Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Графики дохода для покупки акции иопциона пут
T
0
T
D KS S p= −+
= −+
0
()
0
()Sp
0
) 160; ) 120
TT
аS бS= =
(S ) (140 5) (1 (1 / 3) 0,06) 1451,02
FV p · · ·+= + + = =
= − += − =
160 147,90 12,10=−=
изображены нарисунке штриховыми линиями. График для покупки комбинации «акция + опцион пут» изобра­жен сплошной линией. Такая стратегия называется «защитный пут» (protective put). Если рыночная цена
S
акции вмомент исполнения опциона равна
, то доход
D инвестора вмомент исполнения опциона равен:
max( ; ) ( )
. (12.21)
Финансовый результат инвестора равен:
max( ; ) ( )
где
FV S p+
R K S FV S p
T
, (12.22)
0
 — будущая стоимость суммы
+
вмомент истечения опциона.
Пример
Инвестор купил акцию за140 руб. Для того, чтобы защитить себя отпадения цены акции, он за5руб. купил европейский опцион пут с ценой исполнения 145 руб. Время до исполнения опциона 4 месяца. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Опреде­лите финансовый результат для инвестора, если рыноч­ная цена акции вмомент истечения контракта равна:
а) 160руб., б)120руб.
Решение
140; 145; 5; 4 / 12 1/ 3; 0,06S K pT i= = = = = =
0
147,90 руб.
=
a)
max( ; ) ( ) max(145; 160) 147,90
R K S FV S p
T
0
руб.
281
б)
0
T
= − += − =
145 147,90 2,90=−=−
0
0
T
DS c SK
max( ; ) ( ) max(145; 120) 147,90
R K S FV S p
руб.
Защита отроста цены акции
В начальный момент времени инвестор осуществил короткую продажу акции (то есть взял ее вдолг ипро-
S
дал)порыночной цене
. Для того, чтобы защитить себя от подъема цены наакцию, он одновременно покупает опцион колл сценой исполнения K. Цена опциона (пре­мия)равна c. При подъеме цены акции выше цены испол­нения K инвестор исполнит опцион.
Риc.12.6. График дохода при продаже акции ипокупке
опциона колл
Графики дохода для продажи акции ипокупки опци­она колл изображены нарисунке штриховыми линиями. График для комбинации «продажа акции + покупка опци­она колл» изображен сплошной линией. Вмомент испол­нения опциона доход инвестора будет равен:
282
= −−
min( ; )
. (12.23)
Финансовый результат инвестора равен:
0
T
()
−
()Sс−
= = = = = =
TT
= =
= −− = − =
128,75 110 18,75= −=
0
T
= −− = − =
128,75 135 6,25= −=−
где
FV S с
0
R FV S c S K= −−
 — будущая стоимость суммы
( ) min( ; )
, (12.24)
0
вмомент истечения опциона.
Пример
Инвестор осуществил короткую продажу акции за 130 руб. Для того, чтобы защитить себя от подъема цены акции, он за5руб. купил европейский опцион колл сценой исполнения 135руб. Время доисполнения опци­она 6месяцев. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)110руб., б)150руб.
Решение
130; 135; 5; 1 / 2 0,5; 0,06S K cT i
0
) 110; ) 150
аS бS
(S ) (130 5) (1 0,5 0,06) 125 1,03 128,75FV c · · ·−= − + = =
0
руб.
R FV S c K S
a)
( ) min( ; ) 128,75 min(110; 135)
0
T
руб.
R FV S c K S
б)
( ) min( ; ) 128,75 min(150; 135)
руб.
Защита продавца колл опциона
отроста цены акции
В начальный момент времени продавец колл опци­она сценой исполнения K продает его поцене c иодно­временно покупает акцию поцене S
0
акции станет расти, то вмомент истечения опциона про­давец колл опциона предоставит купленную ранее акцию. Эта стратегия называется «покрытый колл» (covered call).
. Вслучае, если цена
283
Риc.12.7. График дохода при продаже опциона колл
DcS S K=−+
0
T
()
−
()сS−
ипокупке акции
Графики дохода для продажи опциона колл ипокупки акции изображены на рисунке штриховыми линиями. График для комбинации «продажа опциона колл + покупка акции» изображен сплошной линией. Вмомент истечения опциона доход продавца опциона будет равен:
где вмомент истечения опциона.
сценой исполнения
цены акции, он купил ее за95руб. Время до истечения опциона 3месяца. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент исте­чения контракта равна:
284
min( ; )
0
. (12.25)
T
Финансовый результат равен:
( ) min( ; )
, (12.26)
FV с S
R FV c S S K= −+
 — будущая стоимость суммы
0
Пример
Инвестор за7руб. продал европейский опцион колл
100руб. Для того, чтобы защитить себя от подъема
0
а) 80руб., б)105руб.
0
TT
(c ) (7 95) (1 0,25 0,06) 88 1,015 89,32FV S · · ·−=− + =− =−
( ) min( ; ) 89,32 min(85; 100)
R FV c S S K= −+ =− + =
89,32 85 4,32=− +=−
= −+ =− + =
89,32 100 10,68− +=
Решение
100; 7; 95; 3 / 12 1 / 4 0, 25; 0,06K cS T i= = = = = = =
аS бS= =
) 85; ) 105
0
руб.
a)
0
T
руб.
R FV c S S K
б)
( ) min( ; ) 89,32 min(105; 100)
0
T
руб.
Защита продавца пут опциона
отснижения цены акции
В начальный момент времени продавец пут опци­она сценой исполнения K продает его по цене p иодно­временно продает взятую вдолг акцию поцене S
. При
0
снижении цены акции ниже цены исполнения опциона K инвестор исполнит опцион. Эта стратегия называется «покрытый пут» (covered put).
Риc.12.8. График дохода при продаже опциона пут
ипродаже акции
285
Графики дохода для продажи опциона пут и про-
0
T
= +−
()
()Sp
0
110; 6; 120; 3 /12 1 / 4 0,25; 0,06K pS T i= = = = = = =
TT
(S ) (120 6) (1 0,25 0,06) 1261,015 127,89FV p · · ·+= + + = =
( ) max( ; ) 127,89 max(110; 90)
R FV S p K S= +− = − =
127,89 110 17,89= −=
= +− = − =
127,89 130 2,11= −=−
дажи акции изображены нарисунке штриховыми лини­ями. График для комбинации «продажа опциона пут + продажа акции» изображен сплошной линией. Вмомент истечения опциона доход продавца опциона будет равен:
D S p KS= +−
max( ; )
. (12.27)
Финансовый результат равен:
где
FV S p+
0
R FV S p K S
 — будущая стоимость суммы
( ) max( ; )
0
T
, (12.28)
+
0
вмомент истечения опциона.
Пример
Инвестор за6руб. продал европейский опцион пут сценой исполнения
110руб. Для того, чтобы защитить себя от падения цены акции, он осуществил короткую продажу акции за120 руб. Время доистечения опциона 3 месяца. Без­рисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции в момент истечения контракта равна: а)90руб., б)130руб.
Решение
) 90; ) 130
аS б S= =
0
руб.
a)
0
T
руб.
R FV S p K S
б)
( ) max( ; ) 127,89 max(110;130)
0
T
руб.
286
Безарбитражность рынка
c SK
p KS
()
SS K
T TT
c SKSK= −=−
cc S K<= −
S
0
cKS S Kс−−+ = −−>
cc S K>= −
( )0
TT
− +=− − >
TT
c SK
иценообразование опционов
Для того, чтобы исследовать закономерности цено­образования опционов, нужно принять предположение об отсутствии на рынке возможностей совершать арби­тражные операции. Арбитражной операцией называ­ется получение прибыли без риска. Например, непо­средственно перед моментом исполнения европейских опционов колл ипут их стоимости должны быть равны:
max(0; )
= −
T
и
max(0; )
= −
T
(12.29)
соответственно. Покажем, что при нарушении этих пра­вил появляется возможность получить арбитражную при­быль.
Пусть цена исполнения европейского опциона колл равна K, ацена базового актива вдату исполнения опци-
>
она равна ить
max(0; )
TT
. Вэтом случае опцион должен сто-
.
Предположим, что рыночная стоимость опциона
TT
. Тогда инвестор может купить этот опцион поцене c, исполнить его (то есть купить актив поцене K) изатем продать актив поцене
. Врезультате инвестор
T
получит арбитражную прибыль, равную
Предположим теперь, что рыночная стоимость опци-
она
TT
поцене c, атакже купит актив поцене исполнит опцион икупит актив уинвестора по цене K.
Врезультате инвестор получит арбитражную прибыль, равную
сS K с S K
Следовательно, при отсутствии нарынке арбитраж-
ных возможностей, вдату исполнения европейского опци­она колл он должен стоить
TT
.
. Такой опцион инвестор продаст
S
. Покупатель
T
.
max(0; )
= −
. Анало-
287
гично можно показать, при отсутствии на рынке
TT
()c p S PV K−=−
(;)
c c KT=
(;)
p pKT=
tT<
SS=
()PV K
0 tT≤<
()
−−
TT
арбитражных возможностей, вдату исполнения европей-
max(0; )
ского опциона пут он должен стоить
p KS= −
.
Паритет цен европейских опционов колл ипут
Основным свойством безарбитражного рынка явля­ется то, что если стоимости двух портфелей активов равны внекоторый момент времени, то они должны быть равны ивдругой момент времени, иначе появляется воз­можность совершить арбитражную операцию. Основыва­ясь наданном свойстве, можно вывести важное соотно­шение, которое называется паритетом цен европейских опционов колл ипут. Оно имеет вид:
где
t
и
t
 — цены опционов колл
, (12.30)
ипут наодну иту же акцию содной итой же датой испол­нения T иценой исполнения K намомент времени
 — цена акции, лежащей в основе опционов
t
;
намомент времени t (поакции невыплачиваются диви­денды);
— денежная сумма, равная цене исполнения
опционов, дисконтированная кмоменту времени t.
Докажем соотношение (12.30). Рассмотрим два порт­феля
X
сосроком исполнения T лет и вложение в безрисковый актив величиной процентов побезрисковой ставке i. Портфель
изопциона пут нату же акцию иизсамой акции ценой
В момент T стоимости портфелей
= −+ =
max(0; )
С S K Ke e
1
288
X
1
и
. В произвольный момент времени t,
2
портфель
T
X
содержит опцион колл наакцию
1
iT t
Ke
снепрерывным начислением
X
2
X
X
и
iT t iT t
()()
−− −
1
K при S K
 
S при S K
,
,
составят:
2
состоит
S
t
≤
T
;
>
.
TT
= − +=
0 tT≤<
()
()c PV K p S+=+
()c p S PV K−=−
50; 6; 60; 0,5; 0,06S c K Tt i= = = −= =
()c p S PV K−=−; ()p c PV K S=+−
60 60
K
6 58,25 50 14,25p =+ −=
0,5; 60; 5,30; 0,06Tt K pc i−= = −= =
max(0; )
С KS S
2
TT
K при S K
 
,
S при S K
≤
T
>
,
Так как стоимости портфелей вмомент T совпадают, то ивлюбой произвольный момент времени t, стоимости будут совпадать.
()
iT t
−−
Так как
K e PV K
=
, то:
.
их
и
.
Что итребовалось доказать.
Пример
Текущая цена акции равна 50руб. Цена европейского опциона колл наэту акцию равна 6руб. Цена исполнения опциона равна 60руб. Опцион истекает через 6месяцев. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых про­стых. Найдите цену европейского опциона пут наэту же акцию стой же ценой исполнения идатой исполнения.
Решение
;
(K) 58,25
PV
= = = =
1 (T ) 1 0,06 0,5 1,03
it ·
+− +
руб.
руб.
Пример
Европейские опционы пут и колл на одну и ту же акцию истекают одновременно через 6 месяцев сценой исполнения 60руб. Опцион пут на5,30руб. дороже, чем опцион колл. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Найдите текущую цену акции, лежа­щей воснове опционов.
Решение
289
()c p S PV K−=−
;
()() ()
K
= − −= − −=
60
0; 60; 58; 0, 5; 0,05t K S pc i= = = −= =
()c p S PV K−=−
() ()
KK
 

 

365 184,820 185D ·T= = ≈
S PVK pc pc
1( )
+−
iT t
= −= −=
1 0,06 0,5·
+
5,30 58,25 5,30 52,95 руб.
Пример
Европейские опционы колл и пут на одну и ту же акцию истекают одновременно. Цена исполнения опци­онов равна 60 руб. Текущая цена акции равна 58 руб. Опцион пут стоит на0,50руб. дороже, чем опцион колл. Безрисковая номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов равна 5%. Най­дите срок вгодах иднях доистечения опционов. Правило АСТ/365.
Решение
() ( ); () /
PV K S p c PV K K e=+− =
;
iT iT
ee
= =
+− +−
S pc S pc
iT

ln .
=

S pc

; ln ln ;
K
()
+−
.
iT
Срок вгодах равен:

1 1 60
= = =
ln ; ln
TT
i S pc
K

+− +
( ) 0,05 58 0,5

= =

58,5

60

20 ln 0,506356159
·
Срок вднях равен:
дней.
290
года.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности