составляла 15% годовых. Затем годовая
процентная ставка уменьшалась на1% вкаждом изпоследующих лет хранения. Определить наращенную сумму,
которую клиент будет иметь насвоем счете вбанке, если
применялись: а) простые проценты, б) сложные проценты.
Ответ: а)3300000руб., б)3683427,55руб.
3.6. Найти сумму накопленного долга, если кредит
вразмере 3000000руб. был выдан на2,5года под 12,5%
годовых: а) простых, б) сложных, в) при смешанном
начислении процентов.
Ответ: а) 3 900 000 руб., б) 3 982 259,53 руб.,
в)3988992руб.
46
3.7. Какую сумму нужно положить на депозит под
10% годовых: а)простых, б)сложных, в)при непрерывном начислении процентов, чтобы через 5 лет на счете
оказалось 5000000руб.?
Ответ: а) 3 333 333,33 руб., б) 3 104 606,62 руб.,
в)3032653,30руб.
3.8. Каков срок хранения вгодах вклада 3000000руб.,
если поставке 12% годовых простых наращенная сумма
вклада оказалась равной 4440000руб.?
Ответ: 4года.
3.9. Каков срок хранения вгодах вклада 3000000руб.,
если поставке 12% годовых сложных наращенная сумма
вклада оказалась равной 4214784руб.?
Ответ: 3года.
3.10. Кредит насумму 5 000000руб. выдан 13. 02.
2014 ипогашен 12.08.2020. Простая годовая процентная
ставка равна 20%. Найдите сумму погашения кредита.
Ответ: 11498630,14руб.
3.11. Заемщик получил кредит 1 000 000 в банке
и 12.03.2020 вернул кредит вместе с процентами, что
составило 1223875,25руб. Найти дату получения, если
кредит был взят под 25% простых годовых. Правило
банка АСТ/360.
Ответ: 24.04.2019
3.12. Банк выдал кредит 9 000000 руб. 04.02.2018.
Заемщик вернул кредит вместе спроцентами, что составило 14 200 000 руб. Найти дату возвращения, если
кредит был взят под 25% сложных годовых. Правило
АСТ/365.
Ответ: 20.02.2020
3.13. Засколько дней вклад 1 000 000 руб., открытый в банке под 9% сложных годовых принесет доход
50000руб.? Правило АСТ/360.
Ответ: 204 дня
3.14. Кредит на сумму 900 000 руб. погашен
15.08.2020. Сумма погашения кредита 1 314 000 руб.
47
Процентная ставка кредита 20% годовых простых. Найти
дату выдачи кредита. Правило банка АСТ/360.
Ответ: 10.05.2018.
3.15. Найти простую годовую процентную ставку
банка, если для кредита 1 200 000 руб. сроком на 90
дней сумма погашения составила 1296000руб. Правило
АСТ/360.
Ответ: 32%
3.16. Согласно договору, навложенную сумму втечение 8месяцев начислялись простые проценты поставке
12% годовых. Найдите эффективную процентную ставку.
Ответ: 12,24%
3.17. Закакой срок вгодах иднях вклад удвоится при
а) ежегодном, б) ежемесячном, в) непрерывном начислении процентов. Номинальная процентная ставка 9%
сложных годовых. Правило АСТ/360.
Ответ: а)8,043232лет; 2896 дней; б)7,730481лет;
2783 дня; в)7,701635лет; 2773 дня
3.18. По какой номинальной годовой процентной
ставке нужно сделать вклад, чтобы при а) ежегодном,
б)ежемесячном, в)непрерывном начислении
сложных процентов он удвоился за5лет?
Ответ: а)14,87%; б)13,94%, в)13,86%
3.19. Кредит погашен 19.07.2019. Срок кредита
3,4года. Сумма погашения кредита 9500000 руб. Проценты составили 2500 000руб. Найдите: а)сумму кредита, б)простую годовую процентную ставку ив) дату
выдачи.
Ответ: а)7000000руб., б)10,50%, в)24.02.2016.
3.20. Кредит погашен 15.08.2019. Срок кредита
3,5года. Сумма погашения кредита 8500000 руб. Проценты составили 2500 000руб. Найдите: а)сумму кредита, б)сложную годовую процентную ставку ив) дату
выдачи.
Ответ: а)6000000руб., б)10,46%, в)14.02.2016.
3.21. Какую сумму нужно положить на депозит
под 8% годовых, чтобы через 4года на счете оказалось
48
10000 000руб. при а)начислении простых процентов,
б)при ежегодном начислении сложных процентов, в)при
ежемесячном начислении сложных процентов, г) при
непрерывном начислении процентов?
Ответ: а) 7 575 757,58 руб., б) 7 350 298,53 руб.,
в)7269205,80руб., г)7261490,37руб.
3.22. Вексель насумму 500000руб. был учтен вбанке
за270 дней допогашения погодовой учетной ставке 30%:
а)простой, б)сложной. Найдите сумму учета. Правило
АСТ/360.
Ответ: а)387500руб., б)382642,79руб.
3.23. Вексель номинальной стоимостью 100000руб.
был учтен вбанке 10.02.2020. Срок погашения векселя
30.12 2021. Условия банка: а)простая, б) сложная годовая учетная ставка 12%. Какую сумму получил клиент.
Правило АСТ/360.
Ответ: а)77033,33руб., б)78297,16руб.
3.24. Вексель номинальной стоимостью 200000руб.
был учтен вбанке 18.02.2019 попростой годовой учетной
ставке 20%. Дисконт оказался равным 42358руб. Найдите: а)сумму учета иб)дату погашения векселя.
Ответ: а)157642руб., б)06.03.2020.
3.25. Вексель номинальной стоимостью 300000руб.
идатой погашения 15.09.2020 был учтен вбанке посложной годовой учетной ставке 20%. Сумма учета оказалась
равной 215823руб. Найдите дату учета векселя.
Ответ: 26.03.2019.
3.26. Вексель на сумму 500 000 руб. был учтен
по сложной учетной ставке 18% годовых с ежемесячным дисконтированием. Срок платежа наступает через
0,75 года. Найдите: а)сумму, полученную владельцем
векселя, б)величину дисконта ив)эффективную годовую
учетную ставку.
Ответ: а)436411,39руб., б)63588,61руб., в)16,59%.
49
Глава 4.
ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ
И КОНВЕРСИЯ (ПЕРЕРАСЧЕТ)ПЛАТЕЖЕЙ
Уравнение эквивалентности
На практике часто возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим.
Например, перенести сроки платежей, выполнить объединение нескольких платежей водин (консолидацию)ит. д.
Изменение условий контрактов базируются напринципе финансовой эквивалентности обязательств.
Эквивалентными считаются такие обязательства,
суммы приведенных кнекоторой базисной дате платежей
покоторым по ставке процентов, удовлетворяющей обе
стороны, оказываются равными.
Исходя изэтого принципа, получают уравнение эквивалентности, вкотором сумма приведенных кбазисной
дате заменяемых платежей, равна сумме приведенных
ктой же дате платежей поновому обязательству.
Пример
Три платежа: 1 млн руб., 2 млн руб. и 3 млн руб.
сосроками уплаты через 1; 1,5 и2 года соответственно
договорились заменить двумя равными платежами сосроками уплаты через 2,5 и3года. Конверсия выполнялась
попроцентной ставке 10% сложных годовых. Определить
величину платежей.
Решение
Базисная дата: через 3года.
Обозначим искомую величину платежей через S.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]