Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
р— срочная рента пренумерандо сначислением
11
=+−
i
Si
Ai
i
11
Ri
pm
Ri
pm
процентов m раз вгоду (m ≠ p)
Эффективная годовая процентная ставка равна:
m
i
'
эфф
где
— номинальная годовая процентная ставка.
m
i
,
Наращенная исовременная величины ренты равны:
(1 ) 1
i
+−
R
p
()
= +
m эфф
p
R
p
()
= +
m эфф
p
эфф
(1 ) 1
i
+−
эфф
1 (1 )
(1 ) 1
i
−+
эфф
+−
i
эфф
Подставляя вэти формулы вместо
через
иm, получаем искомые выражения.
n
1
p
1
p
(1 )
n
−
(1 )
1
p
;
1
p
.
i
ее выражение
эфф
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
+−
m
p
()
S
m
= +
11
m
p
i
+−
m
1
m
p
. (8.50)
mn
i
Современная величина рассматриваемой ренты
равна:
mn
−
i
11
−+
m
p
()
= +
A
m
m
p
i
11
+−
m
1
m
p
. (8.51)
121
Справедливы соотношения, связывающие современ-
−
4; 4; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= = = = =
Ri
pm
= +=
ную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
mn
() ()
pp
= +
SA
mm
() ()
pp
= +
AS
mm
i
1
m
i
1
m
(8.52)
mn
(8.53)
и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
m
p
pp
() ()
= +
SS
mm
pp
() ()
= +
AA
mm
i
1
1
(8.54)
m
m
p
i
(8.55)
m
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются ежеквартально пономинальной
процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную
исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
11
+−
m
p
()
S
m
m
p
i
11
+−
m
1
m
p
122
16
() ()
0,1
1 596195974,1 1 401612473,4
4
mn
pp
mm
i
AS
m
−−
=+= +=
()
()
pm=
pm=
11
i
+−
i
11
+−
4
10000 000 1 596195974,1
= +=
0,1
11
+−
4
4
12
0,1
4
4
12
руб.
16
0,1
Современная величина фонда равна:
руб.
p— срочная рента постнумерандо сначислением
процентов m раз вгоду (m = p)
p
Полагая вполученных общих формулах для
p
A
значения
m
, получим формулы для вычисления
S
и
m
наращенной и современной величин рент для частного
случая
.
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
m
()
m
SR
m
=
. (8.56)
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
11
()
m
AR
m
−+
=
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
mm
= +
SA
mm
1
m
m
mn
−
i
. (8.57)
mn
i
(8.58)
123
mn
4; 12; 12; 120 000000; 10%nm p R i= = = = =
48
()
0,1
11 11
12
120000 000 587 224918
0,1
mn
m
m
i
m
SR
i
+− +−
= = =
48
() ()
0,1
1 587224918 1 394 281600,8
12
mn
mm
mm
i
AS
m
−−
=+= + =
()
()
pm=
pm=
11
im
−
() ()
mm
= +
AS
mm
i
1
m
(8.59)
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются ежемесячно пономинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина фонда равна:
руб.
Современная величина фонда равна:
руб.
p— срочная рента пренумерандо сначислением
процентов m раз вгоду (m = p)
Полагая вполученных общих формулах для
p
A
значения
m
, получим формулы для вычисления
наращенной и современной величин рент для частного
случая
.
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
+−
m
()
m
124
SR
m
= +
p
S
и
m
i
1
. (8.60)
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
im
mn
−
4; 12; 12; 120 000000; 10%nm p R i= = = = =
im
= +=
mn
−
i
11
−+
m
()
m
= +
AR
m
i
1
. (8.61)
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
mm
= +
SA
mm
() ()
mm
= +
AS
mm
i
1
1
m
(8.62)
m
mn
i
(8.63)
и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
() ()
mm
= +
SS
mm
() ()
mm
= +
AA
mm
i
1
1
(8.64)
m
i
(8.65)
m
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются ежемесячно по номинальной
процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную
исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
11
+−
()
m
SR
m
m
i
1
125
48
48
() ()
0,1
1 592118 459 1 397567280,8
12
mn
mm
mm
i
AS
m
−−
=+= + =
11
11
+−
+−
11
ii
pp
pp
1
e
−
0,1
11
+−
12
120000 000 1 592118 459
= +=
0,1 12
0,1
руб.
Современная величина фонда равна:
руб.
p— срочная рента постнумерандо снепрерывным
начислением процентов (m → ∞)
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
() ()
pp
= = =
SS
lim lim
∞
R Re
= =
m
→∞ →∞
mm
+−
lim
m
→∞
11
+−
()
S
∞
R
p
ni
m
i
i
m
m
i
i
m
Re
p
=
p
m
ni
−
i
p
m
p
i
m
ni
1
−
1
e
−
1
(8.66)
.
126
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
11
ii
pp
R Re
pp
1
Re
e
−
S Ae
∞∞
p p ni
4; ; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= →∞ = = =
mn
−
i
11
−+
m
R
p
−
m
i
i
m
m
i
i
1
−
=
i
p
p
() ()
pp
= = =
AA
lim lim
∞
= =
m
mm
→∞ →∞
11
−+
lim
m
→∞
11
+−
()
p
A
∞
m
m
p
i
+−
m
ni
ni
−
1
−
1
e
−
ni
−
. (8.67)
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()p p ni
=
() ()
A Se
=
∞∞
−
(8.68)
(8.69)
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются непрерывно пономинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную исовременную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
.
127
11
1
p
e
−−
−
−−
Ri
pm
= = +=
ii
pp
1
Se
e
Ri
pm
= = +=
= = =
S
∞
i
p
p
10000 000 587733929,6
ni
Re e
()
0,4
0,1
12
1
−
e
руб.
Современная величина фонда равна:
() () 0,4
p p ni
A Se e
= = =
∞∞
587733929,6 393 969834,8
руб.
p— срочная рента пренумерандо снепрерывным
начислением процентов (m → ∞)
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
11
+−
m
ni
()
p
∞
=
Re
p
m
p
i
11
+−
m
i
m
ni
−
i
p
−
p
i
i
1
p
(8.70)
pp
() ()
SS
lim lim 1
∞
R i Re
= +=
lim 1
m
→∞
p mp
m
mm
→∞ →∞
11
11
m
i
i
+−
m
m
i
i
+−
m
m
p
ni
1
−
e
1
−
e
mn
i
Современная величина рассматриваемой ренты
равна:
i
p
.
i
11
−+
m
pp
() ()
AA
lim lim 1
∞
128
m
mm
→∞ →∞
i
11
+−
m
mn
−
m
p
m
p
ni
ii
pp
1
Ae
e
−
p p ni
S Ae
∞∞
p p ni
pp
S Se
∞∞
pp
A Ae
∞∞
4; ; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= →∞ = = =
−
m
i
m
()
p
∞
i
m
i
m
i
1
Re
−
=
p
i
m
−
ni
i
p
i
i
p
. (8.71)
p
−
e
p
e
1
−
i
−
ni
1
11
−+
R i Re
= +=
lim 1
→∞
m
p mp
11
+−
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
=
(8.72)
() ()
A Se
∞∞
и соотношения, связывающие современные инаращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
() ()
() ()
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются непрерывно по номинальной
процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную
исовременную величину фонда.
Решение
=
−
(8.73)
i
=
=
p
(8.74)
i
p
(8.75)
.
129
Наращенная величина фонда равна:
0,1
0,4
()
12
0,1
12
11
10000 000 592652176,6
1
1
i
ni
p
p
i
p
Re e
Se e
p
e
e
∞
−−
= = =
−
−
−−
∞∞
p →∞
R
+−= = =
Современная величина фонда равна:
() () 0,4
p p ni
A Se e
= = =
592652176,6 397 266634,3
НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ
руб.
руб.
Переходя кпределу при
, получим непрерывный поток платежей спостоянной плотностью, равной
руб. вгод. Такой поток платежей называется непрерыв-
ной рентой.
Непрерывная рента сежегодным начислением
процентов
Используя правило Лопиталя, вычислим предел:
lim ((1 ) 1) lim lim
pi
→∞ →∞ →∞
p pp
1
p
1
p
+−
(1 ) 1
i
1
p
1
p
(1 ) ln 1
ii
+ +−
lim ln 1
= = +
p
→∞
−
( )
1
2
p
1
2
p
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
(1 ) 1
Ri
p
(1 ) 1
+−
+−
i
() ()
∞
= = =
SS
p
lim lim
→∞ →∞
pp
130
(1 ) 1
+−
( )
n
1
p
1
p
i
′
1
p
i
′
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]