Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 7.

()Ct

[0; ]t

() ()

−

[; ]tt

()Ct

() ()t Ct

′

µ=

()Ct

Ct Ct tdt−=µ

()St

()Ct

()tµ

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ

Накопленная сумма исовременная величина

непрерывного потока платежей

Непрерывные потоки платежей используются при моделировании потоков, состоящих из платежей смалыми промежутками между ними. Такими потоками являются, например, финансовые потоки крупных банков, потоки коммунальных платежей, потоки налоговых платежей и т. д.

Непрерывный финансовый поток задается функцией

, определяемой как сумма платежей запромежуток

времени

. Величина

платежей запромежуток непрерывную производную, то функция

Ct Ct

. Если функция

определяет сумму

имеет

называется плотностью потока платежей времени

Справедливо равенство:

Вычислим накопленную сумму финансового потока

номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста).

(7.1)

вмомент

( ) ( ) ()

∫

. (7.2)

непрерывного

сплотностью

. Пусть i—

Предположим, что кмоменту времени t накопленная

()St

tt+∆

()St

()Ct

0t =

()St

St S t t S e t iS e t iSt t

∆ = ∆= ∆= ∆= ∆

()Ct

t∆

() () ()Ct Ctt tt

′

∆ = ∆=µ ∆

t∆

() ()iStt tt∆ +µ ∆

() () ()dS t i S t dt t dt= +µ

() () ()S t iSt t

′

= +µ

() ()S t iSt

′

сумма составляет мени

складывается изпроцентов на

принесенных потоком

. Приращение

кмоменту вре-

иденег,

При непрерывном начислении процентов наращенная сумма вычисляется поформуле:

где

()

St S e=

— сумма вмомент времени

Проценты на

замалый промежуток времени t∆

составляют:

it it

() () ()

Денежный поток мени

сумму:

′

( )

′

принесет запромежуток вре-

. (7.4)

. (7.3)

Таким образом, полное приращение накопленной суммы запромежуток времени

составит:

Переходя кдифференциалам, получим дифференциальное уравнение:

(7.5)

или

. (7.6)

Полученное дифференциальное уравнение решим методом вариации постоянной. Сначала решим однородное уравнение:

Последовательность преобразований имеет вид:

( );

iSt

ln ;d S i dt=

ln ln , , 0;S i t K K const K=+= >



() ()S t iSt

′

() ; ; 0

() () ()S t iSt t

′

= +µ

()St

′

() () ()

 

;

i dt

;

eK=

;

()

S t Ke=

Таким образом, общее решение однородного уравнения:

имеет вид:

S t K e K const K= = >

Решение неоднородного уравнения:

будем искать методом вариации постоянной, то есть ввиде:

, получим:

it it

то есть считая

функцией t.

Дифференцируя функцию

′′

() ()

S t K t e iKe

Подставляя

() ()

St K t e=

= +

в неоднородное уравнение, полу-

чаем:

it it it

′

K t e iKe iK t e t

+ = +µ

Откуда получаем:

() ()

Kte t

′

Kt e d B B

() () ()S t iSt t

′

= +µ

 

 

= + µτ τ

= µτ τ

0t =

()tµ

()At

′

Kt te

= µ

() ()

= µ

или

−

Следовательно:

() ()

= µ τ τ+

где

— произвольная постоянная,

∫

−τ

— некоторый фик-

сированный момент времени.

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения

имеет вид:

Считая, что

() ()

St e d B e

= µ τ τ+

∫

()St S

S Be= +

B Se

i it

−τ

, получим:

(0 )

−

;

Тогда для накопленной суммы денежного потока получим выражение:

() ()

St S e e d

В частности, если при

it t

()

−

∫

()

−τ

. (7.7)

, тогда это выраже-

ние примет вид:

()

() ()

St e d

Приведенная к с плотностью

за промежуток времени от0 доt

(современная стоимость

∫

стоимость потока платежей

−τ

. (7.7)

потока)равна:

it it i t i

= = µτ τ= µτ τ

∫∫

= µτ τ

00 0

tt t

i ii

At ed ed ed

= µτ τ= µ +ατ τ=µ τ+

∫∫ ∫

i ii

∫∫

=µ − + τ=

=µ −− =

−− −

=µ − +− =

− −−

=µ + −=

ii i

−−

() () () ()

At St e e e d e d

− − −τ − τ

()

() ()

At e d

∫

−τ

(7.8)

Поток платежей c линейно меняющейся плотностью

Линейно меняющаяся плотность потока платежей имеет вид:

()

где

— начальное значение плотности потока.

µ =µ +α

, (7.9)

Найдем современную стоимость данного потока платежей запромежуток времени от

() () ( )

+α τ τ=µ − − τ =

−τ −τ −τ

e d e de

− ατ α

i ii

−α α







it i

− −τ

it it

−−

e te

доt:

−τ

∫

−τ

it it it

e te e

− α αα

it it it

e e te

− α− α

i ii i



=µ+ −

 

  



α− α

 

it it

e te

Таким образом, современная величина потока плате-

ii i

−−

ii i



α −α

 

0α=

()At

жей запромежуток времени от



α− α



=µ+ −

()

 





доt равна:

it it

e te

. (7.10)

Наращенная величина потока платежей запромежуток времени от

доt равна:



= =µ+ −

St At e

() ()

 

(7.11)

Поток платежей c постоянной плотностью

Если вполученной формуле положить чим выражение для современной стоимости

платежей с постоянной плотностью времени от

доt:

()

= µ

−

за промежуток

. (7.12)

, то полу-

потока

Наращенная величина потока платежей запромежуток времени от

доt равна:

() ()

St At e

= = µ

−

. (7.13)

Пример

Намечается втечение трех лет линейный рост коммунальных платежей внекотором районе на10млн руб. в год. Начальная величина плотности коммунальных платежей составляет 100млн руб. вгод. Напоступающие платежи непрерывно начисляются проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста)равна 5%. Найти наращенную сумму денежных поступлений за3года.

Решение

10000 000α=

0,05i =

3t =

ii i



α −α

 



=+−



 



10000 000 3

0 00

t tt

i ii

At ed eed e d

= µτ τ=µ τ=µ τ=

∫∫∫

()

µ =µ +α

100000 000µ=

;

Наращенная сумма денежных поступлений равна:



=µ+ −

()

(3) 100000000

 

10000 000 1

0,15

−

0,05 0,05

;

371005 456,37 .

руб−=

0,05

Поток платежей c экспоненциально меняющейся

плотностью

Экспоненциально меняющаяся плотность потока платежей имеет вид:

где

()

µ=µ

— начальное значение плотности потока.

, (7.14)

Найдем современную стоимость данного потока платежей запромежуток времени от

() ()

− τ βτ − τ β− τ

() ()

i it

β− τ β−

=µ=µ

β− β−

доt:

−

()

Наращенная величина потока платежей запромежуток времени от

доt равна:

() ()

St At e

= = µ

t it

−

. (7.15)

β−

Пример

0,05i =

3n =

0 00 0

tt t

te e e

ln2β=

−−

=µ= =

Прогнозируется, что в течение трех лет плотность потока коммунальных платежей в некотором районе будет экспоненциально расти, удваиваясь ежегодно. Начальная величина плотности потока коммунальных платежей составляет 100 млн руб. в год. На поступающие платежи непрерывно начисляются проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста) равна 5%. Найти наращенную сумму денежных поступлений за 3 года.

Решение

()

µ=µ

() 2

µ=µ =µ =µ =µ

100000 000µ=

;

ln 2 ln 2

;

; ⇒

Наращенная величина потока платежей запромежуток времени от

( ) 100000 000

= =

100000 000 1 063 234 973,85 руб.

доt равна:

t it

ee e e

β− −

3 0,1 5

e−

ln2 0,05

−

3 ln 2 0,15

ln2 0,05

Задачи к главе 7

7.1. Ежегодный доход отинвестиций втечение 5лет составлял 12000 000 руб. Доход равномерно поступал втечение каждого года. На поступающие суммы непрерывно начислялись проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста)составляла 8%. Найдите наращенную сумму этого потока платежей.

Ответ: 73773704,65руб.

7.2. Ежегодный доход от инвестиций составлял 8000000руб. Доход равномерно поступал втечение каждого года. На поступающие суммы непрерывно начислялись проценты. Номинальная годовая процентная

ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста)составляла 8%. Вконце срока инвестиций наращенная сумма их составила 53755000руб. Найдите срок инвестиций вгодах.

Ответ: 5,377 378лет

7.3. Намечается в течение трех лет линейный рост коммунальных платежей внекотором районе на 24млн руб. вгод. Начальная величина плотности коммунальных платежей составляет 150млн руб. вгод. Напоступающие платежи непрерывно начисляются проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста) равна 6%. Найдите наращенную сумму денежных поступлений за3,5года.

Ответ: 742048882,9руб.

7.4. В течение четырех лет плотность потока налоговых поступлений в бюджет района экспоненциально росла, увеличиваясь в 1,2 раза ежегодно. Начальная величина плотности потока составляла 200 млн руб. вгод. На поступающие суммы непрерывно начислялись проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста) составляла 6,5%. Найдите наращенную сумму денежных поступлений за эти 4 года.

Ответ: 1324002058,20 руб.

Глава 8.

p →∞

РЕНТЫ

Регулярные финансовые потоки

Регулярными финансовыми потоками называются потоки платежей, имеющие равные интервалы между платежами ипостоянные или следующие определенному правилу размеры платежей.

Финансовые ренты

Регулярный поток положительных платежей называется финансовой рентой или просто рентой.

Параметры ренты

Ренты определяются следующими параметрами:

– член ренты (размер отдельного платежа);

– период ренты (временной интервал между двумя последовательными платежами)

– срок ренты (время от начала первого периода доконца последнего периода);

– процентная ставка.

Виды рент

По количеству выплат на протяжении года ренты делятся нагодовые (выплата 1раз вгоду),

выплат вгоду)инепрерывные (

(

По числу раз начисления процентов напротяжении года различают: ренты с ежегодным начислением,

— срочные

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]