Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
через T лет и2)заключить форвардный контракт напри-
()
−−
0t =
()
00
i qT
(0; ]tT∈
Ttτ= −
t
()
iq q
t tt t
=+− +
qi
−τ −τ
()
−τ
()
−− τ
()
i iT t
обретение акции через T лет, вложив наT лет дисконтированную величину форвардной цены идисконтированную величину дивидендов. Так как инвестируемые суммы
пообоим этим вариантам должны быть равны, то получаем соотношение:
S Fe Se S e
=+−
00 0 0
iT qT qT
. (12.7)
Откуда получаем форвардную цену акции при
(цену исполнения контракта):
F K Se
= =
−
. (12.8)
Пусть через некоторое время данный форвардный
контракт инвестор решил продать в момент времени
навторичном фондовом рынке. Пусть вмомент
продажи акции время до исполнения контракта равно
. Так как спотовая и форвардная цены акции
изменятся, то для реализации второй стратегии покупатель контракта должен будет заплатить законтракт цену
f
, которая находится изравенства:
S Ke S e S e f
−τ τ − τ
. (12.9)
Откуда получаем выражение для стоимости форвард-
ного контракта:
f S e Ke
= −
tt
Так как справедливы равенства:
F Se
tt
iq
=
то, подставляя (12.10)в(12.9), получим другое выра-
жение для стоимости форвардного контракта:
()()
f F Ke F Ke
=−=−
tt t
. (12.10)
S Fe
=
и
tt
−τ − −
iq
, (12.11)
. (12.12)
271
Пример
= = = =
qi · ·
= −= − =
=−= − =
12,37430853 12,37= ≈
Цена поставки форвардного контракта напокупку
акции со сроком исполнения через 8 месяцев равна
920 руб. Текущая цена акции за 5месяцев до истечения контракта равна 925руб. Безрисковая номинальная
годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов равна 7%. Втечение действия контракта
наакцию выплачивались дивиденды, непрерывно начисляемая номинальная годовая ставка которых равна 5%.
Найти стоимость форвардного контракта за5 месяцев
доистечения.
Решение
920; 8 / 12 2 / 3; 925;
KT S
τ= − = = =
Tt i q
f S e K e ·e ·e
tt
925 920 905,9285177 893,5542092·e ·e
5 / 12; 0,07; 0,05
− τ −τ − −
0,25 /12 0,35 / 12
−−
925 920
t
0,05 (5 /12) 0 ,07 (5 /12 )
руб.
Фьючерсы
Фьючерсным контрактом или фьючерсом называется
форвардный контракт, заключенный на бирже. Биржа
является посредником между покупателем ипродавцом.
Каждый изних заключает отдельный договор сбиржей.
Эти договоры являются стандартизованными, то есть их
условия для каждого конкретного вида актива являются
одинаковыми для всех участников. Фьючерсы бывают
расчетными ипоставочными. По расчетным фьючерсам
вконце срока контракта между сторонами производится
взаимозачет вденежном выражении, апо поставочным
производится реальная продажа актива. При заключении фьючерсного контракта отсторон требуется внесение залога (вариационной маржи), который необходим
для обеспечения выполнения всеми участниками торгов
своих обязательств.
272
Фьючерсная цена рассчитывается аналогично фор-
(; )strike price exercize price
вардной цене. Различия могут возникать вследствие
дополнительных факторов, таких как налоговые ставки,
расходы похранению истрахованию ит. п.Если форвардный ифьючерсный контракты имеют одинаковую дату
исполнения, абезрисковая процентная ставка одинакова
для любых периодов времени, то, без учета дополнительных факторов, форвардная ифьючерсная цены должны
быть равны.
Опционы
Опцион— это контракт, дающий владельцу опциона
право купить или продать определенный актив поустановленной соглашением цене вопределенный промежуток или момент времени. (Option— выбор, право выбора).
Активами, являющимися предметом опционных контрактов, могут быть товары, акции, облигации, валюта, ит. д.
Актив, лежащий воснове опциона, называется базовым
или базисным. Право купить или продать базовый актив
имеет покупатель опциона. Продавец опциона обязан
выполнить контракт в случае, если покупатель решит
свое право реализовать.
Колл опцион (call option)дает его обладателю право
купить заданный актив поопределенной цене втечение
оговоренного срока.
Пут опцион (put option)дает его обладателю право
продать заданный актив поопределенной цене втечение
оговоренного срока.
Цена опциона или премия (option price)— это вознаграждение, выплачиваемое покупателем опциона продавцу, то есть лицу, выписавшему опцион.
Цена опциона колл обозначается c, а цена опциона
пут обозначается p.
Исполнением опциона называется покупка или продажа базового актива с использованием этого опциона.
Ценой исполнения опциона
273
называется зафиксированная в опционном контракте
K
max(0; )D SK c= −−
цена, по которой владелец опциона может купить или
продать базовый актив. Цена исполнения опциона обозначается
.
Датой истечения опциона (expiration date; exercize
date) называется последняя дата, когда опцион еще может
быть исполнен.
С точки зрения сроков исполнения, опционы делятся
надва типа: европейские и американские. Европейские
опционы могут быть исполнены только вдату их истечения. Американские опционы могут быть исполнены
влюбой день додаты истечения включительно. Говорят,
что покупатель опциона занимает длинную позицию,
апродавец— короткую.
Финансовые результаты для покупателя
европейского колл опциона
Опцион исполняется, если рыночная цена S базового
актива вмомент истечения срока действия опциона выше
цены исполнения K инеисполняется, если она равна или
ниже цены исполнения. Доход D владельца европейского
колл опциона намомент истечения T опциона равен:
где c— премия (цена покупки опциона).
Риc.12.1. График дохода для покупателя колл опциона
274
, (12.13)
Максимальный проигрыш покупателя колл опциона
max(0; ) ( )R S K FV c= −−
()FV c
( ) (1 )FV c c T i= +
7; 185; 2 / 12 1 / 6; 5% 0,05cK T i= = = = = =
( )
равен уплаченной премии, а потенциальный выигрыш
неограничен.
Так как финансовый результат R операции сопционом определяется вмомент его истечения, апремия уплачивается вмомент заключения контракта, то финансовый
результат R операции для покупателя колл опциона будет
равен:
где
— будущая стоимость премии вмомент истече-
, (12.14)
ния опциона.
Пусть T— срок домомента истечения в годах, i —
безрисковая годовая процентная ставка. Тогда при начислении процентов попростой годовой ставке i:
,
при начислении процентов посложной годовой ставке i:
( ) (1 )
FV c c i= +
T
,
а при непрерывном начислении процентов пономинальной ставке i:
()
FV c c e=
iT
.
Пример
Инвестор за7 руб. купил европейский колл опцион
наакцию сценой исполнения 185руб. Опцион истекает
через 2месяца. Безрисковая процентная ставка равна 5%
годовых простых. Определите финансовый результат для
инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения
контракта равна: а)180руб., б)195руб.
Решение
( ) (1 ) 7 1 0,05 / 6 7,058333 7,06FV c c T i=+=+ = =
руб.
275
а)
180; 180 185 5S SK= −= − =−
max(0; ) ( ) max(0; 5) 7, 06
R S K FV c
= − − = −− =
195; 195 185 10S SK= −= − =
max(0; ) ( ) max(0; 10) 7, 06
R S K FV c= −− = − =
max(0; )D SK c=− −+
max(0; ) ( )R S K FV c=− −+
()FV c
0 7,06 7,06 .
=−=−
руб
б)
10 7,06 2,94 руб.
=−=
Финансовые результаты для продавца европейского
колл опциона
Результат сделки для продавца колл опциона противоположен результату сделки для покупателя. Поэтому
его доход равен:
Риc.12.2. График дохода для продавца колл опциона
(12.15)
Максимальный выигрыш продавца колл опциона
равен уплаченной премии, а потенциальные убытки
неограничены.
Финансовый результат R операции для продавца колл
опциона равен:
где
— будущая стоимость премии вмомент истече-
ния опциона.
276
, (12.16)
Пример
6; 150; 8 / 12 2 / 3; 4% 0,04cK T i= = = = = =
( )
175; 175 150 25S SK= −= − =
max(0; ) ( ) max(0; 25) 6,16
R S K FV c=− −+ =− + =
145; 145 150 5S SK= −= − =−
max(0; ) ( ) max(0; 5) 6,16
R S K FV c=− − + =− −+ =
max(0; )D KS p= −−
()Kp−
Инвестор за6руб. продал европейский колл опцион
наакцию сценой исполнения 150руб. Опцион истекает
через 8месяцев. Безрисковая процентная ставка равна
4% годовых простых. Определите финансовый результат
для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)175руб., б)145руб.
Решение
(c) (1 ) 6 1 0,04 2 / 3 6,16FV c T i ·=+=+ =
а)
25 6,16 18,84 руб.
=−+ =−
б)
0 6,16 6,16 руб.
=+=
руб.
Финансовые результаты для покупателя
европейского пут опциона
Покупатель пут опциона получит доход, если рыночная цена базового актива будет ниже цены исполнения
вмомент истечения опциона, так как вэтом случае он
может продать актив продавцу опциона поцене, превышающей текущую рыночную цену. Таким образом, опцион
исполняется, если рыночная цена S базисного актива
вмомент исполнения опциона меньше цены исполнения
K опциона ине исполняется впротивном случае. Доход
владельца европейского пут опциона вмомент истечения
равен:
. (12.17)
Максимальный выигрыш покупателя пут опциона
равен
, амаксимальный проигрыш равен p.
277
Риc.12.3. График дохода для покупателя пут опциона
max(0; ) ( )R K S FV p= −−
()FV p
9; 235; 4 / 12 1 / 3; 6% 0,06pK T i= = = = = =
( )
=+=+ =
240; 235 240 5S KS= −= − =−
max(0; ) ( ) max(0; 5) 9,18
R K S FV p= − − = −− =
225; 235 225 10S KS= −= − =
max(0; ) ( ) max(0; 10) 9,18
R K S FV p= −− = − =
Финансовый результат R операции для покупателя
пут опциона равен:
где
ния опциона.
Пример
Инвестор за 9 руб. купил европейский пут опцион
наакцию сценой исполнения 235руб. Опцион истекает
через 4месяца. Безрисковая процентная ставка равна 6%
годовых простых. Определите финансовый результат для
инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения
контракта равна: а)240руб., б)225руб.
Решение
а)
б)
— будущая стоимость премии вмомент истече-
(p) (1 ) 9 1 0,06 (1 / 3) 9,18FV p Ti ·
0 9,18 9,18 руб.
=−=−
10 9,18 0,82 руб.
=−=
, (12.18)
руб.
278
Финансовые результаты для продавца
max(0; )D KS p=− −+
()Kp−
max(0; ) ( )R K S FV p=− −+
()FV c
7,5; 255; 5 / 12; 5,5% 0,055pK T i= = = = =
европейского пут опциона
Результат сделки для продавца пут опциона противоположен результату покупателя. Доход продавца пут
опциона равен:
Риc.12.4. График дохода для продавца пут опциона
(12.19)
Максимальный выигрыш продавца пут опциона равен
p, амаксимальный проигрыш равен
.
Финансовый результат R операции для продавца пут
опциона равен:
где
— будущая стоимость премии вмомент истече-
, (12.20)
ния опциона.
Пример
Инвестор за 7 руб. 50 коп. продал европейский пут
опцион наакцию сценой исполнения 255руб. Опцион истекает через 5месяцев. Безрисковая процентная ставка равна
5,5% годовых простых. Определите финансовый результат
для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)225руб., б)270руб.
Решение
279
( )
(p) (1 ) 7,5 1 0,055 (5 / 12)
=+= + =
225; 255 225 30S KS= −= − =
max(0; ) ( ) max(0; 30) 7,67
R K S FV p=− −+ =− + =
270; 255 270 15S KS= −= − =−
max(0; ) ( ) max(0; 15) 7, 67
R K S FV p=− −+ =− − + =
0
FV p Ti · ·
7,671875 7,67 руб.
= =
а)
30 7,67 22,33 руб.
=−+ =−
б)
0 7,67 7,67 руб.
=+=
Хеджирование
Хеджированием называется использование финансовых инструментов для снижения риска, возникающего
вследствие изменения рыночных цен. Рассмотрим хеджирование спомощью европейских опционов.
Защита отпадения цены акции
Инвестор владеет акцией, цена которой внастоящий
S
момент равна
, ноон опасается падения ее цены ипокупает опцион пут сценой исполнения K. Цена опциона
(премия)равна p. При падении цены акции ниже цены
исполнения K инвестор исполнит опцион.
Риc.12.5. График дохода при покупке акции иопциона пут
280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]