Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
2
( ) ()
iM i
=β +ε
2 22 2
i iM i
()
ii
22
iM
()
ii
β
i i iM i
RR
2 22 2
i iM i
1,2; 4% 0,04; 9% 0,09
β= δ= = σ = =
σ =β σ +δ = + =
Var R Var
Таким образом, квадрат риска актива равен:
где
2
Varδ= ε
.
σ =β σ +δ
, (11.29)
Квадрат риска актива разлагается надве части: недиверсифицируемый (систематический, рыночный, неу-
странимый)квадрат риска
(несистематический, специфический, устранимый)квадрат риска
Коэффициент
2
Varδ= ε
, равный
i
(; )
Cov R R
β= =ρ
i iM
σ
βσ
iM
2
M
идиверсифицируемый
σ
(; )
RR
i
, (11.30)
σ
M
служит мерой систематического, рыночного риска.
Выражения
=α +β +ε
σ =β σ +δ
и
справедливы нетолько для отдельных активов, ноидля любых
портфелей.
Пример
Бета актива A равна 1,2. Стандартное отклонение
специфического (устранимого)риска актива A равно 4%.
Стандартное отклонение доходности рыночного портфеля
равно 9%. Определить полный риск актива, измеренный
стандартным отклонением.
Решение
AA M
2 22 2 2 2 2
A AM A
= +=
0,011664 0,0016 0,013264
σ=σ= = =
AA
2
1,2 0,09 0,04
·
0,013264 0,11516944 11,52%
261
Методы измерения эффективности инвестиций
µ −µ
µ
µ
σ
11 2 2 0
сучетом риска
Коэффициент Шарпа
У. Шарп предложил использовать для оценки эффективности инвестиций коэффициент Шарпа S, равный
отношению средней доходности, превышающей безрисковую ставку криску, выраженному как стандартное отклонение доходности актива или портфеля A:
где
0
и
S
=
A
— ожидаемые доходности безрискового
A
0A
, (11.31)
σ
A
актива иактива (портфеля)A,
— стандартное отклонение доходности актива или
A
портфеля A.
Чем больше значение коэффициента Шарпа, тем
больше получит инвестор запринятый насебя риск итем
более качественным является актив по соотношению
риска идоходности. Недостатком коэффициента Шарпа
является то, что вего расчетной формуле присутствует
общий риск, включающий в себя как систематический
(неустранимый)риск, так инесистематический (диверсифицируемый)риск.
Пример
A
Годовая доходность портфеля
иего риск, выра-
1
женный как стандартное отклонение доходности, равны
соответственно 19% и12%. Годовая доходность портфеля
A
иего риск, выраженный как стандартное отклонение
2
доходности, равны соответственно 23% и 16%. Годовая
безрисковая процентная ставка равна 6%. Определить
с помощью коэффициента Шарпа, какой из портфелей
предпочтительнее посоотношению доходности ириска.
Решение
0,19; 0,12; 0,23; 0,16; 0,06µ= σ= µ= σ= µ=
262
0,19 0,06
µ −µ
µ −µ
12
SS
µ −µ
A
β
A
1 1 2 20
S
S
10
= = =
1
σ
1
20
= = =
2
σ
2
>
. Первый портфель предпочтительнее.
−
0,12
0,23 0,06
−
0,16
1,083333
1,0625
;
.
Коэффициент Трейнора
Дж. Трейнор предложил использовать для оценки
эффективности инвестиций коэффициент Трейнора T,
равный отношению средней доходности, превышающей
безрисковую ставку ксистематическому риску, мерой
которого является бета актива или портфеля A:
T
где
µ
0
и
µ
— ожидаемые доходности безрискового
A
=
A
актива иактива (портфеля)
портфеля
.
0A
, (11.32)
β
A
,
A
Коэффициент Трейнора оценивает дополнительную
доходность только по отношению к систематическому
неустранимому риску.
Пример
Годовая доходность портфеля
A
1
равна 0,8. Годовая доходность портфеля
Его бета равна 1,9. Годовая безрисковая процентная
ставка равна 5%. Определить спомощью коэффициента
Трейнора, какой изпортфелей предпочтительнее посоотношению доходности ириска.
Решение
0,14; 0,8; 0,24; 1,9; 0,05µ= β= µ= β= µ=
— бета актива или
равна 14%. Его бета
A
равна 27%.
2
263
0,14 0,05
µ −µ
µ −µ
12
TT
α
( )
00
()
α =µ − µ +β µ −µ
0
A
M
A
β
A
0
AAM
( )
=−+ −=−<
10
T
= = =
1
β
1
T
20
= = =
2
β
2
<
. Второй портфель предпочтительнее.
−
0,8
0,27 0,05
−
1,9
0,1125
0,115789
;
.
Коэффициент Йенсена
Для количественной оценки эффективности работы
управляющих инвестиционными фондами М. Йенсен
предложил использовать коэффициент
Йенсена:
где
µ
µ
,
и
A A AM
µ
— ожидаемые доходности безрискового
актива, актива (портфеля)
или портфеля
.
ирынка,
, (11.33)
— бета актива
A
В рамках модели CAPM коэффициент Йенсена должен
быть равен нулю. Однако на практике он обычно отличен
отнуля. Его положительное значение обычно трактуется как
превосходство портфеля над рынком. Чем выше значение
коэффициента Йенсена, тем качественнее управление фондом.
Пример
Годовая доходность портфеля A равна 20%. Его бета
равна 1,2. Годовая доходность рыночного портфеля равна
18%. Годовая безрисковая процентная ставка равна 5%.
Спомощью коэффициента Йенсена определить, превосходит или непревосходит портфель A рынок.
Решение
0, 2; 1,2; 0,18; 0, 05
µ = β = µ = µ=
α =µ − µ +β µ −µ =
A A AM
0,2 (0,05 1,2 (0,18 0,05) 0,006 0
()
00
·
Портфель A непревосходит рынок.
264
Задачи к главе 11
µ=
TT
z
TT
MM
µ= σ=
TT
2
( 1)−
σ=
A
A
2µ=
µ=
µ=
σ=
σ=
ρ=
11.1. Безрисковая ставка равна 6%, рыночная ожида-
емая доходность равна 14%. Найдите оптимальный портфель сдоходностью
∗
( ; ) (0,375; 0,625)
X xx
Ответ:
= =
0
11%
z
M
11.2. Безрисковая ставка равна 6%, рыночная ожидаемая доходность равна 17%, арыночный риск, выраженный
стандартным отклонением доходности, равен 25%. Найдите
16%
оптимальный портфель сриском невыше
Ответ:
∗
( ; ) (0,36; 0,64)
X xx
= =
0
M
σ=
11.3. Доходность безрискового актива равна 7%.
Рыночный портфель имеет параметры:
18%; 25%
. Найдите: а)оптимальный портфель
для инвестора, коэффициент неприятия риска которого
равен 5, б) ожидаемую доходность оптимального портфеля, риск оптимального портфеля.
Ответ: а)
∗
( ; ) (0,12; 0,88)
X xx
= =
0
M
, б)16,68%,
в)22%.
A
11.4. Издвух активов
и
1
ляции доходностей которых равен
фель нулевого риска. Риски активов равны:
5%σ=
2
. Беты активов равны:
, коэффициент корре-
A
, составлен порт-
1
0,82β=
1
0,96β=
,
2
. Най-
3%
,
дите бету портфеля.
Ответ: 0,8725
A
11.5. Рынок с безрисковым активом
рисковыми активами
1
вов
5
,
A
1
Ответ:
и
8
,
2
A
1
.
2
0,75β=
1
и
1
1
,
2
;
2
имеет параметры:
2
2
,
0
12
1,5β=
. Найдите беты акти-
и двумя
0
0
,
11.6. Безрисковая ставка равна 6%, а ожидаемая
рыночная доходность равна 14%. Какова ожидаемая
доходность актива A, если его бета равна 0,95?
Ответ: 13,6%.
265
11.7. Ожидаемые доходности актива А ирыночного
портфеля соответственно равны 12% и 16%. Стандартные отклонения актива А и рыночного портфеля соответственно равны 8% и 9%. Коэффициент корреляции
доходностей актива A ирыночного портфеля равен 0,63.
Определите: а)бету актива А, б)величину безрисковой
ставки.
Ответ: а)0,56; б)6,91%.
11.8. Бета актива A равна 1,1. Стандартное отклоне-
ние специфического (устранимого)риска актива A равно
3%. Стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 8%. Определите полный риск актива, измеренный стандартным отклонением.
Ответ: 9,30%.
11.9. Годовая доходность портфеля A
иего риск, выра-
1
женный как стандартное отклонение доходности, равны
соответственно 18% и11%. Годовая доходность портфеля
иего риск, выраженный как стандартное отклонение
A
2
доходности, равны соответственно 23% и 15%. Годовая
безрисковая процентная ставка равна 5%. Определите
с помощью коэффициента Шарпа, какой из портфелей
предпочтительнее посоотношению доходности ириска.
Ответ: Портфель A
11.10. Годовая доходность портфеля A
Его бета равна 0,9. Годовая доходность портфеля A
предпочтительнее.
2
равна 18%.
1
равна
2
22%. Его бета равна 1,3. Годовая безрисковая процентная
ставка равна 6%. Определите спомощью коэффициента
Трейнора, какой изпортфелей предпочтительнее посоотношению доходности ириска.
Ответ: Портфель A
предпочтительнее.
1
11.11. Годовая доходность портфеля A равна 19%. Его
бета равна 0,9. Годовая доходность рыночного портфеля
равна 20%. Годовая безрисковая процентная ставка равна
6%. Спомощью коэффициента Йенсена определите, превосходит или непревосходит портфель A рынок.
Ответ: Портфель A превосходит рынок.
266
Глава 12.
ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
Основные понятия
Финансовые инструменты можно разделить наосновные и производные. К основным относятся такие ценные бумаги как банковские счета, акции, облигации,
векселя, валюта. Производные финансовые инструменты (ПФИ)или деривативы — это производные ценные бумаги, то есть финансовые инструменты, стоимость
которых определяется стоимостью других активов. ПФИ
предназначены для уменьшения финансовых рисков.
В основе любого ПФИ лежит определенный актив:
финансовый или товарный. При этом изменение стоимости дериватива связано сизменением стоимости соответствующего основного актива. Кчислу ПФИ относятся
форвардные, фьючерсные иопционные контракты. Контракты заключаются на условиях либо немедленной
поставки актива, либо поставки актива вбудущем.
Если сделки заключаются нанемедленную поставку
актива, то они называются спотовыми. Рынок таких сделок называется спотовым, ацена их заключения называется спотовой.
Если сделки заключаются напоставку актива вбудущем, то они называются срочными. Срочные контракты
являются разновидностями ПФИ. Всрочном контракте
оговариваются все условия соглашения.
Срочные контракты подразделяются на твердые
иусловные. Твердые сделки, ккоторым относятся форвардные и фьючерсные контракты, обязательны для
267
исполнения обеими сторонами. Условные сделки, ккото-
[0; ]tT∈
рым относятся опционные контракты, не обязательны
кисполнению одной стороной контракта.
Форварды
Форвардным контрактом или форвардом называется
соглашение между двумя сторонами опокупке или продаже актива вбудущий момент времени поопределенной
цене. Предметом соглашения могут быть такие активы
как товары, акции, облигации, валюта ит. д. Форвардные
контракты заключаются вне биржи и,как правило, имеют
своей целью реальную поставку актива. При заключении
форвардного контракта ни одна изсторон невыплачивает
другой начальную премию. Говорят, что сторона, покупающая актив, занимает длинную позицию, асторона, продающая актив, занимает короткую позицию.
Промежуток времени T отмомента заключения форвардного контракта домомента его исполнения называется сроком исполнения контракта. Цена K, определенного контрактом количества актива, которое продавец
обязуется предоставить покупателю вмомент исполнения
контракта, называется ценой поставки или ценой исполнения.
Предположим, что финансовый рынок является
совершенным инанем отсутствуют возможности проведения арбитражных операций. Арбитражной операцией
называется получение прибыли без риска. Предположим
таже, что брать и давать деньги в долг на этом рынке
можно поединой безрисковой ставке. Налоги иоперационные издержки отсутствуют.
Рассмотрим форвардные контракты на активы,
покоторым в течение действия форвардного контракта
не выплачиваются доходы (дивиденды, купонные
F
выплаты ит. п.). Форвардной ценой актива
момент действия контракта, то есть при
вается будущее значение текущей цены
S
актива, то есть
t
влюбой
t
, назы-
268
значение
()
i
K
0t =
00
t
(0; ]tT∈
K
(0; ]tT∈
S
(0; ]tT∈
()
−−
0t =
=−=
()
−−
S
приведенное кмоменту окончания действия
t
контракта:
iT t
F Se
где
— имеющая постоянное значение безрисковая годо-
=
tt
−
, (12.1)
вая процентная ставка при непрерывном начислении процентов.
В рамках принятых предположений о свойствах
финансового рынка, можно показать, что цена исполне-
ния
форвардного контракта равна форвардной цене
вмомент заключения контракта, то есть при
K F Se= =
iT
. (12.2)
F
:
0
Форвардная цена актива
вольный момент времени
сценой исполнения
. Поэтому нарынке возникает воз-
F
, вычисленная впроиз-
может несовпадать
можность торговли форвардными контрактами. Стои-
f
мость форвардного контракта
времени
спот актива
равна разности между рыночной ценой
вэтот же момент времени
t
впроизвольный момент
t
ипри-
веденной кэтому же моменту времени цены исполнения K:
f S Ke
= −
tt
iT t
(12.3)
Стоимость форвардного контракта при его заключении, то есть при
, согласно (12.2), равна нулю:
iT
−
f S Ke
00
0
. (12.4)
Формулу (12.3)сучетом (12.1)можно записать также
ввиде:
()
f F Ke
= −
tt
iT t
. (12.5)
Пример
Цена поставки форвардного контракта на покупку
акции со сроком исполнения через 8 месяцев равна
269
920руб. Текущая цена акции за5месяцев до истечения
= = = =
=−=− =
=−=− =
31,4457908 31,45= ≈
q
[; ]tt t+∆
∆∆
−= −
0t =
T
q
i
0t =
0t =
контракта равна 925руб. Безрисковая номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении
процентов равна 7%. Дивиденды втечение действия контракта невыплачивались. Найти стоимость форвардного
контракта за5месяцев доистечения.
Решение
920; 8 / 12 2 / 3; 925;
KT S
−= = =
Tt i
f S K e ·e
5 / 12; 7% 0,07
(T ) 0,07 (5/12)
it ·
tt
925 920 925 893,5542092
−− −
−
·e
925 920
0,35 /12
t
руб.
Рассмотрим акцию, по которой втечение действия
форвардного контракта выплачиваются дивиденды.
Непрерывно начисляемая ставка дивидендов
определя-
ется таким образом, что сумма дивидендов запромежуток
времени
S
где
— цена спот акции вмомент времени t.
t
длиной t∆ равна:
qt qt
Se S S e
t tt
( 1)
, (12.6)
Пусть цена спот акции в момент заключения контракта
равна
акции заключается насрок
ются дивиденды понепрерывно начисляемой ставке
S
. Форвардный контракт напоставку
0
лет. Наакцию выплачива-
.
Безрисковая номинальная годовая процентная ставка при
непрерывном начислении процентов постоянна иравна
.
Выплата дивидендов поакции происходит до поставки
акции поконтракту. Определим форвардную цену акции
вмомент заключения контракта
(цену поставки).
У инвестора есть две стратегии: 1) купить акцию
вмомент
поцене
S
иполучить занее дивиденды
0
270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]