Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Кратное начисление сложных процентов

/im

 



m →∞

00 0

 

= += + =

 

Пусть начисление процентов посхеме сложных процентов происходит

времени. Пусть случае ставка центной ставкой. Тогда

раз году через равные промежутки

— годовая процентная ставка. В этом

называется номинальной годовой про-

— ставка начисления закаж-

дую операцию.

Через

лет наращенная сумма будет равна:

= +

(3.8)

Непрерывное начисление сложных процентов

Если кратность начисления процентов m неограниченно возрастает, то есть

, тогда имеет место непре-

рывное начисление процентов.

При этом наращенная сумма будет равна:



lim 1 lim 1

S S S Se

→∞ →∞

 



 



 



Таким образом, формула непрерывного начисления процентов имеет вид:

S Se=

Номинальная годовая процентная ставка

(3.9)

вслучае

непрерывного начисления процентов, называется также силой роста.

Пример

В банк надепозит положен вклад 1000000 руб. под 10% сложных годовых. Найти величину депозита через 3года при начислении процентов 1; 4; 12; 365раз вгоду ипри непрерывном начислении процентов.

Решение

 



При кратном начислении процентов:

= +

mS= = +=

1; 1000000 (1 0,1) 1331000

= = +=

4; 1000000 1 1344888,82

= = +=

12; 1000000 1 1348181,84

= = +=

365; 1000000 1 1349803,34

0,1

 



0,1

 



 



0,1

365

руб.

1095

руб.

При непрерывном начислении процентов:

= S0eiT = 1000000 е

0,3

= 1349858,81 руб.

Видно, что при увеличении кратности начисления процентов

наращенная сумма увеличивается при про-

чих равных условиях, достигая наибольшего значения при непрерывном начислении процентов.

Эффективная процентная ставка

Эффективной процентной ставкой

для любой

эфф

схемы выплат называется годовая сложная процентная ставка, дающая тот же финансовый результат (то есть

одинаковые

при одинаковых

), что ирассматривае-

мая схема выплат.

Предположим, что для некоторой произвольной схемы выплат начальная сумма равна

сумма равна

. Тогда по определению справедливо

, анаращенная

равенство:

SS i= +

(1 )

T эфф

, (3.10)

откуда получаем выражение для эффективной ставки:

=+−

=+=+



=+−

 



= −

эфф

 



(3.11)

Эффективная процентная ставка при начислении

простых процентов

По определению можно записать:

S S Ti S i= += +

(1 ) (1 )

T эфф

откуда получаем:

(1 ) 1

i Ti

эфф

(3.12)

Эффективная процентная ставка при начислении

сложных процентов

По определению можно записать:

откуда получаем:

Эффективная процентная ставка при кратном

начислении сложных процентов

По определению можно записать:

откуда получаем:

SSiSi= += +

SS S i

T эфф

(1 ) (1 )

T эфф

(3.13)

эфф



1 (1 )





эфф

(3.14)

Эффективная процентная ставка при непрерывном

= + −= +⋅ −= −=

PS=

SS S

tt<

начислении процентов

По определению можно записать:

S Se S i= = +

T эфф

iT T

(1 )

откуда получаем:

эфф

= −

(3.15)

Пример

Согласно договору, навложенную сумму в течение 5лет начислялись простые проценты поставке 10% годовых. Найти эффективную процентную ставку.

Решение

(1 ) 1 (1 5 0,1) 1 1, 5 1

i Ti

эфф

= ≈

0,084471771 8,45%.

0,2

Математическое дисконтирование ибанковский учет

Дисконтированием называется нахождение суммы

, относящейся к моменту времени

вбудущий момент времени

ную сумму контирования суммы

. Сумма P, найденная спомощью дис-

, называется современной стои-

, должна составить задан-

, которая

мостью (современной величиной) или приведенной стоимостью (приведенной величиной)суммы

. Приве-

дение может быть выполнено налюбой момент времени

Математическое дисконтирование

Математическим дисконтированием называется решение задачи нахождения начальной суммы

позаданной наращенной сумме процентной ставке

. Годовая процентная ставка i при

математическом дисконтировании называется ставкой

при заданной годовой

дисконтирования, а величина

SS−

S Si

 



−

 



называется дис-

контом.

Математическое дисконтирование при начислении

простых процентов

Из формулы (3.1)следует, что:

Множитель

S S Ti

(1 )Ti

= = +

−

называется дисконтным множи-

(1 )

−

. (3.16)

телем при начислении простых процентов.

Математическое дисконтирование при начислении

сложных процентов

Из формулы (3.3)следует, что:

Множитель

= = +

(1 )Ti−+

(1 )

называется дисконтным множи-

(1 )

−

(3.17)

телем при начислении сложных процентов.

Математическое дисконтирование при кратном

начислении сложных процентов

Из формулы (3.6)следует, что:

−

(3.18)

= = +





Множитель

жителем при кратном начислении сложных процентов.

называется дисконтным мно-

Математическое дисконтирование при непрерывном

−−

  

=+= + =

     

0TT

S SI

начислении процентов

Из формулы (3.7)следует, что:

Множитель

= =

S Se

iTe−

называется дисконтным множите-

−

(3.19)

лем при непрерывном начислении процентов.

Пример

Создается фонд, величина которого через 5лет должна составить 10млрд. руб. Чему равна современная величина фонда, если используется номинальная сложная годовая процентная ставка 6% сежеквартальным начислением процентов.

Решение

7424704182,24 руб.

1 10000000000 1

0,06

Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование (банковский учет)основано наиспользовании годовой учетной ставки

, то есть

проценты заполученный кредит начисляются насумму, которую необходимо выплатить вконце срока кредита. Спомощью банковского учета производится покупка банком денежных обязательств (векселей)раньше срока их погашения по цене меньшей номинальной, указанной вних суммы. Векселем называется долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал)вопределенный срок.

В случае покупки банком векселя говорят, что вексель учитывается, аклиенту выплачивается сумма:

= −

(3.20)

где

PS=

SS=

I Sd

=−=− = −

SS d d

I SS SS d S d

— цена покупки векселя заT лет допогаше-

ния (сумма учета);

— номинальная стоимость векселя;

— дисконт или доход банка (процентные деньги).

Если вексель учитывается за1год допогашения, то величина дисконта равна:

— годовая учетная ставка.

где

, (3.21)

Дисконтирование попростой учетной ставке

Величина дисконта заT лет допогашения определяется выражением:

Стоимость векселя за

S S I S S Td S Td

I S Td

0 00 0

(3.22)

лет допогашения равна:

(1 )

Таким образом, банковский учет попростой годовой учетной ставке

выполняется поформуле:

(1 )

(3.23)

S S Td= −

Дисконтирование посложной учетной ставке

Стоимость векселя заT лет допогашения определяется выражением:

(1 )

где

— сложная годовая учетная ставка.

Величина дисконта за

= −

, (3.24)

лет допогашения равна:

= − = − − = −−

0 00 0

(1 ) (1 (1 ) )

(3.25)

Пример

1000000 614125 385875

I SS=−= − =

0T =

1T =

01T<<

Вексель номинальной стоимостью 1000000руб. учитывается за3года допогашения а)попростой; б)посложной годовой учетной ставке 15%. Найти сумму, полученную векселедержателем ивеличину дисконта.

Решение

S S Td ·=−= − =

а)

(1 ) 1000000(1 3 0,15) 550000

руб.

I SS=−= − =

SS d= −= − =

б)

1000000 550000 450000

(1 ) 1000000(1 0,15) 614125

руб.

Сравнение дисконтирования попростой исложной

учетной ставке

На риc.2 представлены зависимости суммы денежного обязательства от срока допогашения

учета

при

учете попростой исложной учетным ставкам.

Риc.2. Зависимость суммы учета отсрока допогашения

при учете попростой исложной учетным ставкам

При

и допогашения ровании попростой учетной ставке. При сроке допогаше-

эти суммы одинаковы. При сроке

сумма учета больше при дисконти-

ния

1T >

/dm

 



=−=−

 



  

сумма учета больше при дисконтировании

посложной учетной ставке.

Кратное дисконтирование посложной учетной ставке

Дисконтирование может проводиться не один, аm

раз вгоду, то есть каждый раз поставке

, где d—

номинальная годовая сложная учетная ставка.

В этом случае сумма учета за

лет до погашения

равна:

= −

Эффективная годовая учетная ставка

. (3.26)

определя-

эфф

ется изсоотношения:

SS S d



0 0 эфф





( )

Откуда:

=−−

эфф

. (3.27)

Выражение номинальной ставки через эффективную

имеет вид:

dm d

1 (1 )

= −−

эфф

. (3.28)

Пример

Банк учитывает вексель по номинальной сложной годовой учетной ставке 10% сежемесячным дисконтированием. Найти эффективную учетную ставку.

Решение

  

1 1 1 1 0,095541625 9,55%

=−− =−− = ≈

эфф

     

0,1

Пример

1 12 2

312 163 365 (20 18) 1 880D = − + ⋅ − +=



/ 365; 880 / 365ACT T =

= ⋅− ⋅ =

/ 360; 880 / 360ACT T =

30 / 360; 866 / 360T =

SS=

PS=

Вексель номинальной стоимостью 100000 руб. был учтен в банке 12.06.2018. Дата погашения векселя

08.11.2020. Годовая учетная ставка банка 15%. Какова сумма учета, если учетная ставка: а)простая; б) сложная. Банк работает повременному правилу: 1)АСТ/365;

2)АСТ/360; 3)30/360.

Решение

100000; 15% 0,15Sd= = =

12.06.2018; ( ) 163; 08.11.2020; ( ) 312

∂= ∂ = ∂= ∂ =

360 (20 18) 30 (11 6) 8 12 866D = ⋅ − + ⋅ − +− =

а)

100000 (1 0,15) 67582,14

S = ⋅− =

б)

880/ 365

руб.

100000 (1 0,15 (880 / 365)) 63835,62

а)

100000 (1 0,15) 67215,35

S = ⋅− =

б)

880/ 360

руб.

100000 (1 0,15 (880 / 360)) 63333,33

S = ⋅− ⋅ =

100000 (1 0,15 (866 / 360)) 63916,6

S = ⋅− ⋅ =

а)

100000 (1 0,15) 67641,51

S = ⋅− =

б)

866/ 360

Наращение поучетной ставке

При банковском учете по простой годовой учетной ставке долга за

, согласно формуле (3.23), величина суммы

, находится через сумму учета векселя

лет допогашения поформуле:

S S dT

= = −

−

(1 )

−

руб.

. (3.29)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]