Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Глава 9.
F
ОБЛИГАЦИИ
Основные параметры облигации
Облигация— это срочная ценная долговая бумага,
удостоверяющая отношение займа между ее владельцем
(кредитором)иэмитентом (заемщиком).
Облигации могут эмитироваться государством влице
общегосударственных органов власти, местными органами власти, акционерными обществами и частными
предприятиями.
Все платежи пооблигации эмитент должен осуществлять впервую очередь ивобязательном порядке. Платежи обеспечиваются имуществом эмитента.
Сумма
выплатить вдату погашения, называется номинальной
стоимостью или номиналом или суммой погашения.
Промежуток времени отдаты выпуска додаты погашения называется сроком обращения облигации.
Промежуток времени от текущего момента додаты
погашения называется сроком допогашения.
Купонными выплатами по облигации называются
периодические процентные выплаты, производимые держателю облигации втечение срока обращения облигации.
Облигация представляет собой ценную бумагу,
покоторой выплачивается фиксированный доход, состоящий изежегодной выплаты купонного дохода ивыплаты
номинальной стоимости вдату погашения.
Если выплаты по купонам не предусмотрены, то
облигация называется бескупонной. Доход поней образу-
, которую эмитент берет взаймы и обязан
151
ется засчет разницы между ценой погашения облигации
F
C
C qF=
C
F
C
1000; 12% 0,12Fq= = =
0,12 1000 120C qF ·= = =
τ
11
τ
q
qq
(номиналом)иценой ее приобретения.
Годовой купонной ставкой q называется процентная
ставка, которая после умножения наноминальную стоимость облигации
купонной выплаты
дает денежную величину годовой
:
. (9.1)
Таким образом, годовая купонная ставка q равна
отношению годового купонного дохода
стоимости облигации
:
qF=
. (9.2)
кноминальной
Пример
Номинал облигации равен 1000руб., годовая купонная ставка равна 12%. Найти величину годовых купонных выплат поэтой облигации.
Решение
руб.
Промежуток времени
(вгодах)между двумя после-
довательными купонными выплатами называется купон-
ным периодом. Количество p купонных выплат в году
называется кратностью начисления купонных выплат.
Справедливы соотношения:
; p
τ= =
p
. (9.3)
τ
ется как:
152
Купонная ставка закупонный период
= = τ
τ
p
. (9.4)
q
определя-
где q— годовая купонная ставка облигации.
С
qF
С qF q F
F
( 1)τ=
1
1τ≠
С
C
1/ pτ=
{(, ),(2, ),...,( , )}
ττ τ
=τ τ τ+
τ
M np=
n
{(1, ),(2, ),...,( , )}CF C C n C F= +
0t =
P
Купонные выплаты
где
— номинальная стоимость облигации.
= = = τ
ττ
Если купонный период равен году
купонные выплаты будем обозначать не
При
величина С есть суммарные купонные выплаты
закупонный период τ равны:
τ
p
. (9.5)
, то годовые
С
апросто С.
заодин год.
Купонные выплаты
купонные выплаты загод
C
за период τ и суммарные
τ
связаны соотношением:
CC
= τ=
τ
. (9.6)
p
Текущая стоимость облигации
С каждой облигацией скупонным периодом
связан поток платежей:
где
должительностью
CF C C M C F
C
— купонные выплаты закупонные периоды про-
τ
, (9.7)
,
q
— купонная ставка за купонный период τ и
τ
— общее число купонных выплат засрок допога-
шения
.
Для облигации скупонным периодом равным году,
поток платежей имеет вид:
Приведенная ктекущему моменту времени
чина этого потока называется текущей стоимостью
. (9.8)
вели-
153
облигации относительно рыночной годовой процентной
i
nn
CC C F
i ii
+ ++
1
kn
k
CF
ii
=
++
i
Ci
iF
i
= ++
i
ставки
иравна:
P
= + ++ +
(1 )
i
+
(1 ) (1 ) (1 )
P
или
= +
...
2
n
∑
(1 ) (1 )
. (9.9)
Считается, что рыночная годовая ставка дисконтирования
задана, независит отвремени иравна равновес-
ной рыночной ставке для аналогичных бумаг.
Купонные платежи образуют годовую ренту постнумерандо сежегодным начислением процентов, и,следовательно, в соответствии с формулой для современной
стоимости ренты:
n
n
∑
k
(1 )
=
1
i
+
k
C
=
1 (1 )
−+
−
(9.10)
i
Тогда текущую стоимость облигации можно представить ввиде
n
1 (1 )
или
PC
P qF F i
−+
= +
1 (1 )
−
i
i
−+
n
−
(1 )
+
(9.11)
n
i
n
−
(1 )
(9.12)
Приводя кобщему знаменателю, получим формулу
для текущей стоимости облигации скупонным периодом
равным году:
n
=
+− +
PF
( ) (1 )
q iq i
−
. (9.13)
Пример
Найти текущую стоимость облигации номинальной
стоимостью 1000руб., сроком до погашения 8лет, еже-
154
годными выплатами покупонной ставке 10% при рыноч-
1000; 8; 10% 0,1; 6% 0,06F nq i= = = = = =
8
( ) (1 ) 0,1 (0,06 0,1) (1 0,06)
1000 1248,39
0,06
n
q iq i
PF
i
−−
+− + + − +
= = =
1/ pτ=
MM
CC C
i ii
ττ
+ ++
kM
ii
ττ
++
M np=
ii
=+−
Ci
ττ
ττ
ной годовой процентной ставке 6%.
Решение
руб.
В общем случае, текущая стоимость облигации
с купонным периодом
, определяемой потоком
платежей (9.7), определяется формулой:
ττ τ
= + ++ +
P
(1 )
+
i
(1 ) (1 ) (1 )
τ
= +
или
где
— общее число купонных выплат за срок
P
...
2
M
C
∑
k
τ
(1 ) (1 )
=
1
F
F
, (9.14)
допогашения n и
1/
(1 ) 1
τ
p
(9.15)
— рыночная ставка закупонный период.
Так как, согласно (9.10):
M
M
∑
k
=
1
(1 )
i
+
1 (1 )
−+
C
=
τ
k
τ
−
i
τ
то формулу для текущей стоимости облигации можно
представить ввиде:
M
или
PC
P qF F i
1 (1 )
= +
τ
= ++
−+
1 (1 )
−
i
τ
i
τ
i
−+
i
τ
τ
M
−
F
(1 )
i
+
(1 )
(9.16)
M
τ
M
−
(9.17)
155
Учитывая то, что согласно (9.15):
Mn
ii i
+=+ =+
= ++
τ
C qF
ττ
τ
1
k
ii
++
pn
qp i q i
(1 ) (1 ) (1 )
τ
то из(9.16)следует
1 (1 )
τ
−+
i
τ
P qF F i
np
1
p
n
−
i
(1 )
, (9.18)
n
−
(9.19)
q
где
— купонная ставка и
выплаты запериод
.
=
— купонные
Приводя к общему знаменателю выражения (9.17)
и(9.19), получаем:
M
( ) (1 )
q iq i
+− +
PF
или
τττ τ
=
( )(1 )
q iq i
+− +
PF
τττ
=
i
τ
i
−
(9.20)
n
−
(9.21)
τ
Подставляя выражения (9.4) и (9.15) в формулы
(9.14)и(9.20), приходим кравенствам:
np
= +
и
P
PF
=
+ + −− +
C
∑
( ((1 ) 1) )(1 )
τ
/
kp n
(1 ) (1 )
=
1/
pi
((1 ) 1)
+−
F
(9.22)
−
1/
p
. (9.23)
Пример
Найти текущую стоимость облигации номинальной
стоимостью 1000руб., сроком до погашения 8лет, ежеквартальными купонными выплатами погодовой купонной ставке 10% при рыночной годовой процентной ставке
6%.
156
Решение
1000; 8; 10% 0,1; 6% 0,06; 4F nq i p= = = = = = =
τ
=⋅=
1262,19=
V
P
V
V
V KF=
VF=
1K =
VF<
1K <
IFV= −
Купонная ставка запериод равна:
/ 0,1 / 4 0,025q qp
= = =
Процентная ставка запериод равна:
1/ 1/4 0,25
(1 ) 1 (1 0,06) 1 1,06 1 0,014673846
ii
= + −= + −= −=
τ
p
.
Текущая стоимость облигации равна:
n
( ) (1 )
q iq i
+− +
PF
τττ
= =
1000
0,025 (0,014673846 0,025) 1,06
i
τ
+ −⋅
−
−
8
0,014673846
руб.
Рыночная цена, курс итекущая доходность облигации
После выпуска облигации она поступает на рынок,
где свободно продается ипокупается порыночной цене
которая необязательно совпадает стекущей стоимостью
Отношение (впроцентах)рыночной цены облигации
кноминалу F называется курсом K облигации:
,
.
KF=
. (9.24)
Откуда получаем, что
. (9.25)
Обычно значение курса указывается без знака процентов.
Если облигация продается пономиналу, то есть
тогда
Если
дается сдисконтом
.
и
, то говорят, что облигация про-
.
,
157
Если же
VF>
1K >
JVF= −
1000; 1,07FK= =
1,07 1000 1070V KF ·= = =
c
C qF=
V
C qF F q
iq
V V VK
VF<
iq>
VF>
iq<
1000; 1,07FK= =
0,1
q
F
n
V
i
продается спремией
и
, то говорят, что облигация
.
Пример
Определить рыночную цену облигации, если ее курс
равен 107, аноминал равен 1000руб.
Решение
руб.
i
Текущая доходность
годовых купонных выплат
гации
:
облигации равна отношению
крыночной цене обли-
Если
Пример
Найти текущую доходность облигации номинальной
стоимостью 1000руб., ежегодными выплатами покупонной ставке 10%, если ее курс равен 107.
Решение
iK= = = =
c
1,07
Доходность кпогашению облигации
Рассмотрим облигацию скупонным периодом равным
году, имеющую номинальную стоимость
шения
ная цена
игодовую купонную ставку q. Если ее рыноч-
не совпадает стекущей стоимостью P, опре-
деленной порыночной годовой процентной ставке
158
= = = =
c
, то
c
, аесли
0,093457943 9,35%
. (9.26)
, то
.
c
, срок допога-
, то
годовая процентная ставка, дисконтирующая поток пла-
ρ
kn
1/ pτ=
()V ρ
pn
тежей пооблигации кзначению рыночной цены, называется доходностью к погашению облигации. Следова-
тельно, согласно (9.9), для облигации с купонным
периодом равным году, доходность кпогашению
опре-
деляется как решение уравнения:
n
qF F
= +
V
∑
(1 ) (1 )
+ρ +ρ
1
k
=
. (9.27)
или, всилу формул (9.12)и(9.13), уравнения:
n
1 (1 )
V qF F
= + +ρ
− +ρ
qq
VF
=
−
ρ
( )(1 )
+ ρ− +ρ
ρ
(1 )
−
(9.28)
n
n
−
. (9.29)
В общем случае для облигации скупонным периодом
формулы зависимости
получаются изсоот-
ветствующих формул (9.20)—(9.23):
M
( ) (1 )
qq
+ ρ − +ρ
VF
VF
VF
=
τ ττ τ
=
qq
+ ρ − +ρ
τ ττ
=
np
= +
V
∑
(1 ) (1 )
1
k
=
( ((1 ) 1) )(1 )
qp q
+ +ρ − − +ρ
ρ
τ
( )(1 )
ρ
τ
C
τ
/
kp n
+ρ +ρ
1/
1/
((1 ) 1)
p
p
+ρ −
−
(9.30)
n
−
(9.31)
F
; (9.32)
−
. (9.33)
159
Свойства взаимосвязи рыночной цены идоходности
V
ρ
1ρ>−
VF q= ⇔ ρ=
IFV= −
VF q< ⇔ ρ>
JVF= −
VF q> ⇔ ρ<
ρ
IFV= −
JVF= −
n
ρ
∆ρ
кпогашению
Для простоты ограничимся здесь рассмотрением
облигаций скупонным периодом равным году, так как
вобщем случае облигации обладают теми же свойствами.
Свойство 1
Рыночная цена облигации
сти к погашению
при
как функция доходно-
является непрерывной,
монотонно убывающей, выпуклой вниз (вогнутой)функцией, принимающей любые положительные значения.
Свойство 2
а) Облигация продается по номиналу тогда итолько
тогда, когда ее доходность кпогашению равна купонной
ставке, то есть:
;
итолько тогда, когда ее доходность кпогашению больше
купонной ставки, то есть:
итолько тогда, когда ее доходность кпогашению меньше
купонной ставки, то есть:
дисконта
при уменьшении срока допогашения
160
б) Облигация продается сдисконтом
тогда
;
в) Облигация продается с премией
тогда
.
Свойство 3
При постоянной доходности кпогашению
или премии
величина
уменьшается
.
Свойство 4
Уменьшение доходности кпогашению
навеличину
0
приведет к увеличению ее рыночной стоимости
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]