Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Значение
=
( int )IRR ernal rate of return−
{(0; 8000), (1; 6000), (2; 5000)}CF = −
() 0NPV i =
12
ii
−−
−++++=
xi
5 6 80
+ −=
36 160 196;D =+=
12
xx
i ii
0
i IRR
0
называется внутренней нормой
доходности инвестиционного проекта
.
Внутренняя норма доходности— это такая расчетная процентная ставка, при которой инвестиции только
окупаются. Если величина IRR проекта больше, чем стоимость привлекаемых инвестором кредитных ресурсов,
то проект можно принять. Впротивном случае его нужно
отклонить. Чем больше превышение внутренней нормы
доходности над процентной ставкой покредиту, тем выше
эффективность инвестиций.
Пример
Найти внутреннюю норму доходности финансового
потока:
Решение
Составим ирешим уравнение
.
8000 6000(1 ) 5000(1 ) 0
1
−
(1 )
Делая замену
2
xx
( 6 14) / 10 2; ( 6 14) / 10 0,8
=−− =− =−+ =
1
−
(1 ) 2; 1 0, 5; 1,5 1i ii
+ =− + =− =− <−
1
−
(1 ) 0, 8; 1 1, 25; 0,25
+ = += =
0,25 25%i IRR= = =
= +
, получим уравнение:
14D =
;
.
.
.
(неподходит)
71
Вычисление внутренней нормы доходности
00 11
nn
CF
12
{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}
nn
CF t A t A t A=
nn
=
k
k
0; 1; ... ;kn=
k kk k
A CB C
τ
τ
nA
nn
A A A AA A
ii i i
...
nB
nn
B B B BB B
ii i i
+ ++
() 0NPV i =
01 01
01 01
... ... 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
nn
nn
tt ttt t
AA ABB B
ii iii i
+ ++ − − −− =
++ +++ +
() 0NPV i =
финансового потока, путем представления его ввиде
разности двух неотрицательных потоков
Рассмотрим финансовый поток:
{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}
CF t С t С t С=
,
в котором отрицательные платежи могут чередоваться
сположительными. Предположим, что этот поток обладает
внутренней нормой доходности. Представим поток
ввиде разности двух неотрицательных потоков
CF
CF
и
1
:
2
CF CF CF= −
1 0 0 11
{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}
CF t B t B t B
2 0 0 11
Значение платежей
A
и
.
.
B
,
определя-
ются поформулам:
max(0; ), max(0; )
= = −
Обозначим через
CF
. Тогда справедливы равенства:
и
2
0 1 01
+ ++ =
tt t
01
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
++ + +
0 1 01
+ ++ =
tt t
01
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
++ + +
Уравнение
и
A
средние сроки потоков
B
... ;
...
имеет вид:
+ ++
...
.
CF
1
τ
τ
.
После замены сумм, стоящих влевых частях предыдущих двух равенств соответствующими правыми частями
этих равенств, уравнение
72
приобретает вид:
01 01
AB
nn
AA A BB B
ii
ττ
+ ++ +++
++
AA A
BB B
CF
{(0; 400), (1; 350), (2; 500), (3; 800)}CF =−−
CF
1
2
(1 ) (1 )
Откуда получаем:
... ...
=
.
τ −τ
AB
i
(1 )
+=
+ ++
01
01
...
...
+ ++
n
.
n
Следовательно, внутренняя норма доходности финансового потока
i IRR
0
вычисляется поформуле:
1
τ −τ
AA A
+ ++
= = −
01
+ ++
BB B
01
...
...
AB
n
n
1
. (6.13)
Внутренняя норма доходности простых
инвестиционных потоков
Простым инвестиционным потоком называется
финансовый поток, вкотором все отрицательные платежи
предшествуют всем положительным.
Справедливо утверждение:
Утверждение
Любой простой инвестиционный поток имеет внутреннюю норму доходности.
Пример
Найти внутреннюю норму доходности финансового
потока:
.
Решение
Данный финансовый поток является простым и,следовательно, обладает внутренней нормой доходности.
Вычислим ее путем представления потока
ности двух неотрицательных потоков
CF
в виде раз-
CF
и
пофор-
муле:
73
1
nn
1
2
0 0 0 1 500 2 800 3 3400 34
·· · ·++ +
400 0 350 1 0 2 0 3 350 7
· ·· ·+ ++
34 7 510 91 419
−
1 195
= =
τ −τ
AB
n
n
1
.
.
Потоки
{(0; 0), (1; 0), (2; 500), (3; 800)}CF =
1
{(0; 400), (1; 350), (2; 0), (3; 0)}CF =
2
AA A
+ ++
i IRR
= = −
0
CF
и
1
01
+ ++
BB B
01
CF
имеют вид:
2
...
...
Вычислим средние сроки инвестиционных потоков
поприближенной формуле:
...
...
.
n
CF
и
CF
равны:
Pt Pt P t
+ ++
00 11
τ≈
PP P
++ +
01
Средние сроки потоков
τ= = =
A
τ= = =
B
τ −τ = − = =
AB
τ −τ
AB
i
0
0
Полученное значение
0 0 500 800 1300 13
++ +
400 300 0 0 750 15
+ ++
13 15 195 195
;
=
419
195 195
419 419
1300 26
= −= −=
750 15
1 1 0,291737423;
29,17%i IRR
0
;
;
;
29,17%i IRR= =
является при-
ближенным (оценочным), так как средние сроки потоков
CF
CF
и
1
вычислялись поприближенной формуле:
2
.
74
Внутренняя норма доходности финансовых
0
() 0NPV i =
nn
=
∑
{(0; 100), (1; 50), (2; 100), (3; 100), (4; 150), (5; 150)}CF =−−
потоков счередованием положительных
иотрицательных платежей
Недостатком такой характеристики инвестиционных
потоков как внутренняя норма доходности IRR, является
то, что не все потоки с чередованием положительных
иотрицательных платежей обладают внутренней нормой
доходности, то есть имеют единственный корень
соответствующего уравнения
. Рассмотрим те
1i >
изних, которые обладают внутренней нормой доходности.
Нетто— суммой потока платежей
{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}
CF t С t С t С
00 11
к моменту времени t называется сумма:
()
St C
=
. (6.14)
k
tt
≤
k
Финансовый поток счередованием положительных
и отрицательных платежей называется потоком инвестиционного типа, если он обладает следующими свойствами:
1) начальный платеж отрицателен;
2) нетто— сумма всего потока положительна;
3) существует момент времени, начиная скоторого все
платежи положительны, авсе предшествующие нетто—
суммы отрицательны.
Справедливо утверждение:
Утверждение
Любой финансовый поток инвестиционного типа
имеет положительную внутреннюю норму доходности.
Пример
Найти внутреннюю норму доходности финансового
потока:
.
75
Решение
CF
1
2
CF
CF
=
=
nn
0 0 50 1 0 2 100 3 150 4 150 5 1700 34
0 50 0 100 150 150 450 9
· ·· · · ·+ ++ + +
+++++
100 0 0 1 100 2 0 3 0 4 0 5 200
100 0 100 0 0 0 200
·· ····++ ++ +
++ +++
34 34 9 25
1;
9 99
−
33,90%i IRR= =
Данный финансовый поток является потоком инвестиционного типа и,следовательно, обладает внутренней
нормой доходности. Вычислим ее путем представления
потока
CF
и
i IRR
0
Потоки
Средние сроки потоков
в виде разности двух неотрицательных потоков
CF
поформуле:
1
τ −τ
CF
AB
n
n
и
1
1
.
CF
рассчитаем попри-
2
AA A
+ ++
= = −
{(0; 0), (1; 50), (2; 0), (3; 100), (4; 150), (5; 150)}CF
1
{(0; 100), (1; 0), (2;100), (3; 0), (4; 0), (5; 0)}CF
2
01
+ ++
BB B
01
и
1
...
...
имеют вид:
2
ближенной формуле:
...
...
n
Pt Pt P t
+ ++
00 11
τ≈
PP P
++ +
01
τ= = =
A
τ= = =
B
τ −τ = − = =
AB
19
τ −τ
= =
AB
450 9
i
= −= −= −=
0
200 4
0
76
0,36;
25
99
25 25
1 1 2,25 1 0,339015815;
;
1;
0,36
Полученное значение
= =
n
−>
k
j
i
r
i MIRR=
0t =
Ci
−−
∑
tn=
0
33,90%i IRR
является при-
ближенным (оценочным), так как средние сроки потоков
CF
CF
и
1
вычислялись поприближенной формуле.
2
.
Модифицированная внутренняя норма доходности
Модифицированная внутренняя норма доходности
(MIRR— modified internal rate of return)учитывает возможность реинвестирования получаемых доходов. Преимуществом MIRR перед IRR, является то, что MIRR однозначно определена для любого потока с чередованием
положительных иотрицательных платежей. Также, как
идля IRR, если величина MIRR проекта больше, чем стоимость привлекаемых инвестором кредитных ресурсов,
то проект можно принять. Впротивном случае его нужно
отклонить. Чем больше превышение MIRR над процентной ставкой покредиту, тем выше эффективность инвестиций.
Обозначим:
— общий срок проекта (количество периодов);
−−
( 0)
CC
kk
затрат идоходов в
+
C
— положительные значения баланса затрат
j
идоходов в
— отрицательные значения баланса
-ом периоде;
- ом периоде;
— процентная ставка по кредиту запериод (стои-
мость привлеченных кредитных ресурсов);
i
— ставка рефинансирования свободных денежных
средств;
m
— модифицированная внутренняя норма
доходности.
−
Пусть сумма дисконтированных к
k
(1 )
равна:
k
+
k
, асумма наращенных к
значений
C
значе-
i
77
ний
nj
jr
+−
∑
MIRR
n k nj
m k jr
kj
−− + −
∑∑
MIRR
+−
{(0; 400), (1; 350), (2; 500), (3; 800)}CF =−−
ССССn
k
∑
∑
+−
равна:
j
+
C
поформуле:
(1 ) (1 ) (1 )
(1 )
Ci
+
j
i Ci Ci
+ += +
. Тогда
определяется
.
Откуда получаем формулу для вычисления
1
nj
(1 )
Ci
∑
i MIRR
= = −
m
∑
+
jr
j
−−
(1 )
Ci
+
k
k
n
1
k
. (6.14)
Пример
Найти модифицированную внутреннюю норму доходности финансового потока:
.
Процентная ставка запериод (цена кредитных ресурсов)равна 10%. Ставка рефинансирования равна 6%.
Решение
−−++
400; 350; 500; 800; 3;
= = = = =
0123
ii
10%; 6%
= =
Ci ·
Ci ·
j
i MIRR
= = −
m
i
= −= ≈
m
r
−− −
(1 ) 400 3501,1 718,1818182
k
+−
(1 ) 500 1,06 800 1330
jr
718,1818182
k
+=+ =
nj
+ = +=
(1 )
Ci
∑
∑
1330
+
jr
j
−−
(1 )
Ci
k
k
1
3
1
1
nj
n
1
k
+
1 0,228020862 22,80%
.
:
78
Задачи к главе 6
{(0; 10), (1; 20), (2; 30), (3; 40), (4; 30)}CF =
3t =
FV
{(0; 10), (1; 20), (2; 30), (3; 40), (4; 30)}CF =
{(0; 100), (1; 40), (2; 90), (3; 100), (4; 140), (5; 160)}CF =−−
CF =−−
{(0; 4800), (1; 5900), (2; 2500)}CF = −
{(0; 150), (1; 100), (2; 150), (3; 300)}CF =−−
6.1. Для финансового потока
Найти: а)современную величину потока PV, б)приведенное значение потока
ив)конечную величину потока
PV
в момент времени
3
. Годовая процентная
ставка равна 12%.
Ответ: а)99,30971145, б)139,5229943, в)156,2657536
6.2. Для финансового потока
найдите средний срок потока а)по точной формуле;
б)поприближенной формуле. Годовая процентная ставка
равна 12%.
Ответ: а)2,376195262, б)2,461538462
6.3. Вычислите чистый приведенный доход инвести-
ционных потоков:
а)
1
и б)
{(0; 100), (1; 30), (2; 100), (3; 90), (4; 160), (5; 170)}
2
по ставке дисконтирования 10% годовых. Какой изинвестиционных проектов, описываемых этими потоками
предпочтительнее для инвестора по данной характеристике?
Ответ: а)132,0842466, б) 127,085209, а)предпочтительнее.
6.4. Найдите внутреннюю норму доходности финансо-
вого потока:
Ответ: 56,25%
6.5. Найдите внутреннюю норму доходности финансо-
вого потока:
,
79
путем представления его ввиде разности двух неотри-
{(0; 100), (1; 30), (2; 80), (3; 50), (4; 100), (5; 100)}CF =−−
{(0; 4800), (1; 5900), (2; 2500)}CF = −
{(0; 150), (1; 100), (2; 150), (3; 300)}CF =−−
{(0; 300), (1; 250), (2; 400), (3; 600)}CF =−−
{(0; 100), (1; 30), (2; 80), (3; 50), (4; 100), (5; 100)}CF =−−
цательных потоков. Средние сроки потоков определять
поприближенной формуле.
Ответ: 29,60%
6.6. Найдите внутреннюю норму доходности финансо-
вого потока:
,
путем представления его ввиде разности двух неотрицательных потоков. Средние сроки потоков определять
поприближенной формуле.
Ответ: 16,05%
6.7. Найдите модифицированную внутреннюю норму
доходности финансового потока:
.
Процентная ставка запериод (цена кредитных ресурсов)равна 10%. Ставка рефинансирования равна 6%.
Ответ: 36,85%
6.8. Найдите модифицированную внутреннюю норму
доходности финансового потока:
.
Процентная ставка запериод (цена кредитных ресурсов)равна 10%. Ставка рефинансирования равна 6%.
Ответ: 24,51%
6.9. Найдите модифицированную внутреннюю норму
доходности финансового потока:
.
Процентная ставка запериод (цена кредитных ресурсов)равна 10%. Ставка рефинансирования равна 6%.
Ответ: 24,76%
6.10. Найдите модифицированную внутреннюю норму
доходности финансового потока:
.
Процентная ставка запериод (цена кредитных ресурсов)равна 10%. Ставка рефинансирования равна 6%.
Ответ: 13,61%
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]