Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
навеличину
∆
ρ
() ( )0VV V
∆ = ρ − ρ + ∆ρ >
00
( ) ()0
∆ = ρ − ∆ρ − ρ >
VV
−+
0
0V >
ρ
2( 1 )
qn K
+−
/K VF=
q
F
V
большую, чем уменьшение ее рыночной
−
стоимости навеличину
кпогашению
натакую же величину ∆ρ.
0
То есть если обозначить:
V+∆
при увеличении доходности
+
VV V
и
00
−
тогда справедливо неравенство:
∆ >∆
,
для всех
1ρ >−
Свойство 5
При любой положительной рыночной цене облигации
существует единственное значение величины доход-
ности кпогашению
, которая является решением урав-
нения (9.27)или (9.29).
Приближенная формула для вычисления
доходности кпогашению
Утверждение
Приближенное значение доходности к погашению
облигации с купонным периодом равным году, можно
найти поформуле:
где
ρ=
1 ( 1)
K nK
−+ +
— курс облигации, n— срок допогашения,
. (9.34)
— годовая купонная ставка.
Доказательство
Поделив на
обе части уравнения
n
1 (1 )
V qF F
= + +ρ
− +ρ
−
ρ
(1 )
n
−
,
получим равенство:
.
161
n
1
Kq
−
1
Kn
−ρ
= −ρ
ρ
n
( )
(1 ) 1 1
(1 ) 1
1
1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1
n
n
nn n n
n
nn
n
−− − −
ρ +ρ − +
ρ ρ +ρ
= = =ρ+ =
− +ρ +ρ − +ρ − +ρ −
=ρ+ =
23
ρ+ =
2
22
1 ( 1) ( 2 1 ( 1) ( 2
1 ...
26 26
n
n
n
n nn n nn
ρ
= ρ+ ⋅
ρ
− −− − −−
⋅ − ρ+ ρ + ρ+ ρ − =
1 (1 )
Kq
− +ρ
= + +ρ
−
(1 )
ρ
n
−
.
Выполним ряд тождественных преобразований этого
равенства:
n
ρ
−
− +ρ
−
n
= −
ρ
n
−
n
−
,
1
q
.
1 (1 )
Kq
1 (1 (1 ) )
−= −−+ρ
− +ρ
1 (1 )
− +ρ
n
1 (1 )
Преобразуем выражение
жим его вряд постепеням
1
1
n
+ ρ+ ρ + ρ + −
1 ... 1
n
− −−
( 1) ( 1)( 2)
nn nn n
1 (1 )
− +ρ
.
1
nn−
+ρ −
(1 ) 1
1
и,затем, разло-
nn−
26
162
22
1 ( 1) ( 2) ( 1)
26 4
= ρ+ − ρ− ρ + ρ + =
2
22
1 13 32 2 1 1
1 ... 1 ...
2 2 6 2 12
nnnn nn+ − −− + + −
= + ρ+ ρ + = + ρ+ ρ +
ρ
1
Kn
−ρ
= −ρ
−+
+ ρ = −ρ
11 1
Kn K
nn
−+ −
( 1) ( 1) 2 2 2 ( 1)K n n qn K− + ρ+ ρ= − −
( 1 2 ) 2( 1 )K Kn n n qn Kρ −+ − + = +−
2( 1 )
qn K
K Kn
+−
n nn n
− −− −
1 ...
n
1 11 2
n nn n+ −− −
= + ρ+ − ρ + =
1 ...
2
2
2 22 3
Подставляя полученное разложение выражения
,
1 (1 )
− +ρ
nn−
ограничившись линейной частью, висходное выражение
q
n
1 (1 )
− +ρ
n
−
,
получим:
11
Kn
1
n
2
q
.
Затем, после дальнейших преобразований:
ρ+ρ= −
q
2
получаем искомую приближенную формулу:
ρ=
1 ( 1)
−+ +
. (9.34)
Пример
Найти доходность кпогашению облигации номиналь-
ной стоимостью 1000руб., сроком до погашения 6 лет,
,
,
,
163
купонным периодом 1год и годовой купонной ставкой
1000; 1100; 6; 1; 10% 0,1FVn q= = = τ= = =
/ 1100 / 1000 1,1K VF= = =
2(q 1 ) 2 (0,1 6 1 1,1)
n K ··
+− +−
ρ= = =
1000; 8; 1; 8% 0,08; 10% 0,1Fn q= = τ= = = ρ= =
−−
1000 893,30 106,70 .I F V руб=−= − =
1000; 6; 1; 9% 0,09; 7% 0,07Fn q= = τ= = = ρ= =
−−
10%, если ее рыночная цена равна 1100руб.
Решение
Курс облигации равен:
1 (K 1) 1,1 1 6 (1,1 1)
Kn ·
−+ + −+ +
1
= = =
0,078740157 7,87%
12,7
Пример
Облигация номинальной стоимостью 1000руб. продается за8 лет допогашения. Годовая купонная ставка
равна 8%. Купоны выплачиваются 1 раз в год. Доходность кпогашению равна 10%. Найти величину дисконта.
Решение
(r )(1 ) 0,08 (0,1 0,08)1,1
qq ·
VF
+ − +ρ + −
= = =
n
1000
ρ
893,30 руб.
=
Пример
Облигация номинальной стоимостью 1000руб. продается за6 лет допогашения. Годовая купонная ставка
равна 9%. Купоны выплачиваются 1 раз в год. Доходность кпогашению равна 7%. Найти величину премии.
Решение
(r )(1 ) 0,09 (0,07 0,09) 1,07
qq ·
VF
+ − +ρ + −
= = =
n
1000
ρ
1095,33 руб.
=
164
8
0,1
6
0,07
1095,33 1000 95,33 руб.JVF=−= − =
В общем случае для облигации скупонным периодом
1/ pτ=
τ
/q qp
=
M np=
n
ρ
ττ
+− +−
K
ρ
1000; 1100; 6; 10% 0,1;
F V nq
= = = = =
/ 1100 / 1000 1,1K VF= = =
уравнение для нахождения
ρ
— доходности
кпогашению закупонный период имеет вид:
M
−
, (9.30)
где
( )(1 )
qq
+ ρ − +ρ
VF
τ
— купонная ставка за купонный период,
τ ττ τ
=
ρ
τ
— общее число купонных выплат засрок допога-
шения
.
Приближенное значение
— доходности кпогаше-
τ
нию закупонный период можно найти поформуле:
2( 1 ) 2( 1 )
ρ= =
q M K q np K
τ
1 ( 1) 1 ( 1)
K M K K np K
−+ + −+ +
, (9.35)
где
— курс облигации, p — количество купонных
выплат загод.
Затем можно найти приближенное значение
годовой доходности кпогашению:
ρ= +ρ −
Пример
Найти доходность кпогашению облигации номинальной стоимостью 1000руб., сроком до погашения 6 лет,
купонным периодом 1 квартал игодовой купонной ставкой 10%, если ее рыночная цена равна 1100руб.
Решение
1/4 0,25; 1/ 4
τ= = = τ=
p
Курс облигации равен:
Купонная ставка закупонный период равна:
/ 0,1 / 4 0,025 2,5%q qp
= = = =
τ
(1 ) 1
p
τ
—
. (9.36)
.
165
Приближенное значение
ρ
2(q 1 )
101
np K
+−
+−
ρ= = = =
44
ρ= +ρ −= + −= −=
nn
=
P
i
()Pi
1
2
()Pi∆
i∆
— доходности кпогаше-
τ
нию закупонный период равно:
2 (0,025 6 4 1 1,1) 1
τ
= =
τ
−+ + −+ +
1 (K 1) 1,1 1 6 4(1,1 1) 50,5
K np ·
2
0,019801980
· ··
Значение годовой доходности кпогашению равно:
(1 ) 1 1 1 1
= =
0,081591843 8,16%
p
τ
101 101
2 103
Ценовая чувствительность облигаций
Текущая стоимость облигации и, как следствие, ее
цена существенным образом зависят от рыночной процентной ставки. Поэтому важное значение имеет анализ
чувствительности текущей стоимость облигации кизменению величины процентной ставки.
Пусть некоторый актив характеризуется положительным потоком платежей:
{( ; ), ( ; ), ... , ( ; )}
CF t P t P t P
11 2 2
Текущая стоимость
годовой процентной ставки
n
( ) (1 )
Pi P i
= +
∑
=
k
этого потока относительно
равна:
−
t
k
k
1
. (9.38)
(9.37)
Воспользуемся разложением Тейлора функции
оставляя внем первые 3слагаемых:
,
( ) () () ()( )
Pi i Pi P i i P i i
+∆ = + ∆ + ∆
′ ′′
Приближенное значение изменения цены
изменении процентной ставки
166
имеет вид:
2
. (9.39)
при
1
() ( ) () () ()( )
2
/PP∆
()Pi
() 1 ()
()
2
P Pi Pi
ii
PP P
′ ′′
∆
() ( ) ()Pi Pi i Pi∆ = +∆ −
() ( ) ()
Pi Pi i Pi
∆ +∆ −
i∆
i∆
i∆
/PP∆
() ()
Pi P i
′
∆
P
11
kk
nn
tt
kk
=− +=− +
∑∑
Pi Pi i Pi P i i P i i
∆ = +∆ − = ∆ + ∆
′ ′′
2
, (9.40)
а относительное приращение
= ∆+ ∆
Величина
функции
2
(9.41)
равно:
есть абсолютное изме-
нение текущей стоимости. Относительное ее изменение
=
() ()
Pi Pi
(9.42)
называется ценовой чувствительностью текущей стоимости.
Малые изменения процентной ставки
измеряются
впроцентных пунктах (п.п.) ибазисных пунктах (б. п.).
Поопределению:
1 п.п.= 1% = 0,01
1 б. п.= 0,01% = 0,0001.
Первое (линейное по
) слагаемые в формуле для
) ивторое (квадратическое по
связаны с двумя
важнейшими характеристиками ценовой чувствительности: дюрацией ивыпуклостью.
Дюрация облигации
В линейном приближении поi∆ справедливо приближенное равенство:
() ()
Pi Pi
Первая производная
1
′
Pi tP i tP i
( ) (1 ) (1 )
kk kk
= =
−− −
Подставляя полученное выражение в предыдущее
равенство, получим:
= ∆
i
поi равна:
1
+
i
1
. (9.43)
. (9.44)
167
() ()
′
∆∆
′
()
1
Di
+
i∆
()
Pi
∆
=−∆
() () ()Pi MDi Pi i∆=− ∆
11
nn
k k kk
kk
∑∑
Pi
Pi P i i
= ∆=− +
() () ()(1 )
Pi Pi Pi i
i tP i
n
∑
k
=
1
kk
+
(1 )
−
t
k
. (9.45)
Величина
Di i t P i
() ()
Pi Pi
() 1
Pi
=− += +
( ) (1 ) (1 )
∑
k
n
=
1
kk
−
t
k
(9.46)
называется дюрацией потока платежей ипорождающего
этот поток актива.
Величина
()
MD ii=
(9.47)
называется модифицированной дюрацией потока платежей ипорождающего этот поток актива.
Модифицированная дюрация позволяет влинейном
приближении по
оценить как относительное измене-
ние текущей стоимости потока платежей
()
()
Pi
MD i i
, (9.48)
так иабсолютное изменение текущей стоимости
Выражение для дюрации можно представить ввиде:
Di t P i w t
1
= +=
( ) (1 )
Pi
()
= =
где
(1 )
w
k
=
k
Pi
– весовые коэффициенты, определяющие вес каждого
платежа
P
втекущей стоимости потока.
k
Таким образом, формулу для дюрации потока платежей можно записать ввиде:
168
. (9.49)
t
−
k
t
−
k
+
(9.51)
()
, (9.50)
n
kk
{(1; 100), (2; 100), (3; 100), (4; 1100)}CF =
100; 1000; / 0,1 10%; 8% 0,08C F q CF i= = = = = = =
123 4
−−− −
=+++ =
92,5926 85,7339 79,3832 808,5328 1066,2425=+++ =
12
92,5926 85,7339
ww
34
79,3832 808,5328
ww
1
k
=
==+++=
0,0868 0,1608 0,2235 3,0332 3,5043=+++=
()
Di w t
=
∑
k
=
. (9.52)
1
Сумма всех весовых коэффициентов равна 1:
n
1
w==
∑
k
1
(9.53)
k
Таким образом, дюрация потока платежей есть средневзвешенный срок потока платежей с весами
w
, рав-
k
ными дисконтированным долям платежей втекущей стоимости потока.
Пример
Найти дюрацию облигации, задаваемой потоком платежей:
,
используя весовые коэффициенты платежей. Годовая
процентная ставка равна 8%.
Решение
100 1,08 100 1,08 100 1,08 1100 1,08P· · · ·
= = = =
0,0868; 0,0804;
1066,2425 1066,2425
= = = =
0,0745; 0,7583
1066,2425 1066,2425
n
D wt · · · ·
∑
0,0868 1 0,0804 2 0,0745 3 0,7583 4
kk
Пример
Дюрация облигации равна 3, 5043года. Годовая процентная ставка равна 8%. Найти модифицированную
года.
169
дюрацию облигации. По модифицированной дюрации
3,5043; 8% 0,08; 0,01Di i= = = ∆=−
(i)
P
∆
1D =
()D Di=
i
qi i
+ − ++
+ −+
найти приближенное значение относительного изменения текущей стоимости облигации при снижении годовой
процентной ставки на1 процентный пункт.
Решение
3,5043
MDi= = =
D
1 1,08
+
3,2447
MD i ·
=− ∆=− = =
(i)
P
3,2447 (-0,01) 0,032447 3,24%
Основные свойства дюрации
Свойство 1
Дюрация бескупонной облигации равна сроку ее обращения.
Свойство 2
Дюрация купонной облигации меньше срока ее обращения.
Свойство 3
Если сумма денег предоставляется взаем наодин год
при однократном начислении процента, то для такой
сделки
.
Свойство 4
Дюрация
цией процентной ставки
является невозрастающей функ-
.
Свойство 5
Дюрация облигации скупонным периодом равным
году независит от номинальной стоимости иопределяется поформуле:
1 ( )1
i nq i i
= −
D
i
((1 ) 1)
n
, (9.54)
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]