Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
иквадрат риска портфелей
12
(; )
2 22 22 22 22
11 121212 22 11 22
x xx x x x
2 22 22
11 22
xx
+=
11 22 1 2
λ
20
20
10
Lx
Lx
22
11 22
xx
σ=σ
11 2 1
xx
22
12
22
12
22
21
22 22
12 12
σσ
ных изэтих бумаг равен:
X xx=
T
, сформирован-
σ =σ + ρ σ σ +σ =σ +σ
Так как функция
2
σ =σ +σ
— квадратичная
. (10.46)
иограничена снизу, то она имеет минимум. Найдем портфель минимального риска, его доходность и риск. Для
этого необходимо найти минимум целевой функции:
2 22 22
11 22
minxxσ =σ +σ →
при условии
12
1xx
. (10.47)
Для нахождения условного минимума составим функ-
цию Лагранжа инайдем ее экстремум:
— множитель Лагранжа.
где
22 22
( 1)L x x xx=σ +σ +λ + −
, (10.48)
Стационарные точки найдем изсистемы:
′
x
′
x
′
Lxx
λ
2
= σ +λ=
11
1
2
= σ +λ=
22
2
= + −=
12
(10.49)
Вычитая из первого уравнения второе, получим
ирешим систему двух уравнений сдвумя неизвестными:
xx
+=
12
В точке минимума:
1
22
σ =σ−
xx
1
= −
21
2
xσ=
1
2
σ +σ
(1 )
xσ=
;
2
2
1
σ +σ
.
Таким образом, портфель минимального риска имеет
вид:
X
=
min
σ +σ σ +σ
;
T
(10.50)
201
Его риск равен:
22
12
22
12 21
22
12
(; )µσ
ρ=
;;
++
σ= = = = =
22 22
σ = σ +σ =
min 11 22
xx
σσ
12
σ +σ
. (10.51)
Его ожидаемая доходность равна:
∗
µ =µ +µ =
xx
11 2 2
Риc.10.4. Множество портфелей вмодели Марковица
наплоскости
µ σ +µ σ
σ +σ
.
. (10.52)
Пример
Для набора издвух независимых бумаг
(0,8; 0,6)A
2
найти портфель минимального риска, его
(0,5; 0,2)A
1
доходность ириск.
Решение
0
По условию:
22
σσ
X
= = =
min
=
(0,9; 0,1)
∗
µ =µ +µ = + = + = =
21
22 22
σ +σ σ +σ
12 12
T
11 22
0,5 0,9 0,8 0,1 0,45 0,08 0,53 53%xx· ·
.
12
T
0,36 0,04
0,04 0,36 0,04 0,36
и
T
σσ
min
202
12
22
σ +σ
12
0,2 0,6 0,12
·
+
0,04 0,36 0,4
0,12 0,4
·
0,4
0,3 0,4 0,189736659 18,97%·= = =
11 1
(; )
µσ
22 2
(; )
µσ
33 3
(; )
µσ
ρ= ρ= ρ=
123
(; ; )
2 22 22 22
11 22 33
xxx
2 22 22 22
11 22 33
xxx
123
++=
Lxxxxxx
λ
20
20
20
10
Портфели изтрех независимых бумаг
Так как, поусловию, доходности бумаг
A
и
A
независимы, то они инекоррели-
A
рованы. Следовательно, коэффициенты корреляции бумаг
0; 0; 0
12 13 23
X xxx=
Так как функция
T
и квадрат риска портфелей
, сформированных изэтих бумаг равен:
σ =σ +σ +σ
σ =σ +σ +σ
. (10.53)
— квадра-
тичная иограничена снизу, то она имеет минимум. Найдем портфель минимального риска, его доходность ириск.
Для этого необходимо найти минимум целевой функции:
2 22 22 22
11 22 33
minxxxσ =σ +σ +σ →
при условии
1xxx
. (10.47)
Для нахождения условного минимума составим функ-
цию Лагранжа инайдем ее экстремум:
22 22 22
где
=σ +σ +σ +λ + + −
11 22 33 1 2 3
— множитель Лагранжа.
( 1)
Стационарные точки найдем изсистемы:
′
Lx
x
′
Lx
x
′
Lx
x
′
Lxxx
λ
2
= σ +λ=
11
1
2
= σ +λ=
22
2
2
= σ +λ=
33
3
= + + −=
123
(10.55)
Решая систему, получим:
,
, (10.54)
203
22
23
x
С
22
13
С
22
12
С
22 22 22
12 23 23
231312
ССС
122
22 22 22
12 3 21 3 31 2
11 2 2 33
xxx
C
∗
µσσ+µσσ+µσσ
µ =µ +µ +µ =
A
A
ρ= ρ= ρ=
··
0,0064 0,256 0,1024 0,1344C = ++ =
=
1
C =σ σ +σ σ +σ σ
где
σσ
;
σσ
x
=
2
;
σσ
x
=
3
,
.
Таким образом, портфель минимального риска имеет
вид:
22 22 22
σσ σσ σσ
X
min
=
;;
T
(10.56)
Его риск равен:
22 22 22
σ = σ +σ +σ =
min 11 22 33
xxx
σσσ
Его ожидаемая доходность равна:
Пример
Для набора изтрех независимых бумаг
(0,2; 0,4)
2
и
(0,4; 0,8)
2
найти портфель минималь-
ного риска, его доходность ириск.
Решение
По условию:
22 2 2 22 2 2
σσ= = σσ= =
x
1
x
0,2 0,4 0,0064; 0,2 0,8 0,0256;
12 13
22 2 2
0,4 0,8 0,1024·σσ= =
23
22
σσ
23
= = =
σσ
= = =
2
С
22
13
С
0,1024
0,1344
0,0256
0,1344
0; 0; 0
12 13 23
0,7619
0,1905
;
;
. (10.57)
C
1
. (10.58)
(0,1; 0,2)A
,
204
22
µ =µ +µ +µ = + +
0,4 0,0476 0,1333 13,33%·+==
01
(; )
µ
σ=
11 1
(; )
µσ
10
µ >µ
2 2 22 22 22
00 010101 11 11
X x xx x x
00 11
X xx
+=
xx
µ +µ =µ
xx
1 01 0
σσ
12
x
= = =
3
X =
min
∗
11 2 2 33
0,0064
0,1344
С
(0,7619; 0,1905; 0,0476)
0,0476
.
T
0,1 0,7619 0,2 0,1905xxx· ·
σσσ
σ= = = =
min
122
C
0,2 0,4 0,8
··
0,1344
0,1746 17,46%
Портфели издвух бумаг, одна изкоторых безрисковая
(двумерная модель Тобина)
Рассмотрим портфели
избезрискового актива
и рискового актива
которого
A
. Ценовые доли безрискового ирискового
X xx=
( ; 0)A
00
активов соответственно равны
Так как поусловию
0σ=
0
, ожидаемая доходность
x
и
0
, то квадрат риска портфеля
T
, составленные
, риск которого
x
.
1
0
0
равен:
() 2
σ =σ =σ + ρ σ σ +σ =σ
. (10.59)
Ожидаемая доходность портфеля равна:
()
µ =µ=µ +µ
. (10.60)
Условие нормировки (основное портфельное ограничение)имеет вид:
1xx
01
При заданном значении доходности портфеля
. (10.61)
µ>µ
0
портфель находится изсистемы:
,
µ − +µ =µ
(1 )
00 11
+=
xx
01
1
0 1 11
= −
xx
1
01
()
µ −µ =µ−µ
xx
01
= −
1
x
205
µ−µ
= >
10
µ −µ
σ>
>
2 22
11
11
µ
10
µ−µ
µ −µ
=σσ= =
=−=− =
1
µ −µ
10
0
0x
x
;
0
=
µ −µ
1
Так как
0
и
1
дует равенство:
Следовательно, доходность
0x
, то изравенства
1
xσ=σ
. (10.62)
xσ=σ
ириск σ двумерного
портфеля Тобина связаны линейной зависимостью:
µ −µ
0
(10.63)
σ=σ
1
или же
10
µ= σ+µ
σ
1
. (10.64)
0
Риc.10.5. Зависимость ожидаемой доходности отриска
вдвумерной модели Тобина.
Пример
Портфель состоит избезрисковой
вой
(0,48; 0,64)A
1
бумаг. Найти портфель иего ожидае-
(0,24; 0)A
0
ириско-
мую доходность, если риск портфеля равен 0,36.
Решение
/ 0,36 / 0,64 0,5625x
11
;
сле-
01
206
1 1 0,5625 0,4375xx
(0,4375; 0,5625)
µ=µ +µ = + =
xx
µ +µ =µ
01
xx
+=
00
xx
− =− = =−=
σ=σ = = =
X =
T
xx · ·
00 11
= += =
0,105 0,27 0,375 37,5%
0,24 0,4375 0,48 0,5625
Пример
Портфель состоит избезрисковой
вой
(0,56; 0,25)A
1
бумаг. Найти портфель иего риск, если
(0,32; 0)A
0
ириско-
его ожидаемая доходность равна 0,38.
Решение
00 11
+=
xx
01
0,32 0,56(1 ) 0,38
xx
10
0,24 0,18; 0,75; 1 0,25x x xx
X =
1
+ −=
= −
1
0 0 10
(0,75; 0,25)
0,25 0,25 0,0625 6,25%.x·
11
0,32 0,56 0,38
= −
xx
1
10
T
;
Матричные методы оптимизации портфелей
вмодели Блэка
Достоинством матричных методов является единая
форма решения задач с любым количеством рисковых
активов.
Предполагается, что ковариационная матрица V является положительно определенной, то есть для любого
( ; ; ... ; )
ненулевого вектора
X xx x=
12
T
справедливо
n
неравенство:
T
X VX x xV
nn
= >
∑∑
ij
11
= =
i j ij
0
. (10.65)
207
В этом случае матрица Vявляется невырожденной
1
IX=
TT
λ
2 20
=−=
/ X∂∂
()fX
иобратная к ней матрица
1V−
также является положи-
тельно определенной.
Предполагается также, что вектор ожидаемых доходностей активов, обращающихся на рынке,
( ; ; ... ; )
µ= µ µ µ
12
ному вектору
T
неколлинеарен n-мерному единич-
n
(1; 1; ... ; 1)
I =
T
, то есть доходности невсех
активов одинаковы.
Портфель минимального риска
Постановка задачи: найти портфель
( ; ; ...; )
X xx x=
12
2
( ) min
X X VXσ= →
где
T
(1; 1; ... ; 1)
I =
T
, такой чтобы:
n
при условии:
T
— n-мерный единичный вектор.
T
, (10.66)
Данная задача является задачей условной оптимизации. Для её решения можно применить метод Лагранжа.
Составим функцию Лагранжа:
( ; ) 2 (1 )
— множитель Лагранжа.
где
LX X VX I Xλ= + λ −
, (10.67)
Необходимые условия экстремума имеют вид:
(;)
LX
∂λ
∂
Здесь
0 (0; 0; ... ; 0)
=
X
∂λ
(;)
LX
∂λ
Оператор дифференцирования
ветствие функции
VX I
= −λ=
. (10.68)
2(1 ) 0
T
— n-мерный нулевой вектор.
T
IX
ставит всоот-
вектор-столбец частных произво-
дных:
208
( ; ... ; )
TT
X VX VX I X I
XX
∂∂
∂∂
2 20
−=
VX I
X
X VI
λ=
IV I
1λα=
11
IV I
α
11
1
X VI VI
−−
α
22
TT
σ= = = = =
αα α
αα
σ=
α
fx x
∂
1
f
∂
=
∂
X
∂
( ; ... ; )
fx x
1
∂
n
x
∂
1
...
n
x
n
Можно показать, что
2;
( ) ( )
= =
.
Таким образом, портфель минимального риска находится изсистемы:
VX I
Выразив
иподставив во второе уравнение, получим:
Обозначив число
получим уравнение:
−λ=
T
IX
2(1 ) 0
изпервого уравнения системы
1T
−
, изкоторого находим λ:
λ= =
T
или
T
IX
через α, то есть
1
−
. (10.70)
Зная λ, находим портфель минимального риска:
=λ=
min
Квадрат риска портфеля минимального риска равен:
11 1
−− −
2
min min min
T
X VX V
IV V I IV I
1
2
min
, (10.73)
а риск портфеля минимального риска равен:
= λ
. (10.69)
1
=
1
−
= λ
1
T
−
IV I
IV I−= α
1
.
1T
. (10.71)
1
α
.
209
,
1
µ∗
1
TT
X VI
∗−
11TT
−−
β=µ = µ
11
11
TT T
∗ −−
β
ααα
β
µ=
µ=
95
53
ab
cd
db
ca
Пусть вектор ожидаемых доходностей бумаг портфеля
известен иравен:
доходность
портфеля минимального риска равна:
σ=
min
( ; ; ... ; )
µ= µ µ µ
12
. (10.74)
α
T
, тогда ожидаемая
n
µ=µ = µ
min
α
1
. (10.75)
Обозначая через β число
V I IV
, (10.76)
получаем значение ожидаемой доходности портфеля
минимального риска:
µ =µ = µ = µ=
X V I IV
min
∗
µ=
. (10.77)
α
,
Пример
На рынке присутствуют два актива с ожидаемыми
доходностями:
V
матрицей
=
20%
1
−
−
. Найти портфель минимального
10%
,
2
и ковариационной
риска иего риск идоходность.
Решение
X
Если матрица
=
, то обратная матрица
1
−
X
210
1
=
ad bc
−
−
−
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]