Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
+−
= +− =
+−
Ri
SA i
AS i
∞∞ −
Ri R
( )
n
(1 ) 1 lim
p
→∞
()
∞
SR
=
1 (1 ) 1
+−
((1 ) 1)
pi
(1 ) 1
ln(1 )
1
p
n
i
. (8.76)
+
i
n
i
+
ln(1 )
i
Современная величина рассматриваемой ренты
равна:
n
() ()
∞
AA
= = =
1 (1 ) lim
Ri R
= −+ =
( )
p
lim lim
pp
→∞ →∞
n
−
p
→∞
()
∞
AR
=
p
1 1 (1 )
((1 ) 1)
pi
+−
1 (1 )
−+
ln(1 )
1 (1 )
−+
(1 ) 1
1
p
i
i
+
−
1
p
+−
i
−
i
−+
ln(1 )
i
+
n
−
. (8.77)
n
.
Справедливы соотношения, связывающие современ-
ную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
∞∞
= +
() ()
= +
(1 )
(1 )
n
(8.78)
n
(8.79)
Пример
Фонд создается втечение 4лет спомощью непрерывного потока платежей спостоянной плотностью 120млн
руб. вгод. Проценты начисляются ежегодно попроцентной ставке 10%. Найти наращенную исовременную величину фонда.
131
Решение
4; 1; ; 120000000; 10%nmp R i= = →∞ = =
−−
11
+−
+ −= = =
11
11
+−
+−
.
Наращенная величина фонда равна:
n
(1 ) 1 1,1 1
i
∞
()
SR
= = =
+− −
ln(1 ) ln1,1
+
120000 000 584 323732,4
i
4
руб.
Современная величина фонда равна:
(Ґ) (Ґ) 4
AS i ·
(1 ) 584 323732,4 1,1 399100971,5
= += =
n
руб.
Непрерывная рента сначислением процентов
m раз вгоду
Используя правило Лопиталя, вычислим предел:
m
p
i
lim 1 1 lim lim
p
→∞ →∞ →∞
p pp
= = +
lim ln 1
p
m
p
i
m
m
p
ii
1 ln 1
+ +−
mm
→∞
11
+−
m
1
−
2
p
m
1
p
1
2
p
m
m
p
i
m
′
1
p
i
m
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
′
mn
i
() ()
∞
= = =
SS
mm
p
lim lim
→∞ →∞
pp
R
p
132
m
i
m
m
p
11
RR
+−
11
+−
mn
mn
−
m
m
ln 1
i
+
m
. (8.81)
m
mn
i
p
→∞
p
()
∞
=
SR
m
1
m
p
i
11
+−
m
mn
i
m
m
ln 1
i
+
=+− =
1 1 lim
mn
i
m
Аналогично вычисляется современная величина рассматриваемой ренты:
mn
−
ln 1
m
i
(8.82)
i
+
11
()
∞
АR
m
−+
=
m
m
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
∞∞
= +
SA
mm
() ()
∞∞
= +
AS
mm
i
1
1
m
(8.83)
m
i
(8.84)
Пример
Фонд создается втечение 4лет спомощью непрерывного потока платежей спостоянной плотностью 120млн
руб. в год. Проценты начисляются ежеквартально
пономинальной процентной ставке 10% годовых. Найти
наращенную исовременную величину фонда.
133
Решение
4; 4; ; 120 000000; 10%nm p R i= = →∞ = =
11 11
+− +−
++
588644 420,1=
−−
=+= +=
396525558,3
()
RR
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
m
∞
()
= = =
SR
m
ln 1 4 ln 1
m
i
120000 000
m
0,1
4
16
0,1
4
руб.
Современная величина фонда равна:
mn
(Ґ) (Ґ)
AS ·
mm
i
1 588 644 420,1 1
m
0,1
4
16
руб.
Непрерывная рента снепрерывным начислением
процентов
∞
Современная величина
A
рассматриваемой ренты
∞
равна:
mn
−
i
11
−+
m
() () ()
∞∞∞
AAАR
lim lim lim
= = = =
∞
mm
mm m
→∞ →∞ →∞
m
ln 1
i
+
m
.
n
−
11
−+
lim
= =
m
134
→∞
ln 1
m
i
i
m
i
m
i
i
+
m
ni
−
e
1
−
i
i
−
i
ni
mm
∞∞
ni
mm
4; ; ; 120000000; 10%nm p R i= →∞ →∞ = =
ee
−−
1nie
()
∞
AR
∞
−
=
(8.85)
Аналогично вычисляется наращенная величина рассматриваемой ренты:
ni
1
e
()
∞
SR
=
∞
−
. (8.86)
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
S Ae
=
() ()
∞ ∞−
A Se
=
(8.87)
(8.88)
Пример
Фонд создается втечение 4лет спомощью непрерывного потока платежей спостоянной плотностью 120млн
руб. вгод. Проценты начисляются непрерывно пономинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную исовременную величину фонда.
Решение
.
Современная величина фонда равна:
0,1
0,4
руб.
ni
11
∞
()
AR
∞
−−
= = =
120000 000 395 615944,8
i
Наращенная величина фонда равна:
(Ґ) (Ґ) 0,4
S A e ·e= = =
mm
ni
395615944,8 590189637,2
руб.
Совпадение понятий постнумерандо ипренумерандо
для непрерывных рент
Наращенные исовременные величины p— срочных
рент постнумерандо ипренумерандо при любой кратности m начисления процентов связаны соотношениями:
135
m
ii
pp p p
pp
p →∞
mm
SS
∞∞
mm
AA
∞∞
() () () ()
SS AA
∞∞ ∞∞
∞∞ ∞∞
1 11
;;nRi
nRi p
p
pp
() ()
= +
SS
mm
() () () ()
S Se A Ae
= =
∞∞ ∞ ∞
i
1
m
pp
() ()
= +
AA
;
mm
;
Переходя к пределу при
1
.
m
p
i
;
m
, получаем, что для
непрерывных рент при любой кратности начисления процентов справедливы соотношения:
() ()
=
= =
;
;
() ()
=
;
.
Таким образом, для непрерывных рент понятия постнумерандо ипренумерандо совпадают вследствие стремления кнулю интервала между платежами.
КОНВЕРСИЯ РЕНТ
Конверсией ренты называется изменение условий
выплаты ренты. Например, конверсиями рент являются:
– замена одной ренты другой;
– замена ренты разовым платежом;
– замена разового платежа рентой;
– замена нескольких рент одной (консолидация рент).
При конверсии рент должен соблюдаться принцип
финансовой эквивалентности, согласно которому современные величины старых и новых рент должны быть
равны.
Замена годовой ренты p— срочной рентой
Рассмотрим замену годовой ренты постнумерандо
с ежегодным начислением процентов с параметрами:
наp— срочную ренту пренумерандо сежегод-
ным начислением процентов спараметрами
136
; ;;
2 22
.
Современная величина старой ренты равна:
Ai
()
AA=
12
Ri
=
1
1
2
2
12p =
2
A iA
= +=
−
1
1
i
1
;
AR
=
1
1 (1 )ni
−+
Современная величина новой ренты равна:
1 (1 )
Ri
p
()
= +
−+
22
p
(1 ) 1
+−
i
2
n
−
2
(1 )
1
p
1
p
.
2
Согласно принципу финансовой эквивалентности:
p
.
Следовательно, уравнение эквивалентности имеет вид:
(1 )
1
p
.
n
−
1 (1 ) 1 (1 )
−+ −+
1
iR i
12 2
ip
1
= +
(1 ) 1
+−
i
2
n
−
2
1
p
Пример
Заменить годовую ренту постнумерандо сежегодным
начислением процентов с параметрами:
750000R =
руб.,
11%i =
наp— срочную ренту прену-
1
6n
лет,
мерандо сежегодным начислением процентов спараметрами:
8n =
лет,
11%i =
,
. Найти величину
R
рентного платежа новой ренты.
Решение
Современная величина старой ренты равна:
n
−
1 (1 )
AR
−+
= = =
1
1
i
1
i
1
750000 3172903,39
1 1,11
−
0,11
−
6
руб.
Современная величина новой ренты равна:
1 (1 )
Ri
p
()
−+
22
p
(1 ) 1
n
−
2
1
p
+−
i
2
(1 )
1
p
2
.
137
Откуда находим:
11
582413,01=
0t =
T
A
T
AA i
1 11
;;nRi
2 22
;;n Ri
T
12
12
12 0
12
nn
ii
RR i
ii
−−
(1 ) 1
pA i
= = =
R
2
1 (1 ) (1 )
( )
−+ +
ii
1
p
+−
2
−
n
2
22
12 3172903,39 (1,11 1)
·
p
8
−
−
(1 1,11 ) 1,11
1
12
−
12
руб.
Замена немедленной ренты отсроченной
Немедленной рентой называется рента, начало первого периода которой отнесено кнастоящему моменту, то
есть к
.Отсроченной рентой называется рента, начало
первого периода которой отложено нанекоторый период
времени
. Отсрочка ренты не меняет ее наращенную
величину. Современная же величина отсроченной ренты
меняется.
Пусть
ренты,
— продолжительность отсрочки,
— современная величина немедленной
A
— современная величина отсроченной ренты,
T
i
— годовая про-
0
центная ставка отсрочки. Тогда справедлива формула:
T
−
(1 )
= +
T
(8.89)
0
Пусть
— параметры годовой немедленной
ренты постнумерандо сежегодным начислением процентов,
— параметры годовой отсроченной ренты
постнумерандо с ежегодным начислением процентов,
— продолжительность отсрочки,
центная ставка отсрочки. Приравнивая современные
величины этих рент, получаем уравнение эквивалентности:
1 (1 ) 1 (1 )
−+ −+
138
= +
i
— годовая про-
0
T
−
(1 )
.
Пример
1
3000000R =
10%i =
2T =
10%i =
=
= = =
= = = =
nn
ii
RR i
ii
−−
3n =
1000 000R =
10%i =
5n =
1500 000R =
=
=
=
=
Немедленная годовая рента постнумерандо сежегод-
ным начислением процентов спараметрами:
1
руб.,
1
заменяется отсроченной на
года годовой рентой постнумерандо с ежегодным
начислением процентов с параметрами:
2
нята равной
. Годовая процентная ставка отсрочки ренты при-
10%.i
0
Найти годовой платеж
2
R
отсрочен-
2
ной ренты.
Решение
Обозначим:
12
5nnn
;
120
10%iiii
Уравнение эквивалентности примет вид:
1 (1 ) 1 (1 )
−+ −+
12
= +
(1 )
T
−
.
5n =
.
5n =
лет,
лет,
Откуда получаем:
T
−
RR i
RR i= += + =
(1 )
= +
12
(1 ) 3000000 1 0,1 3630000
21
;
T
( )
Консолидация рент
Консолидацией рент называется замена нескольких
рент одной рентой. При консолидации рент уравнение
эквивалентности состоит вследующем: сумма современных величин старых рент равна современной величине
новой ренты.
Пример
Три годовые ренты постнумерандо с ежегодным
начислением процентов с параметрами:
;
руб.,
7n
3
1
лет,
1
10%i
2
;
2
2000000R
3
ется консолидировать годовой рентой пренумерандо
2
лет,
руб.,
руб.
года,
1
2
10%i
3
руб.,
требу-
139
с ежегодным начислением процентов с параметрами:
2
4
4
12
123 4
AAA A++= =
44 4
AR i
4n =
года,
12%i =
. Найти годовой платеж
R
консоли-
дированной ренты.
Решение
Обозначим:
10%;iii= = =
Современные величины старых рент равны:
n
−
1 (1 ) 1 1,1
AR
11
AR
22
AR
33
−+ −
= = =
1 (1 ) 1 1,1
−+ −
= = =
1 (1 ) 1 1,1
−+ −
= = =
1
i
1000 000 2 486581,99
i
n
−
2
i
1500 000 5686180,15
i
n
−
3
i
2000000 9736837,64
i
0,1
0,1
0,1
3
−
руб.
5
−
руб.
7
−
руб.
Сумма современных величин старых рент равна
A
современной величине
консолидированной ренты:
4
17909 869,78
Современная величина
равна:
1 (1 )
= +
i
−+
i
4
4
Откуда получаем:
Ai
= = =
R
4
−+ +
1 (1 ) 1
( )
44
n
−
4
ii
44
( )
руб.
Рассрочка платежа
Рассрочкой платежа называется замена единовременного платежа рентой. Уравнение эквивалентности для
данного вида конверсии имеет вид:
140
n
−
A
консолидированной ренты
4
4
1
( )
.
17909 869,78 0,12
−
1 1,12 1,12
( )
·
4
−
5264773,11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]