Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
(; )
X xx=
22
2
M M M MM
θ
() 0
µ −µ
TT
(X) 0,06 0,55 0,15 0,45
xx · ·µ =µ +µ = + =
0,033 0,0675 0,1005 10,05%=+==
µ −µ
µ=µ + σ
0
() ( ) ( )
UX Ux x x
= =µ + µ −µ − σ
T
;
M
00
′
Ux x
x
xx=−=− =
=µ −µ −θ σ =
M M MM
M
= = = =
M
θσ
1 1 0,45 0,55
0
M
0
0,15 0,06 0,09
0
22
M
·
5 0,2
2
−
0,2
0, 45;
.
Оптимальный портфель с наибольшей полезностью
имеет вид:
∗
( ; ) (0,55; 0,45)
X xx
= =
0
M
.
Его ожидаемая доходность равна:
00
MM
.
Его риск равен:
(X) 0,45 0,2 0,09 9%
x·σ = σ= = =
MM
.
Бета актива или портфеля
В рамках модели CAPM была установлена линейная
зависимость доходности ириска эффективных портфелей
(уравнение рынка капитала)(11.1):
где
M
0
σ
M
µ
0
и
µ
— ожидаемые доходности безрискового
M
, (11.16)
0
актива ирыночного портфеля.
В рамках модели CAPM была также установлена
линейная взаимосвязь между доходностью ириском для
произвольного актива или портфеля (необязательно
эффективного). Мерой риска вэтой взаимосвязи является
251
нестандартное отклонение доходности, авеличина, назы-
A
00
()
µ =µ +β µ −µ
(; )
iM
Cov R R
(; )
iM
(; ) (; )()( )
i M iM i M
22
iM iM i M
MM
β= = =
σσ
...
nn
xx xβ =β +β + +β
A
A
( 1)−
ваемая бета-коэффициентом или бетой актива или порт-
A
феля
. Ожидаемая доходность
i
или портфеля
удовлетворяет соотношению:
i
µ
произвольного актива
i
β=
где
i
Cov R R
i iM
2
σ
M
— бета актива или портфеля
— ковариация доходностей актива
(11.17)
A
,
i
A
иры-
i
ночного портфеля.
Бета является индивидуальной характеристикой
актива или портфеля.
Так как
Cov R R R R R R=ρ σσ
то бету актива или портфеля
A
можно представить
i
, (11.18)
ввиде:
( ; ) ( ; )( )( )
CovRR RR R R
i
= ρ
Можно показать, что бета портфеля
ρ σσ
σ
()
R
(; ) .
RR
iM
i
σ
()
R
M
X xx x=
(11.19)
( ; ; ... ; )
12
n
является линейной комбинацией бет, составляющих портфель активов:
T
11 2 2
Пример
Из двух активов
и
1
, коэффициент корреляции
2
доходностей которых равен
нулевого риска. Риски активов равны:
252
. (11.20)
, составлен портфель
2%σ=
1
,
6%σ=
2
.
Беты активов равны:
β=
β=
;;
β=β +β = + =
µ
R
R
X
22
TT
MM
MM
σσ
0.
β= = =
0,92
1
феля.
Решение
Портфель нулевого риска равен:
σσ
X
= = =
0
=
(0,75; 0,25) .
21
σ +σ σ +σ + +
1212
T
T
Его бета равна:
xx · ·
11 2 2
=+=
0,69 0,28 0,97.
0,92 0,75 1,12 0,25
1,12
,
2
. Найти бету порт-
0,6 0,2
0,2 0,6 0,2 0,6
T
Для рынка, заданного своими параметрами
ковариация доходностей
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
и
n
( ; ; ... ; )
Y yy y=
12
поформуле:
(; )
Cov R R X V Y=
XY
Поэтому вмодели Тобина бету любого портфеля
можно найти поформуле:
X VX X VX
β= =
X
где, как обычно, неподчеркнутые обозначения относятся
только крисковым активам, а подчеркнутые величины
включают также безрисковый актив. В частности, для
эффективного портфеля
X xX xX= +
значение беты:
T
X VX
22
σσ
MM
1
= σ=
( )
2
σ
M
1
M
xx
MM M
2
xx
( )
0
0
1
M
и
X
n
T
.
,
00эфф M M
00
0
0
2
σ
1
M
иV,
портфелей
Y
T
вычисляется
получаем
253
Таким образом, бета эффективного портфеля равна
A
A
2µ=
4µ=
µ=
σ=
σ=
ρ=
VV
( ) ( )
1
0,25 0 1 1
4 7 1 0,28 1,28
0 0,04 1 1
T
VI
−
β=µ = = =
( ) ( )
1
0,25 0 4 4
4 7 1 0,28 5,96
0 0,04 7 7
TV−
γ=µ µ= = =
22
=αµ−βµ+γ= − + =
γ −βµ
ценовой доле рискового портфеля.
Пример
A
Рынок сбезрисковым активом
активами
7
,
2
1
и
1
2
,
имеет параметры:
2
5
,
2
12
0
. Найти беты активов
идвумя рисковыми
0
,
0
A
Решение
Ковариационная матрица иобратная ковариационная матрица рисковых активов равны:
2
σ
1
= = = =
σ
0
0,25 0
=
0 0,04
4 0 1/4 0
0
2
0 25 0 1 / 25
2
−
1
;
Расчетные параметры равны:
0,25 0 1
α= = =
( )
1
T
−
IV I
1 1 0,29
0 0,04 1
,
1
A
и
1
.
2
22
0,29 5,96 1,28 1,7284 1,6384 0,09·δ=αγ−β = − = − =
d ··
=−+=
1,16 5,12 5,96 2
2 0,29 4 4 1,28 5,96
00
2d =
Ожидаемая доходность ириск касательного (рыночного)портфеля равны:
5,96 1,28 2 3,4 34
µ= = = = =
T
254
0
β−αµ −
1,28 0,29 2 0,7 7
0
·
−
·
4,857142857
d·
σ= = = = =
µ −µ
1
2
( )
( )
A
β= = =
β= = =
T
β−αµ −
0
2 2 10 2
1,28 0,29 2 0,7 7
·
Рисковая часть касательного портфеля равна:
0
X VI
= =
T
= µ−µ =
T
34 / 7 2 5 2
2
d
0,25 0 2
−
2 77
1
−
( )
0
0 0,04 5
T
Касательный портфель равен:
0 5/7 2/7
X =
( )
T
T
Квадрат риска рыночного портфеля равен:
22
σ =σ= =
MT
10 2 200
Портфели отдельных активов
10
ственно:
A
равны:
2
X =
1
T
X VX
1
1
49 49 20 7
= = = =
200 200 7 10
2
49 49 50 7
= = = =
200 200 7 4
2
σ
M
4 0 0,7
( )
T
X VX
2
2
σ
M
0 25 1,75
( )
2
·
7 49
T
и
49
M
200
5/7
2/7
49
M
200
5/7
2/7
.
01
X =
2
4 0 5/7
10
( )
( )
0 25 2 / 7
·
4 0 5/7
01
0 25 2 / 7
·
A
A
и
T
. Беты активов
2,020305089
равны соответ-
и
1
Уравнение характеристической линии рынка
Для любого актива или портфеля
соотношение:
A
справедливо
i
255
00
()
µ =µ +β µ −µ
(; )βµ
00
()
()
()
µ −µ
β>
()
µ −µ
()
()
()
(; )
iM
(; )
iM
A
i iM
, (11.21)
которое называется характеристическим уравнением
рынка. На плоскости
этому уравнению соответ-
ствует прямая линия, называемая характеристической
линией рынка или рыночной линией ценной бумаги
(Security Market Line— SML).
Перепишем соотношение (11.21)ввиде:
µ −µ =β µ −µ
i iM
. (11.22)
Из (11.22)видно, что бета актива или портфеля явля-
ется коэффициентом пропорциональности между рыночной премией
0
i
1
премия
i
µ −µ
i
µ −µ
M
0
мия
µ −µ
M
ипремией поактиву или портфелю
0
. Уактивов или портфелей, имеющих значение
будет больше, чем рыночная пре-
0
i
1
, а у активов, имеющих
0
будет меньше, чем рыночная премия
β<
i
премия
µ −µ
0
M
.
Уравнение (11.21)указывает на то, что наравновесном
совершенном рынке инвестору компенсируется неполный
риск портфеля или актива, характеризуемый стандартным
отклонением σ, атолько та его часть, которая представляет
рыночный (систематический, недиверсифицируемый)риск.
На практике беты активов находят, используя вкачестве представителя рыночного портфеля некоторый
индекс, например, S&P500, ММВБ идругие. Вэтом случае бета актива или портфеля определяется поформуле:
Cov R R
σ
β=
i
2
σ
M
, где вкачестве
и
M
Cov R R
исполь-
зуются полученные повыборке статистические оценки
этих величин.
Пример
Безрисковая ставка равна 5%, аожидаемая рыночная
доходность равна 12%. Какова ожидаемая доходность
актива
256
, если его бета равна 1,3?
Решение
MA
A
A
A
11% 0,11; 14% 0,14; 9% 0,09;
AMA
µ= = µ = = σ= =
σ
00 0
( ); (1 );
A A M A AM A
µ =µ +β µ −µ µ −β µ =µ −β
µ −β µ
−−
µ= = = =
0,0155
5% 0,05; 12% 0,12; 1,3
µ= = µ = = β=
0
( ) 0,05 1,3 (0,12 0,05)
00
A AM
0,05 0,091 0,141 14,1%
=+==
·µ =µ +β µ −µ = + − =
Пример
Средняя доходность актива
равна 11% годовых.
Средняя доходность рыночного портфеля равна 14% годовых. Стандартное отклонение доходности актива
равно
9%. Стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 10%. Коэффициент корреляции доходностей
актива
ирыночного портфеля равен 0,75. Определить
величину безрисковой ставки.
Решение
10% 0,1; 0,75
σ= = ρ =
M AM
β=ρ = =
A AM
µ=
0
0
A
σ
M
µ −β µ
A AM
1
−β
A
A AM
−β −
1 1 0,675 0,345
A
0,09
·
0,75 0,675
0,1
0,11 0,675 0,14 0,11 0,0945
;
·
= = =
0,044927536 4,49%
0,345
Диверсификация как способ снижения риска
портфеля ценных бумаг
Полный риск любого портфеля можно разложить
надве части: диверсифицируемый (устранимый, специ-
257
фический, несистематический)риск инедиверсифициру-
σ= = = =
11
nn
· ·V
= σ+ =
∑∑
ij
· ·R
22
σ= σ
RR V
n →∞
n
ij ij
· ·R R
емый (неустранимый, рыночный, систематический)риск.
Диверсифицируемый риск портфеля — это риск,
который может быть снижен путем увеличения числа
ценных бумаг. Недиверсифицируемый риск портфеля—
это риск, который неудается существенно снизить, включая впортфель все большее число активов.
Рассмотрим процедуру диверсификации напримере
портфеля с одинаковыми весами всех активов:
X
11 1
=
; ; ... ;
n
nn n
T
. Такой портфель называется равно-
взвешенным.
Квадрат риска такого портфеля равен:
T
2
X VX x x V V
n n i j ij ij
nn nn
∑∑ ∑∑
ij ij
11 11
= = = =
1
2
n
где
cov( ; )
11 1 1
nn n n
1
∑
n
i
i j ij
i ij
= ≠=
11
= σ+ −
nn
n
— средняя дисперсия актива;
i
1
=
=
nn
( 1)
n
2
i ij
1
−
2
1 cov(R ; )
n
∑
−
≠=
ij
— средняя ковариация
1
отдельных активов.
Перейдем кпределу при
ченном увеличении числа
видов ценных бумаг впорт-
феле:
11
22
σ= σ+ − =
lim lim 1 cov(R ; ) cov(R ; )
nn
→∞ →∞
258
nn
−
(n 1)
, то есть при неограни-
.
Видно, сумма дисперсий активов является диверси-
R
ε
rr t N
R
R
ε
N
фицируемой частью риска портфеля, асумма ковариаций
является вобщем случае недиверсифицируемой частью
риска портфеля. Поэтому вцелях снижения инвестиционного риска рекомендуется формировать портфель сбольшим разнообразием ценных бумаг.
Таким образом, полный риск любого портфеля можно
разложить надве части: диверсифицируемый (устранимый)риск инеустранимый (рыночный)риск.
Риc.11.2. Диверсификация портфеля активов
Однофакторная модель Шарпа
Данная модель описывает влияние на доходность
любого актива или портфеля
тора, как поведение рынка вцелом.
Введем обозначения:
R
— доходность актива
i
— доходность рыночного портфеля (случайная
M
величина),
— остаточная доходность актива
i
величина),
; ; ; 1; 2; ... ; ;
it Mt it
ε=
случайных величин
— объем выборки.
A
такого важнейшего фак-
i
A
(случайная величина),
i
A
(случайная
i
— выборочные значения
,
и
i
M
,
i
259
Основным уравнением модели является так называе-
i i iM i
RR=α +β +ε
rr=α +β +ε
α
β
α
A
ov( ; )
iM
С RR
()
MM
()0
ε=
ii
ε=δ
ii
α +ε
iM
β
( ) ( ) ( ) ()
=σ= α+β +ε= β + ε=
мое характеристическое уравнение актива
A
:
i
, (11.23)
которое для выборочных данных имеет вид:
it i i Mt it
. (11.24)
Это уравнение является уравнением линейной регрессии доходности i-го актива надоходность рыночного порт-
феля.
и
i
— параметр, представляющий нерыночную часть
i
— параметры модели.
i
доходности актива,
β
— параметр, учитывающий влияние изменения
i
доходности рыночного портфеля надоходность актива
i
причем:
где
2
Var Rσ=
β=
i
2
σ
M
, (11.25)
— вариация доходности рыночного
портфеля.
Предположения модели:
2
; (11.26)
; (11.27)
it is
E
i
( ; ) 0 ; , 1; 2; ... ;
Cov при t s t s Nεε= ≠ =
;
Var
()
,
( ; ) 0 ; , 1; 2; ... ;
а часть
актива
Cov r при t s t s Nε= ≠=
it Ms
Часть
A
R
.
i
доходности называется специфической,
— неспецифической частью доходности
Из уравнения (1)и предположений модели следует,
что:
Var R Var R Var R Var
260
2
i i i iM i iM i
(11.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]