Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Уравнение эквивалентности имеет вид:
31 31,5 32
1000000(1 0,1) 2000000(1 0,1) 3000000(1 0,1)
−− −
++ + + +=
SS
−−
(1,048808848 1) 1210000 2307379,47 3300000S += + +
2,048808848 6817379,47S =
6817379,47 / 2,048808848 3327484,39S = =
; ; ... ;
SS S
; ; ... ;
TT T
S
T
S
S
T
T
; ; ... ;
SS S
S
52 53 54
1000000(1 0,12) 2000000(1 0,12) 3000000(1 0,12)
−−−
++ ++ +=
(1 0,1) (1 0,1)
=+ ++
3 2,5 3 3
руб.
Консолидация (объединение)платежей
Платежи
12
жом всумме
12
соответственно заменяются одним плате-
n
исроком оплаты T.
сосроками оплаты
n
При консолидации возникают две основные задачи:
1) при заданном
2) при заданном
найти S;
найти T.
Решение задачи 1
Величина консолидированного платежа
времени
дисконтированных)кмоменту
равна сумме приведенных (наращенных или
платежей
вмомент
12
n
позаданной простой или сложной процентной ставке.
Пример
Три платежа: 1 млн руб., 2 млн руб. и 3 млн руб.
сосроками уплаты через 2; 3 и4года соответственно объединяются водин платеж сосроком уплаты через 5лет.
Консолидация проводится посложной процентной ставке
12% годовых. Определить консолидированный платеж.
Решение
Базисная дата: через 5лет.
Обозначим консолидированный платеж через
.
Уравнение эквивалентности имеет вид:
51
55
(1 0,12)S−= +
1404928 2508800 3360000 7237728S =++=
T
P
0t =
SS S
0t =
i
kk
T
S
i
11
P Si
T
S
руб.
Решение задачи 2
Для определения срока
тежа, необходимо найти
контированных)к
платежей
консолидированного пла-
— сумму приведенных (дис-
; ; ... ;
12
исоста-
n
вить уравнение эквивалентности, выбрав в качестве
базисной даты
.
В случае приведения попростой годовой процентной
ставке
:
nn
S
= = +
P S Ti
k
∑∑
1
+
Ti
kk
11
= =
k
(1 )
1
−
. (4.1)
Искомый срок консолидированного платежа
нахо-
дим изуравнения эквивалентности:
PTi=
1
+
. (4.2)
Откуда получаем:
11S
= −
T
iP
. (4.3)
В случае приведения посложной годовой процентной
ставке
:
nT
S
= = +
∑∑
k
T
k
i
(1 )
+
= =
kk
k
(1 )
−
T
k
. (4.4)
Искомый срок консолидированного платежа
нахо-
дим изуравнения эквивалентности:
52
(1 )
+
Pi=
. (4.5)
T
Откуда получаем:
11
−−
= + + +⋅ +
909090,91 1739130,44 2500000 5148221,35= + +=
365 1,654510556 365 603,896 604D T· ·= = = ≈
1 1,5 2
1000000(1 0,1) 2000000(1 0,1) 3000000(1 0,1)P
−− −
= ++ + + +=
909090,91 1733568,34 2479338,84 5121998,09=++=
365 1,659999525 365 605,8998 606D T· ·= = = ≈
S
ln
=
ln(1 )
P
. (4.6)
i
+
T
Пример
Три платежа: 1 млн руб., 2 млн руб. и 3млн руб.
сосроками уплаты через 1; 1,5 и2 года соответственно
заменяются одним платежом 6млн руб. Консолидация
проводится попроцентной ставке 10% годовых: а)простых; б)сложных. Найти срок консолидированного платежа вгодах иднях. Правило АСТ/365.
Решение
а)
1000000(1 1 0,1) 2000000(1 1,5 0,1)
P·
1
3000000(1 2 0,1)
+ +=
−
·
руб.
1 1 6000000
S
= −= −=
T
iP
1 1 1,654510556
0,1 5148221,35
лет.
дня.
б)
руб.
6000000
S
ln
P
= = =
T
++
ln(1 ) ln(1 0,1)
ln
5121998,09
i
1,659999525
лет
дней.
Задачи к главе 4
4.1. Платежи вразмере 1200 000руб. и2500 000руб.
со сроками уплаты через 1,5 и 2 года после некоторой
53
даты соответственно объединяются водин платеж сосроком уплаты через 2,5года после той же даты. Консолидация проводится поставке 18% сложных годовых. Определите величину консолидированного платежа.
Ответ: 4131 695,12руб.
4.2. Два платежа 1 100 000 руб. и 1 700 000 руб.
сосроками уплаты соответственно через 120 дней ичерез
170 дней после некоторой даты объединяются в один
сосроком уплаты через 220 дней после той же даты. Консолидацию договорились проводить поставке 25% простых годовых сбазисной датой через 220 дней. Определите величину консолидированного платежа. Правило
АСТ/365.
Ответ: 2935 416,67руб.
4.3. Обязательство выплатить 12000 000 руб. через
2 года после некоторой даты заменили обязательством
выплатить 8000 000руб. через 2,5года после той же даты
иоставшуюся задолженность спустя 0,5года после первой выплаты. Определите сумму последнего платежа.
Ответ: 5220 955,76руб.
4.4. Платежи вразмере 1300000руб., 1400000руб.
и1550000руб. сосроками уплаты соответственно через
1, 1,5 и 2 года после некоторой даты заменили одним
платежом через 3года после той же даты. Консолидация
проводилась поставке 11% сложных годовых. Определите
величину консолидированного платежа.
Ответ: 4871996,33руб.
4.5. Три платежа 11 000 000 руб., 13 000 000 руб.
и 15 000 000 руб. со сроками уплаты соответственно
через 1, 2 и4года после некоторой даты заменили двумя
равными платежами через 5 и7 лет после той же даты.
Конверсия выполнялась поставке 14% сложных годовых.
Определите величину платежей.
Ответ: 31048 116,38руб.
4.6. Суммы вразмере 10000000руб., 20000000руб.
и 15 000 000 руб. должны быть выплачены соответственно через 50 дней, 80 дней и150 дней после некото-
54
рой даты. Стороны согласились заменить их одним платежом 50000000руб. Консолидация проводилась поставке
10% годовых: а)простых, б) сложных. Определите срок
консолидированного платежа вднях оттой же даты. Правило АСТ/365.
Ответ: а)513 дней; б)500 дней.
4.7. Платежи 1500 000 руб., 2 000 000 руб. и 2
500000руб. сосроками уплаты соответственно через 0,5,
1 и1,5года после некоторой даты заменили одним платежом 7000000руб. Консолидация проводилась поставке
16% годовых: а)простых, б) сложных. Определите срок
консолидированного платежа вднях оттой же даты. Правило АСТ/365.
Ответ: а)833 дня; б)771 день.
4.8. Необходимо выплатить 200000000 руб. через
2 года от некоторой даты. Договорились погасить эту
задолженность тремя равными платежами через 2,
2,5 и3 года после той же даты. Конверсия проводится
поставке 20% сложных годовых. Определите величину
платежей.
Ответ: 72827 794,61руб.
55
Глава 5.
()Gt
t
01
[; ]tt
10
Tt t
()
()
10
() ()
01
[; ]tt
10
Tt t= −
1I = +α
0
S
ИНФЛЯЦИЯ ИДОХОДНОСТЬ. ФОРМУЛА ФИШЕРА
Доходность, рассчитанная без учета инфляции называется номинальной, адоходность, рассчитанная сучетом
инфляции, называется реальной.
Базовой характеристикой инфляции является индекс
цен, равный вкаждый момент времени средневзвешенной стоимости некоторого набора товаров иуслуг (потребительской корзины).
Пусть
мени
. Тогда для промежутка времени
= −
отношение
называется коэффициентом роста цен или индексом
инфляции.
Величина
(; ) (; )1
tt Itt
α = −=
называется темпом роста цен или темпом инфляции
за промежуток времени
инфляции деньги обесцениваются в
Пусть
— номинальное (без учета инфляции)значение нара-
а
1
щенной суммы вмомент
ции)значение наращенной суммы
56
— значение индекса цен в момент вре-
Gt
It t
01 01
(; )
01
Gt Gt
=
1
(5.1)
Gt
0
−
()
Gt
(5.2)
0
длиной
раз.
S
— первоначальная сумма вклада вмомент
t
. Тогда реальное (сучетом инфля-
1
вмомент
1Sα
длиной
. При
t
равно:
1
t
,
0
11
SSr
+
= =
r
01
[; ]tt
01
[; ]tt
10
Tt t
1 11
rr
α
01
[; ]tt
01
[; ]tt
r
−α
= = = α= =
−
0,2 0,03 0,17
r
−α −
( 1)T =
1
i
−α
+α
α
+α +α
10
— номинальная (без учета инфляции)процентная
где
S
1
ставка операции запромежуток времени
Реальная (сучетом инфляции)доходность
ции за промежуток времени
(1 )
, (5.3)
длиной
.
r
опера-
α
= −
равна:
−
S SS
1 01
r
где
αα
= = −= −= −=
α
SS S
00 0
— темп инфляции запромежуток времени
(1 )
+
Sr
0
(1 ) 1 1
+α +α +α
1
+ −α
,
.
Таким образом, связь между номинальной иреальной
процентными ставками (доходностями)за промежуток
времени
. дается формулой Фишера:
r
=
α
. (5.4)
1
+α
Пример
Кредит в100000руб. выдан насрок 0,5года. Сумма
погашения кредита равна 120000руб. Найти номинальную иреальную доходности кредитора, если темп инфляции заданное полугодие составил 3%.
Решение
100000; 120000; 0,5; 3% 0,03SST
01
SS
10
= = = =
r
S
120000 100000
0
−
100000
0,2 20%
r
= = = = =
α
1 1 0,03 1,03
+α +
Для промежутка времени, равного одному году
формула Фишера принимает вид:
i
α
0,165049 16,50%
=
, (5.5)
,
57
где i— годовая процентная ставка без учета инфляции;
α
ii
<
12
n
TT T
αα α
II I
TT T T= + ++
α
01 1
GG G
GG G
()
ii
[ ;]
ii
tt
i ii
Ttt
= −
1; 2; ... ;in=
nn
II I I
I II I=
12
n
i
— реальная годовая процентная ставка сучетом
α
инфляции;
— годовой темп инфляции.
Видно, что инфляция уменьшает доходность (годовую
процентную ставку), так как
.
α
Темп инфляции занесколько периодов
Пусть темпы ииндексы инфляции запоследовательные периоды времени
; ; ... ;
12
n
и
; ; ... ;
12
засуммарный период времени
; ; ... ;
n
соответственно равны
, атемп ииндекс инфляции
12
...
равны
n
иI. Тогда:
12
; ; ... ;
= = =
где
G Gt=
II I
12
— значения ценового индекса на правых
границах временных промежутков
1
−
Произведение индексов инфляции равно:
... ...
12
= = =
n
Следовательно:
и справедлива формула:
1 (1 ) (1 ) ... (1 )
+α= +α +α +α
(1 ) (1 ) ... (1 ) 1
или
58
α= +α +α +α −
n
n
n
−
.
GG G G
12
GG G G
01 1 0
12
12
−
n
...
(5.6)
n
,
1
−
.
n
(5.7)
длиной
Если за рассматриваемые промежутки времени
; ; ... ;
TT T
α=α= =α
1
6% 0,06; 2% 0,02i = = α= =
0,06 0,02
i
−α −
α= = = =
1
i
α α αα
−α
+α
0,07 0,05 0,07 0,05 0,12 0,0035 0,1235 12,35%i·=++ =+ = =
1
12
12
и
темпы инфляции равны, то есть
n
...
, тогда справедливы формулы:
n
(1 ) 1
α= +α −
α = +α −
n
1
1
n
(1 ) 1
(5.8)
(5.9)
Пример
Годовая процентная ставка банка равна 6%. Годовой
темп инфляции равен 2%. Какова реальная (с учетом
инфляции)годовая процентная ставка банка?
Решение
i
= = = ≈
α
1 1 0,02
+α +
0,039215686 3,92%
.
Пример
Какую годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы при годовой инфляции 7% реальная
доходность повкладу составила бы 5% годовых?
Решение
7% 0,07; 5% 0,05i
i i i i ii
= +α = −α =α+ + α
; (1 ) ; ;
α
Пример
Темп инфляции за каждый месяц равен 1%. Чему
равен годовой темп инфляции?
Решение
(1 ) 1 (1 0,01) 1 0,126825 12,68%
α= +α −= + −= =
n
12
59
Пример
11
0,25
4
1
(1 ) 1 (1 0,07) 1 1,07 1 0,017058 1,71%
n
α= +α −= + −= −= =
1
0,104713067 0,08243216
0,020584114 2,06%
1 1 0,08243216
эфф
i
i
α
−α
−
= = = =
+α +
0,105170918 0,08243216
0,021007097 2,10%
1 1 0,08243216
эфф
i
i
α
−α
−
= = = =
+α +
Годовой темп инфляции равен 7%. Чему равен ежеквартальный темп инфляции при условии его постоянства?
Решение
Пример
Ежеквартальный темп инфляции составляет 2%.
Найти реальную годовую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 10% и проценты начисляются а)ежемесячно; б)непрерывно.
Решение
2% 0,02; 10% 0,1iα= = = =
Годовой темп инфляции равен:
(1 ) 1 (1 0,02) 1 0,08243216α= +α −= + −=
44
1
а) Эффективная годовая процентная ставка равна:
m
i
i
1 1 1 1 0,104713067
= + −= + −=
эфф
m
0,1
12
12
Реальная (сучетом инфляции)годовая процентная
ставка равна:
.
б) Эффективная годовая процентная ставка равна:
ie e= −= −=
эфф
i
0,1
1 1 0,105170918
Реальная (сучетом инфляции)годовая процентная
ставка равна:
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]