Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Сумма погашения равна:
=+= + =
1067,193676 1067,19= =
1000; 20% 0,2; 180 / 360 0,5;
Fq T= = = = =
TP= = =
=+= + =
−
0,3ID= =
16,67%r =
14,29%w =
24,69%i =
21,16%d =
(1 ) 1000 (1 0,16 0,5) 1080
S F qT · ·
P
= = = = =
1 1 1 0,08 0,15 1,012
+++
обр
(1 )
F qT
S
iT iT ·
рын пог рын пог
+
обр
1080 1080
руб.
руб.
Пример
Депозитный сертификат сноминалом 1000руб., сро­ком обращения 180 дней, купонной ставкой 20% годовых исроком допогашения 54 дня был куплен наденежном рынке за1050руб. Какова доходность кпогашению сер­тификата?
Решение
обр
54 / 360 0,15; 1050
пог рын
Сумма погашения равна:
(1 ) 1000 (1 0,2 0,5) 1100
S F qT · ·
обр
Доходность кпогашению равна:
SP
= = = = =
y
PT ·
рын пог
1100 1050 50
рын
−
1050 0,15 157,5
Задачи к главе 2
2.1. Кредит вразмере 1,8млн руб. был выдан на243 дня. Сумма погашения составила 2,1 млн руб. Найти: а)проценты (дисконт), б) процентную ставку запериод, в)учетную ставку запериод, г)простую годовую процент­ную ставку, д)простую годовую учетную ставку. Правило АСТ/360.
Ответ: а)
; г)
млн руб.; б)
; д)
руб.
руб.
0,317460317 31,75%
.
.
; в)
21
2.2. Учетная ставка запериод банковского кредита
19%w =
58,46%d =
23,46%r =
72,17%i =
равна 12,5%. Найдите процентную ставку за этот же период.
Ответ: 14,29%.
2.3. Процентная ставка запериод банковского кредита равна 35%. Найдите учетную ставку заэтот же период.
Ответ: 25,93%.
2.4. Банк выдал кредит на 270 дней всумме 30 млн руб. под 25% простых годовых. Какова сумма погашения кредита? Правило АСТ/360.
Ответ: 35625 000руб.
2.5. Кредит в сумме 18млн руб. был выдан на 153 дня. Сумма погашения кредита составила 19759 500руб. Найдите простую годовую процентную ставку банка. Пра­вило АСТ/360.
Ответ: 23%.
2.6. Кредит в сумме 25 млн руб. был выдан под 27% простых годовых. Сумма погашения составила 30 млн.400тыс. руб. Определите срок кредита вгодах иднях. Правило АСТ/360.
Ответ: Т = 0,8года; D = 288 дней.
2.7. Проценты за период банковского кредита соста­вили 2000000руб. Простая годовая процентная ставка равна 20%. Простая годовая учетная ставка равна 16%. Найдите сумму кредита, сумму погашения кредита исрок кредита вгодах иднях.
Ответ: Р = 8000000руб.; S = 10000000руб.;
Т = 1,25года; D = 450 дней.
2.8. Вексель сноминалом 1000руб. куплен наденеж­ном рынке по цене 810руб. за 117 дней до погашения ипогашен вконце срока обращения. Найти а)учетную, б)годовую учетную, в)процентную иг)годовую процент­ную ставки операции. Правило АСТ/360.
г)
Ответ: а)
, б)
.
, в)
,
22
2.9. Вексель с номиналом 1000 руб. учтен в банке за5 месяцев допогашения попростой годовой учетной ставке 30%. Чему равна сумма учета?
Ответ: 875руб.
2.10. Инвестор на денежном рынке в дату эмиссии купил депозитный сертификат сноминалом 1000 руб., купонной ставкой 25% годовых исроком обращения 288 дней. Найти сумму погашения сертификата. Правило АСТ/360.
Ответ: 1200руб.
2.11. Депозитный сертификат сноминалом 1000руб., купонной ставкой 24% годовых исроком обращения 270 дней продан за72 дня допогашения. Годовая рыночная процентная ставка в момент продажи составляла 9%. Какова цена продажи сертификата? Правило АСТ/360.
Ответ: 1152,34руб.
2.12. Депозитный сертификат сноминалом 1000руб., сроком обращения 270 дней, купонной ставкой 22% годо­вых исроком допогашения 63 дня был куплен наденеж­ном рынке за1080руб. Какова доходность кпогашению сертификата?
Ответ: 44,97%.
23
Глава 3.
0
PS
n
SS
n
0; 1; 2; ...n =
i
=+= +
НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ИСЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Проценты
Под процентными деньгами или процентами пони­мают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товаров вкредит, помещение денег надепозитный счет, покупка акций иоблигаций ит. д.
Под процентной ставкой понимается отношение дохода (процентных денег)заединицу времени коснов­ной сумме долга.
Временной интервал, к которому приурочена про­центная ставка, называется периодом начисления. Обычно периодом начисления является год.
Под наращенной суммой понимают суммарную вели­чину первоначально вложенной суммы и процентов, начисленных завсе время финансовой операции.
Начисление простых процентов
Пусть наращенная сумма кконцу
наращении посхеме простых процентов, каждая следую­щая наращенная сумма увеличивается надолю
начальной суммы
К концу первого периода начисления:
10 00
24
=
 — первоначальная сумма,
=
 —
— го периода начисления,
, i — годовая процентная ставка,. При
от перво-
S
.
0
(1 )S S iS S i
..
К концу второго периода начисления:
21 00 0 00
=+=++= +
n
(1 )
S S ni= +
on
SS S
0
iS
T
TR∈, 0T ≥
T
(1 ), , 0
S S Ti T R T=+ ∈≥
(1 )Ti+
T
00
I S S S Ti=−=
(1 2 )S S iS S iS iS S i
.
……………………………………….
К концу
 — го периода начисления наращенная
сумма будет равна:
0
n
Последовательность наращенных сумм является арифметической прогрессией первым членом иразностью
.
0
.
; ; ... ;
1
S
В дальнейшем все изложение мы будем проводить врамках непрерывной модели, вкоторой срок
финан-
совой операции во временной шкале может быть равен любому неотрицательному действительному числу, то
есть завремя
. Таким образом, наращенная сумма
при наращении посхеме простых процентов
S
T
равна:
0
T
(3.1)
Эта формула называется формулой простых процен­тов. Множитель
называется коэффициентом или
множителем наращения простых процентов.
Проценты завремя
равны:
TT
Пример
Найти сумму накопленного долга ипроценты, если кредит вразмере 1000000руб. был выдан на3,5года под 10% простых годовых.
Решение
Сумма накопленного долга равна:
S S Ti ·= += + =
(1 ) 1000000(1 3,5 0,1) 1350000
0
T
(3.2)
руб.
25
Проценты равны:
0
TT
0
T
12
NN
( ; ) ( ) ( ) 365( )D N N yy k∂ ∂ = ∂− ∂+ − +=
17 298 365 (2020 2015) 1 281 1825 1 1545·= − + − +=− + +=
12 2 1 2 1 2 1
D y y mm dd∂∂= − + − + − =
360 (2020 2015) 30 (1 10) 17 25 1800 270 8 1522··= − + − + − = − −=
/ 365; 1545 / 365ACT T =
= += + =
/ 360; 1545 / 360ACT T =
0
(1 ) 4000000 (1 0,11 (1545 / 360)) 5888333,33
T
S S Ti= + = ⋅+ ⋅ =
30 / 360; 1522 / 360T =
= + = ⋅+ ⋅ =
TT T
ISS=−= − =
1350000 1000000 350000
руб.
Пример
Кредит в размере 4000000 руб. выдан 25.10.2015 и погашен 17.01.2020. Процентная ставка банка: 11% простых годовых. Найти сумму погашения поправилам: АСТ/365; АСТ/360 и30/360.
Решение
S S Ti= +
(1 )
( ) 298; ( ) 17
∂= ∂=
;
Точное число дней финансовой операции равно:
12 2 1 2 1
Приближенное число дней финансовой операции равно:
( ; ) 360( ) 30( )
S S Ti · ·
(1 ) 4000000 (1 0,11 (1545 / 365)) 5862465,75
0
T
руб.
руб.
S S Ti
=
(1 ) 4000000 (1 0,11 (1522 / 360))
0
T
5860222,22 .
руб
Обобщенная формула простых процентов
Если напоследовательных временных промежутках начисления процентов:
26
; ; ... ;
12
устанавливаются
m
различные простые годовые процентные ставки:
12
m
ii i
TT T T
(1 ... )
T mm
S S Ti Ti T i= + + ++
i
S
=+= +
SSiSS iS i iS i
n
SS i
on
SS S
(1 )i+
T
TR∈
0T ≥
S
; ; ... ;
, то наращенная сумма
S
завремя
T
=++ +
12
или
...
будет равна:
m
0 11 2 2
m
S S Ti
(1 )
= +
T kk
∑
0
1
=
k
(3.3)
Начисление сложных процентов
При наращении посхеме сложных процентов попро­центной ставке
увеличивается надолю i отпредыдущей суммы
n
каждая следующая наращенная сумма
1nS−
К концу первого периода начисления:
(1 )S S iS S i
10 00
.
К концу второго периода начисления:
= + = += + += +
21 11 0 0
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
2
.
……………………………………….
К концу
 — го периода начисления наращенная
сумма будет равна:
= +
n
0
Последовательность наращенных сумм
.
; ; ... ;
1
n
(1 )
является геометрической прогрессией спервым членом
S
изнаменателем
0
.
В непрерывной модели, врамках которой будет про­водиться дальнейшее изложение, срок
финансовой опе­рации во временной шкале может быть равен любому неотрицательному действительному числу, то есть
. Таким образом, наращенная сумма
завремя T
T
при наращении посхеме сложных процентов равна:
.
,
27
T
=+ ∈≥
T
TT
=−= +−= +−
0
TT
0
T
SS i
12
NN
( ; ) ( ) ( ) 365( )D N N yy k∂ ∂ = ∂− ∂+ − +=
184 105 365 (2020 2014) 2 79 2190 2 2271= − + ⋅ − += + +=
12 2 1 2 1 2 1
∂∂= − + − + − =
360 (2020 2014) 30 (7 4) 3 15 2160 90 12 2238= ⋅ − +⋅−+−= +−=
S S i TRT
T
(1 ) , , 0
0
(3.4)
Эта формула называется формулой сложных процен-
тов. Множитель
(1 )Ti+
называется коэффициентом или
множителем наращения сложных процентов.
Проценты завремя
равны:
I SSS i SS i
TT
(1 ) ((1 ) 1)
00 00
(3.5)
Пример
Найти сумму накопленного долга ипроценты, если кредит вразмере 1000000руб. был выдан на3,5года под 10% сложных годовых.
Решение
Сумма накопленного долга равна:
T
SS i= += + =
(1 ) 1000000 (1 0,1) 1395964,58
0
T
3,5
руб.
Проценты равны:
ISS=−= − =
1395964,58 1000000 395964,58
руб.
Пример
Кредит в размере 3000000 руб. выдан 15.04.2014 и погашен 03.07.2020. Процентная ставка банка: 9% сложных годовых. Найти сумму погашения поправилам: АСТ/365; АСТ/360 и30/360.
Решение
= +
( ) 105; ( ) 184
∂= ∂=
;
T
(1 )
Точное число дней финансовой операции равно:
12 2 1 2 1
Приближенное число дней финансовой операции равно:
( ; ) 360( ) 30( )D y y mm dd
28
/ 365; 2271 / 365ACT T =
0
T
T
/ 360; 2271 / 360ACT T =
0
T
30 / 360; 2238 / 360T =
0
T
TT T
12
m
ii i
TT T T
TT T
Tm
=++ +
Tk
T
0T =
1T =
01T<<
1T >
SS i= + = ⋅+ =
(1 ) 3000000 (1 0,09) 5128446,73 руб.
2271
365
T
SS i= + = ⋅+ =
SS i= + = ⋅+ =
(1 ) 3000000 (1 0,09) 5166781,30 руб.
T
(1 ) 3000000 (1 0,09) 5126126,47 руб.
2271
360
2238
360
Обобщенная формула сложных процентов
Если напоследовательных временных промежутках начисления процентов:
; ; ... ;
12
устанавливаются
m
различные сложные годовые процентные ставки:
; ; ... ;
=++ +
или
, то наращенная сумма
12
SS i i i
...
будет равна:
m
(1 ) (1 ) ... (1 )
01 2
12
SS i
= +
0
m
∏
k
=
1
S
(1 )
завремя
T
m
T
k
(3.6)
Сравнение наращения попростой исложной
процентной ставке
На риc. 1 представлены зависимости наращенной суммы
S
отсрока финансовой операции T при нараще-
нии попростым исложным процентам.
При
и
эти суммы одинаковы. При
,
то есть при сроке финансовой операции меньшей года, наращенная сумма больше при начислении простых про­центов. При
, то есть при сроке финансовой опера-
ции большей года, наращенная сумма больше при начис­лении сложных процентов.
29
Риc.1. Зависимость наращенной суммы отсрока
T
T
[] {}TT T= +
[]T
{}T
S S i Ti=++
=++= + + =
1397550=
финансовой операции при начислении простых
исложных процентов
Смешанный метод начисления процентов
При смешанном методе начисления процентов за целое число лет начисляются сложные проценты, азадробную часть срока финансовой операции начисля­ются простые проценты.
Пусть
— срок финансовой операции. Представим
ввиде:
,
где
— целая часть T,
— дробная часть T.
Тогда наращенная сумма вычисляется поформуле:
[]
T
(1 ) (1 { } )
0
T
(3.7)
Пример
Найти сумму накопленного долга, если кредит враз­мере 1 000 000руб. был выдан на3,5года под 10% годо­вых при смешанном начислении процентов.
Решение
[T] 3
S S i Ti · · ·
(1 ) (1 { } ) 1000000 (1 0,1) (1 0,5 0,1)
0
T
руб.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности