Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Вечная годовая рента постнумерандо
11
11 11
mm
R iR
ii
mm
+− +−
11
R
+−
1200000
R
с начислением процентов m раз вгоду
Ее современная величина равна:
mn
−
i
11
−+
m
A AR
= −+ =
lim lim
= = =
;
вm m
nn
→∞ →∞
lim 1 1
n
→∞
A
=
;
вm
m
i
+−
m
mn
−
m
. (8.32)
m
i
m
Пример
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вконце каждого года 1200000руб. бесконечно долго при
номинальной сложной годовой процентной ставке 6%
иежемесячном начислении процентов.
Решение
Размер вклада равен:
A
= = =
;
вm
1 11 1
m
i
+− + −
m
0,06
12
12
19455 943,13
руб.
111
Вечная годовая рента пренумерандо
= = +=
Ri i
mm
= + −+ =
Ri
Ri
Ri
= +=
с начислением процентов m раз вгоду
Ее современная величина равна:
mn
−
i
11
−+
m
A AR
lim lim 1
;
вm m
nn
→∞ →∞
m
i
11
+−
m
m
m
i
1 lim 1 1
m
i
11
+−
m
= +
11
+−
A
= +
;
вm
11
m mn
n
→∞
1
m
i
m
m
1
m
i
+−
m
m
m
−
.
m
. (8.33)
Пример
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вначале каждого года 1 200 000руб. бесконечно долго
при номинальной сложной годовой процентной ставке 6%
иежемесячном начислении процентов.
Решение
Размер вклада равен:
m
m
A
;
вm
i
11
+−
m
1
m
112
1200000 0,06
11
R
+−
11
ii
RR
R
1200000
R
= +=
0,06
11
+−
12
1 20655943,13
12
12
12
Вечная годовая рента постнумерандо
с непрерывным начислением процентов
Ее современная величина равна:
руб.
AA
lim lim
= = =
;
вm
∞
mm
→∞ →∞
lim
= =
m
→∞
m
i
i
+−
m
A
=
;1в
∞
e
i
m
e
(8.34)
i
−
m
.
1
−
Пример
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вконце каждого года 1200000руб. бесконечно долго при
номинальной сложной годовой процентной ставке 6%
инепрерывном начислении процентов.
Решение
Размер вклада равен:
A
= = =
;
в
∞
i
11
ee
−−
0,06
19405 999,64
руб.
113
Вечная годовая рента пренумерандо
Ri
= = +=
ii
R iR
1
R
Ae
e
1200000
11
R
ee
−−
с непрерывным начислением процентов
Ее современная величина равна:
lim lim 1
AA
;
∞
вm
→∞ →∞
mm
11
= +=
lim 1
m
→∞
11
m
i
i
+−
m
m
i
+−
m
i
m
i
m
m
e
m
i
e
.
−
1
в
;
∞
Пример
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вначале каждого года 1 200 000руб. бесконечно долго
при номинальной сложной годовой процентной ставке 6%
инепрерывном начислении процентов.
Решение
Размер вклада равен:
Ae e
= = =
;
в
∞
i
i
0,06
СРОЧНЫЕ РЕНТЫ
Рентные платежи втаких рентах производятся неежегодно, аразбиты нар одинаковых платежей, равномерно
распределенных втечение года.
114
=
i
i
−
0,06
20605999,64
. (8.35)
руб.
р— срочная рента постнумерандо сначислением
RR RR
n
N np=
/Rp
pp p
RR R
Ai i i
pp p
−− −
bi
qi
=+=
11 1
nn
pp p
R i Ri
pp
ii i
−−
=+=
+ +− +−
Ri
+−
процентов один раз вгоду
р— срочная рента постнумерандо сежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком:
CF n n
= −
{ 0; 0 , ; , ; , ... , ; , ; }
( )
лет производится
За
12 1
pp pp pp p
платежей, величиной
каждый.
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
()
p
(1 ) (1 ) ... (1 )
=++++++
12
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
1
грессии спервым членом
1
−
(1 )
= +
p
. Вычисляя ее поформуле (8.1), получаем:
R
()
p
Ai
(1 )
p
1
(1 )
−
i
1 (1 ) 1 (1 )
p
−+ −+
−
= +
1
1 (1 )
1
−
p
R
p
−+
1 (1 )
−+
(1 )
−
p
изнаменателем
np
1
−
p
i
1
−
p
i
(1 ) ((1 ) 1) (1 ) 1
Таким образом:
n
1 (1 )
()
p
A
=
−+
p
(1 ) 1
−
. (8.36)
1
p
i
.
n
.
.
115
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
12
nn
pp
RR R
pp p
−−
=+++++
qi
Ri
+−
+−
ppn
SA i
pp n
AS i
4; 1; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= = = = =
11
−−
()
p
Si i
(1 ) (1 ) ...
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
R
(1 ) 1
p
(1 ) 1
bp=
1
i
и знаменателем
n
(8.37)
1
p
грессии с первым членом
1
p
(1 )
= +
. Вычисляя ее поформуле (8.1), получаем:
()
p
S
=
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
() ()
() ()
(1 )
= +
(1 )
= +
(8.38)
−
(8.39)
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Годовая процентная ставка равна 10%. Найти наращенную исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина равна:
n
(1 ) 1 1,1 1
Ri
()
p
S
= = =
+− −
p
p
(1 ) 1
i
+−
10000 000 582006 304,8
4
12
1,1 1
−
руб.
Современная величина равна:
(p) (p) 4
AS i ·
= += =
n
(1 ) 582006304,8 1,1 397518137,3
руб.
116
р— срочная рента пренумерандо сначислением
{0;,;,;,..., ;,;0}
n
N np=
/Rp
11
pp
Ai i
−−
R
qi
Ai
11
pp
RR R
Sii i
pp p
bi
qi
процентов один раз вгоду
р— срочная рента постнумерандо сежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком:
CF n n
= −
лет производится
За
12 1
R RR R
p pp pp pp
платежей, величиной
каждый.
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
RR R
p
()
=+++++
(1 ) ... (1 )
pp p
n
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
грессии с первым членом
1
−
(1 )
= +
p
. Вычисляя ее поформуле,
bp=
1
и знаменателем
получаем:
(1 )
1
p
. (8.40)
n
1 (1 )
Ri
p
()
= +
−+
p
(1 ) 1
−
1
p
+−
i
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
n
pn
()
(1 ) (1 ) ... (1 )
= + + + ++ +
−
( )
.
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
R
= +
грессии спервым членом
1
p
(1 )
= +
. Вычисляя ее поформуле, получаем:
(1 )
1
p
1
p
изнаменателем
117
(1 )
Si
ppn
SA i
pp n
AS i
SS i
AA i
4; 1; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= = = = =
11
= += =
586647 304,8=
−−
1
p
(8.41)
n
(1 ) 1
Ri
p
(1 ) 1
+−
1
p
i
+−
p
()
= +
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты
() ()
() ()
(1 )
= +
(1 )
= +
(8.42)
−
(8.43)
и соотношения, связывающие современные инаращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
pp
() ()
= +
pp
() ()
= +
(1 )
(1 )
1
p
(8.44)
1
p
(8.45)
Пример
Фонд создается втечение 4лет спомощью ренты пренумерандо сежемесячными взносами 10 млн руб. Годовая процентная ставка равна 10%. Найти наращенную
исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина равна:
n
(1 ) 1 1,1 1
Ri
p
()
Si
+− −
p
p
(1 ) 1
+−
i
1
p
(1 ) 10000000 1,1
4
12
1,1 1
−
1
12
руб.
Современная величина равна:
(p) (p) 4
AS i ·
= += =
118
n
(1 ) 586647304,8 1,1 400688 800,7
руб.
р— срочная рента постнумерандо сначислением
11
=+−
i
+−
+−
+−
i
11
11
+−
+−
11
+−
процентов m раз вгоду (m ≠ p)
В этом случае эффективная годовая процентная
ставка равна:
m
i
'
эфф
где
— номинальная годовая процентная ставка.
m
i
,
Наращенная исовременная величины ренты равны:
i
i
i
эфф
эфф
эфф
i
эфф
n
;
1
p
n
−
.
1
p
i
ее выражение
эфф
(1 ) 1
R
p
()
=
S
m
p
(1 ) 1
1 (1 )
−+
R
p
()
A
=
m
p
(1 ) 1
Подставляя вэти формулы вместо
через
иm, получаем искомые выражения.
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
R
()
p
=
S
m
p
m
m
p
i
. (8.46)
m
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
−
m
i
m
i
. (8.47)
m
p
11
−+
R
()
p
A
=
m
p
119
Справедливы соотношения, связывающие современ-
−
4; 4; 12; / 10000000; 10%n m p Rp i= = = = =
11 11
11 1 1
+− +−
+− + −
586225 215,2=
16
() ()
0,1
1 586225 215,2 1 394895921,6
4
mn
pp
mm
i
AS
m
−−
=+= +=
ную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
mn
() ()
pp
= +
SA
mm
() ()
pp
= +
AS
mm
i
1
m
i
1
m
(8.48)
mn
(8.49)
Пример
Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты
постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн руб.
Проценты начисляются ежеквартально пономинальной
процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную
исовременную величину фонда.
Решение
.
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
R
()
p
= = =
S
m
p
m
m
p
i
m
10000 000
0,1
4
0,1
4
16
4
12
руб.
Современная величина фонда равна:
руб.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]