Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Задачи к главе 5

[; ]tt

5.1. Темпы инфляции задва последовательных про-

межутка времени

и

соответственно равны

3,27% и5,63%. Найдите темп инфляции запромежуток

Ответ: 9,08%

5.2. Темп инфляции запромежуток 7,73%. Темп инфляции запромежуток 2,88%. Найдите темп инфляции запромежуток

составил

Ответ: 4,71%

5.3. Темп инфляции запромежуток 9,85%. Темпы инфляции запромежутки

составил

и составили соответственно 3,12% и4,26%. Найдите темп инфляции запромежуток

Ответ: 2,17%

5.4. Темп инфляции закаждый месяц равен 0,73%.

Чему равен годовой темп инфляции?

Ответ: 9,12%

5.5. Годовой темп инфляции составил 9,37%. Чему равен ежеквартальный темп инфляции при условии его постоянства?

Ответ: 2,26%

5.6. Годовая процентная ставка банка равна 7,25%. Годовой темп инфляции равен 3,5%. Какова реальная (сучетом инфляции)годовая процентная ставка банка?

Ответ: 3,62%

5.7. Какую годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы при годовой инфляции 3,6% реальная доходность повкладу составила бы 5% годовых?

Ответ: 8,78%

5.8. Темп инфляции вкаждом месяце первого полугодия составлял 0,22%, авкаждом месяце второго полугодия 0,28%. Найдите реальную годовую процентную

ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 8,25%.

Ответ: 5,05%

5.9. Ежемесячный темп инфляции составляет 0,28%. Найдите реальную годовую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 7,25% и проценты начисляются а) ежеквартально; б) непрерывно.

Ответ: а)3,90%; б)3,97%

5.10. В течение года ежеквартальный темп инфляции был постоянным. В течение следующего года ежеквартальный темп инфляции тоже был постоянным, нона 20% больше, чем в предыдущем году. За два эти года темп инфляции составил 40%. Найти ежеквартальные темпы инфляции запервый ивторой годы.

Ответ: 3,91% и4,49%.

Глава 6.

(; )tP

{( ; ), ( ; ), ... , ( ; ), ... }

CF t P t P t P=

()CF cash flow

()

ДИСКРЕТНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ

Финансовые потоки (потоки платежей)

в схеме сложных процентов

Финансовым событием называется упорядоченная

пара

, состоящая измомента платежа t ивеличины

платежа

. Платежи могут быть сознаком плюс (посту-

пления)исознаком минус (выплаты).

Конечная или бесконечная последовательность

финансовых событий:

00 11

называется дискретным финансовым потоком иобозначается

Вычисление величины финансового потока

Для того, чтобы вычислить величину потока

вкакой-то момент времени

, необходимо каждый платеж привести к этому моменту времени по некоторой сложной процентной ставке

, которая предполагается

известной инеизменной для всего потока, азатем суммировать эти приведенные платежи.

Сумма всех платежей потока, приведенных кнекото-

рому моменту времени текущим значением потока вмомент времени

чается

PV present value

называется приведенным или

иобозна-

Текущее значение потока вмомент времени t равно:

−− −

= + + + ++ + +

0t =

tt t

−− −

= + + + ++ + +

−− −

= + + + ++ + =

()

tt=

−−

=+>

{(0; 20), (1; 30), (2; 40), (3; 50), (4; 60)}CF =

tt tt tt

PV P i P i P i

(1 ) (1 ) ... (1 ) ...

В случае бесконечного потока

считается опреде-

(6.1)

ленным, если ряд сходится.

Текущее значение потока в начальный момент вре-

мени иобозначается

называется современной величиной потока

PV P i P i P i

(1 ) (1 ) ... (1 ) ...

(6.2)

Справедливо соотношение:

PV PV i= +

Для конечного потока вмомент

(1 )

(6.3)

≥

(n— момент

последнего финансового события)приведенное значение потока равно:

tt tt tt

FV P i P i P i

(1 ) (1 ) ... (1 )

Величина

= +

∑

FV future value

−

(1 )

(6.4)

называется будущим

накопленным значением потока.

Величина

намомент последнего платежа

называется конечной величиной потока иобозначается

tt tt

FV P i P i P

(1 ) (1 ) ...

= + + + ++

. ( 6.5)

Справедливо соотношение:

−

FV FV i t t

(1 ) ,

. (6.6)

Пример

Для финансового потока

найти современную величину потока PV, приведенное зна-

2t =

123

−−−

=++ ++ ++ +

++ =+ + +

21 1 2

20(1 0,1) 30(1 0,1) 40 50(1 0,1) 60(1 0,1)

24,2 33 40 45,45454545 49,58677686 192,2413223

−−

=+ +++++ ++ =

= +++ + =

4 3 21

20(1 0,1) 30(1 0,1) 40(1 0,1) 50(1 0,1) 60

29,282 39,93 48,4 55 60 232,612

FV =+ ++ +++++= = + + ++=

{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}

CF t P t P t P=

( )

PP P P≥≥ ≥ ≥

012

PP PP P=+++ +

tt t

−− −

= + + + ++ + =

PP P i

чение потока чину потока

вмомент времени

иконечную вели-

. Годовая процентная ставка равна 10%.

Решение

20 30(1 0,1) 40(1 0,1) 50(1 0,1)

60(1 0,1) 20 27,27272727 33,05785124 37,56574005 40,98080732 158,8771259

++ =

−

Средний срок финансового потока

с неотрицательными платежами

Средним сроком финансового потока

00 11

0; 0; 0; ... ; 0

01 2

относительно процентной ставки i называется такой момент времени

, для которого поток CF ипоток, состо-

ящий изодного платежа, равного сумме всех платежей потока

...

в момент времени τ имеют одинаковую современную величину.

Из этого определения следует, что

PV P i P i P i

(1 ) (1 ) ... (1 )

( ... )(1 )

= ++ + +

−τ

Точная формула для вычисления среднего срока

PP P

 



 



i xi

tt t

−− −

+ + + ++ + =

PP P i

1 xi−

− + − ++ − =

финансового потока

Согласно определению среднего срока τ финансового

потока:

( ... )(1 )

PV P P P i

= ++ + +

−τ

Откуда получаем:

++ +

(1 ) ;

τ +=

ln(1 ) ln ;

PP P

...

++ +

...

ln (1 )

...

(6.7)

PP P

++ +

τ=

Приближенная формула для вычисления среднего

срока финансового потока

При малых посравнению сединицей значениях про-

центной ставки

справедливо приближенное равенство:

−

(1 ) 1

+ ≈−

Заменяя в исходном выражении для определения

среднего срока потока

(1 ) (1 ) ... (1 )

Pi Pi P i

( ... )(1 )

= ++ + +

выражения типа

(1 )xi−+

его приближенным значением

−τ

получим:

(1 ) (1 ) ... (1 )

P ti P ti P t i

00 11

( ... )(1 )

PP P i= + + + −τ

{(0; 20), (1; 30), (2; 40), (3; 50), (4; 60)}CF =

158,8771259PV =

 

  

2,415127709=

·····

+ ++

τ= = =

500 200

получаем искомую формулу:

...

. (6.8)

Pt Pt P t

+ ++

00 11

τ≈

PP P

++ +

Достоинствами этой формулы являются простота и независимость от процентной ставки, что делает ее удобной для оценочных расчетов.

Пример

Для финансового потока

найти средний срок потока а) по точной формуле; б)поприближенной формуле. Годовая процентная ставка равна 10%.

Решение

а) Ранее было найдено значение современной величины этого потока:

PP P

++ +





τ= = =

...

ln (1 ) ln (1 0,1)

. Следовательно:

20 30 40 50 60

++++

158,8771259

года.

б)

Pt Pt P t

00 11

PP P

++ + ++++

...

... 20 30 40 50 60

++++

20 0 30 1 40 2 50 3 60 4

= =

2,5

года.

Инвестиционные потоки

Инвестиции— это долгосрочные вложения капитала впроект сцелью получения дохода вбудущем. Инвестиционный проект описывается финансовым потоком:

k kk

C PI k n

()NPV net present value

tt t

−− −

() 0NPV i >

() 0NPV i <

() 0NPV i >

{(0; 100), (1; 30), (2; 0), (3; 80), (4; 120), (5; 120)}CF = −

Величина

{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}

CF t С t С t С

00 11

. (6.9)

=−=

является балансом инвестиционных затрат

, заk-й период, подведенный вконце этого периода.

; 0; 1; ... ;

идоходов

Чистый приведенный доход инвестиционного потока

Чистым приведенным доходом инвестиционного потока называется его современная величина. Чистый приведенный доход потока (6.9), рассчитанный поставке приведения (дисконтирования)

равен:

( ) (1 ) (1 ) ... (1 )

NPV i C i C i C i

= + + + ++ +

(6.10)

Ставка дисконтирования— это стоимость привлекаемых инвестором кредитных ресурсов.

означает, что доходы окупают затраты, а

означает, что доходы неокупают затраты при принятой ставке дисконтирования ние

, тем более эффективными являются инве-

. Чем больше значе-

стиции.

Пример

Вычислить чистый приведенный доход инвестицион-

ных потоков:

{(0; 100), (1; 50), (2; 100), (3; 100), (4; 150), (5; 150)}CF =−−

по ставке дисконтирования 10% годовых. Какой изинвестиционных проектов, описываемых этими потоками предпочтительнее для инвестора по данной характеристике?

Решение

123

−−−

=− +⋅ − ⋅ + ⋅ +

−+ + +

12 3

−− −

=− +⋅ +⋅ +⋅ +

+⋅ + ⋅ ==−+ + ++ + + =

() ()NPV CF NPV CF>

= −

CP k n=≥=

Чистые приведенные доходы финансовых потоков

и

NPV CF

+⋅ +⋅ =−+ −

положительны:

( ) 100 50 1,1 100 1,1 100 1,1

−−

150 1,1 150 1,1 100 45,45454545

82,6446281 75,13148009 102,4520183

93,13819846 133,5316142

( ) 100 30 1,1 0 1,1 80 1,1

NPV CF

120 1,1 120 1,1 100 27,27272727

−−

0 60,10518407 81,96161464 74,51055877

143,8500848

Так как

проект, описываемый потоком

, то инвестиционный

, предпочтительнее

инвестиционного проекта, описываемого потоком

Внутренняя норма доходности

инвестиционного потока

Внутренней нормой доходности инвестиционного потока (проекта)называется процентная ставка, при дисконтировании покоторой его чистый приведенный доход равен нулю. Это означает, что при такой процентной ставке инвестор только лишь возмещает вложенные инвестиции.

Рассмотрим случай, когда все затраты осуществляются в начальный момент времени, а затем инвестор начинает получать доходы. Тогда инвестиционный поток имеет вид:

{(0; ), (1; ), ... , ( ; )}

где доходы неотрицательны: бы один изних строго больше нуля:

CF С С n С

0CI= >

— начальные инвестиции, последующие

0, 1; ... ;

С >

(6.11)

, и хотя

Чистый приведенный доход инвестиционного потока

1i >−

()NPV i

- 1

- C

NPV

1i →−

()NPV i → +∞

i → +∞

()NPV i

() 0NPV i =

()NPV i

ii=

() 0NPV i =

1i >−

(6.11), рассчитанный по ставке дисконтирования равен:

()

При

NPV i C

=−+

является монотонно убывающей

∑

(1 )

(6.12)

функцией, график которой изображен нариc.3.

Риc.3. Зависимость чистого приведенного дохода

отставки приведения

При

()NPV i С→−

справа

. При

сверху. Кривая зависимости инвестиционного потока вида (6.12) пересекает ось абсцисс водной точке, обозначенной уравнение

ственный корень

для

. Следовательно,

вида (6.11)имеет един-

Говорят, что финансовый поток обладает внутренней

нормой доходности, если уравнение

имеет единственный корень

(6.13)

для

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]