Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Финансовая математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Биномиальная модель ценообразования опционов

Биномиальная модель базируется надвух основных принципах:

– динамика цен актива считается известной (ввероятностном смысле);

– предполагается, что арбитраж на рынке невозможен.

Однопериодная биномиальная модель

Эта модель предполагает, что цена базового актива рассматриваемого опциона вконце периода может находиться только в двух состояниях. Если цена актива вначале периода была равна S, то цена актива в конце периода будет равна uS вслучае повышения иdS вслучае понижения. Множители u иd отвечают движению цены вверх и вниз соответственно. Эти два состояния цены могут быть описаны спомощью биномиального дерева:

С помощью этой модели найдем цену европейского опциона колл вначале периода.

Так как премия за опцион уплачивается вначале, а доход извлекается только через определенное время, то инвестор может сравнить этот возможный доход отсредств, затраченных напремию, сдоходом отвложения этих средств в безрисковый актив. Следовательно, цена наопцион должна зависеть от ставки побезрисковым инвестициям.

Составим портфель изакции изаемных средств, который дублирует данный опцион колл. Будем предполагать, что акция делима иколичество акций n может быть дроб-

291

ным числом. В портфель входит n акций и B заемных

nS B−

(1 )unS B r−+

(1 )dnS B r−+

; ; (1 )ud r+

(1 )u rd>+>

= −

c nS B= −

= −+

−=−

()

−

ud u d u u

− −−+

−−

ud r

−+

()()(1)

ud u d

c c dc uc

ud ud r

−−

− −+

( ) ( )

c r d cu r

средств.

Тогда в начале периода стоимость портфеля равна

. Вконце периода, вслучае подъема акции стоимость портфеля равна акции равна

, где r— безрисковая ставка

, авслучае падения

за временной период. Если возможность арбитража нарынке отсутствует, то величины ряют неравенствам:

Цена опциона в начале периода равна

удовлетво-

. В конце

периода в случае подъема акции цена опциона равна

max(0; )

c uS K

max(0; )

c dS K

, авслучае падения акции

Стоимости портфеля в начале и в конце периода

равны:

Из двух последних уравнений находим:

(1 )

+= −=

B r uS c

Тогда изпервого уравнения получим:

292

c unS B r

;

(1 )

c dnS B r

;

c c unS dnS−= −

()

nS u d c c

;

Su d

c c uc uc uc dc

() ()

Sud ud

c nS B

= −= −

(1 ) (1 )

+− + −+

dc uc

−

( )(1 )

ud r

−+

;

−

;

. (12.31)

(1 )

;

Введем величины:

(1 )urd

+−

−

(1 )

−+

−

uu d d

cc c

pp p

0; 0,5; 200; 190; 250;

t T S K uS

= = = = =

200 250; 250 / 200 1,25; 200 180;

u· u d·

= = = =

= −= − =

1 1 1 0,08 0,5 1,04r iT ·+=+ =+ =

( ) ( )

c r d cu r

Так как

q >

;

. (12.32)

, то

и

могут

рассматриваться как вероятности, которые называются риск-нейтральными вероятностями. При этом формулу (12.31)можно записать ввиде:

c qc qc

= +

( )

. (12.33)

В случае опциона пут формула (12.33) остается вер-

ной при замене

на

соответственно.

Пример

Европейский опцион колл на акцию, по которой невыплачиваются дивиденды, истекает через 6месяцев сценой исполнения 190руб. Текущая цена акции 200руб. Ожидается, что через 6месяцев цена акции либо возрастет до250руб., либо упадет до180руб. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых простых. Найти текущую цену опциона.

Решение

180; 0,08

dS i

= =

180 / 200 0,9

= =

c uS K

max(0; ) max(0; 250 190) 60

max(0; ) max(0; 180 190) 0

c dS K

(1 ) (1 )

+− + −+

( )(1 )

ud r

−+

293

( ) ( )

60 1,04 0,9 0 1,25 1,04

··

uu d d

= ++

= = =

8,4

= =

−+ −

··

(1,25 0,9) 1,04 1,04 0,35

−

23,08 руб.

0,14 60

0,364

Двухпериодная биномиальная модель

Рассмотрим модель, состоящую из двух периодов и в каждом периоде цена актива может возрасти или упасть наодин и тот же процент. Биномиальное дерево для такой модели имеет вид:

Используя формулу (12.33):

c qc qc

= +

найдем

и

через

ставим вэту формулу инайдем

( )

, апотом вновь под-

c qc qc

= +

u u uu d ud

= ++ +

( )

c qc qc

= +=

q qc qc q qc qc

( ) ( )

( )

u u uu d ud d u ud d dd

(1 )

c qc qqc qc

(1 )

( )

u uu u d ud d dd

Пример

294

;

d u ud d d d

( )

uu d d

( )

c qc qc

= +

;

(12.34)

Текущая цена акции равна 400руб. Каждый год она

400; 440; 1,25; 0,9; 0,05S K u d ri= = = = = =

= ++

(1 ) 1,05 0,9 0,15 3

+− −

(1 ) 1, 25 1,05 0, 2 4

−+ − 1,25 0,9 400 450udS · ·= =

= −= − =

= + +=

··



= ++= =

 

1665 240 1905

может подняться на25% или упасть на 10%. Поакции невыплачиваются дивиденды. Годовая безрисковая процентная ставка равна 5%. Цена исполнения европейского опциона колл равна 440руб. Опцион истекает через 2года. Найти текущую цену опциона.

Решение

c qc qqc qc

(1 )

= = = =

c uS K= −= − =

( )

u uu u d ud d dd

−−

1,25 400 625uS ·= =

max(0; ) max(0; 625 440) 185

1,25 0,9 0,35 7

;

max(0; ) max(0; 450 440) 10

c udS K

0,9 400 324dS ·= =

max(0; ) max(0; 324 440) 0

c dS K

;

c qc qqc qc

(1 )

1 9 24 16 9 185 24 10

1,05

( )

u uu u d ud d dd

     

49 49 49 1,1025 49

  

= = = =

· ··

185 10 0

35,26308483 35,26

54,0225 54,0225

руб.

295

Многопериодная биномиальная модель

−−

( )

−−

()ni−

−−

() ()

Формулу для двухпериодной модели можно обобщить

наn периодов:

c C qq cu d

i ni i ni

cu d ud S K

где

(1 )

; max(0; )

= −

i i ni i ni

∑

nud

;

( )

, (12.35)

есть цена опциона колл вслучае, если цена акции поднимется i раз и опустится

раз. Таким образом, формула цены опциона

колл вn-периодной модели имеет вид:

c Cqq ud S K

= −

(1 )

i i ni i ni

∑

nud

max(0; )

. (12.36)

Формула Блэка-Шоулза для определения цены

европейских опционов

Предположения, которые были сделаны для ее вывода: – рынок функционирует непрерывно; – возможна короткая продажа акций без дополни-

тельных издержек;

– транзакционные издержки иналоги равны нулю; – возможны займы по безрисковой процентной

ставке;

– безрисковая процентная ставка известна и посто-

янна;

– доходность акций имеет логнормальное распределе-

ние инезависит отвремени;

– годовое стандартное отклонение доходности акций

(волатильность)известно ипостоянно.

В этих предположениях Ф. Блэком и М. Шоулзом была составлена модель, врамках которой цена европейского опциона колл наакцию, покоторой невыплачиваются дивиденды, вычисляется поформуле:

c SNd Ke Nd

= −

−

, (12.37)

296

где

()Nd

 



d dT

()Nd

() . . (; )N d НОРМ СТ РАСП d ИСТИНА=

−−

1 () ( )Nx N x−=−

() ()

pKe Nd SNd

= −− −

— функция стандартного нормального распреде-

ления;

S— цена акции вданный момент;

K— цена исполнения опциона;

i — непрерывно начисляемая безрисковая годовая

процентная ставка;

T— время доистечения опциона;

 — годовое стандартное отклонение доходности

акции (волатильность);

N d e dx

()







= = −σ









+−

 

−

; (12.38)

−∞

∫

; (12.39)

. (12.40)

В Excel значения

спомощью функции:

Цену европейского опциона пут наакции, покоторым невыплачиваются дивиденды, можно найти, используя паритет европейских опционов колл ипут.

pcSPVK cSKe

=−+ =−+

p SN d Ke N d S Ke

() ()

= − −+

p Ke Nd S Nd

−

= − −−

()

iT iT

(1 ( )) (1 ( ))

Справедливо тождество: мула принимает вид:

−

;

; (12.41)

. Тогда фор-

. (12.42)

297

Пример

440; 380; 0,4; 0,06; 4 / 12 1 / 3;SK i T= = σ= = = =

0,146603474 0,046666666 0,193270140

0,836884261

0,230940107 0,230940107

= = =

0,836884261 0,230940107 0,605944153dd T= −σ = − =

( ) . . ( ; ) 0,798671186N d НОРМ СТ РАСП d ИСТИНА= =

( ) . . ( ; ) 0,727724081N d НОРМ СТ РАСП d ИСТИНА= =

1 21 2

−−

=−=− =

351,4153218 271,0593876 80,35593398 80,36 руб.=−==

440; 380; 0,4; 0,06; 4 / 12 1 / 3;SK i T= = σ= = = =

Текущая цена акции равна 440руб. Годовое стандартное отклонение доходности акции равно 0,4. По акции невыплачиваются дивиденды. Найти цену европейского опциона колл с ценой исполнения 380руб. и временем до истечения опционного контракта 4 месяца. Непрерывно начисляемая безрисковая годовая процентная ставка равна 6%.

Решение

0,02

−−

440



ln 0,06 0,08 / 3



380

( )

0,4 1 / 3

0,06 (1 / 3) 0,02; 0,980198673

iT · e e

= = = =







= = =



  

c SNd Ke Nd Nd e Nd

( ) ( ) 440 ( ) 380 ( )

0,02

Пример

Текущая цена акции равна 440руб. Стандартное отклонение доходности акции равно 0,4. Поакции не выплачиваются дивиденды. Найти цену европейского опциона пут сценой исполнения 380руб. ивременем доистечения опционного контракта 4месяца. Непрерывно начисляемая безрисковая годовая процентная ставка равна 6%.

Решение

298

0,02

0,146603474 0,046666666 0,193270140

0,836884261

0,230940107 0,230940107

= = =

0,836884261 0,230940107 0,605944153dd T= −σ = − =

11 2 2

( ) 1 ( ) 0,201328814; ( ) 1 ( )

N d Nd N d Nd−=− = −=− =

0,02

21 2 1

( ) ( ) 380 ( ) 440 ( )

pKe Nd SNd e Nd Nd

−−

= −− −= −− −=

101,4161083 88,58467817 12,83142984 12,83 руб.=−==

−−

440



ln 0,06 0,08 / 3



380

( )

0,4 1 / 3

0,06 (1 / 3) 0,02; 0,980198673

iT · e e

= = = =







= = =

( ) . . ( ; ) 0,798671186N d НОРМ СТ РАСП d ИСТИНА= =

( ) . . ( ; ) 0,727724081N d НОРМ СТ РАСП d ИСТИНА= =

0,272275919



  

Задачи к главе 12

12.1. Цена поставки форвардного контракта напокупку акции сосроком исполнения через 9месяцев равна 910руб. Текущая цена акции за6месяцев доистечения контракта равна 935руб. Безрисковая номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов равна 5%. Дивиденды втечение действия контракта невыплачивались. Найдите стоимость форвардного контракта за6месяцев доистечения.

Ответ: 47,47руб.

12.2. Цена поставки форвардного контракта напокупку акции сосроком исполнения через 9месяцев равна 910руб. Текущая цена акции за6месяцев доистечения контракта равна 935руб. Безрисковая номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начис-

299

лении процентов равна 5%. Втечение действия контракта наакцию выплачивались дивиденды, непрерывно начисляемая номинальная годовая ставка которых равна 4%. Найдите стоимость форвардного контракта за6месяцев доистечения.

Ответ: 28,95руб.

12.3. Инвестор за 9 руб. купил европейский колл опцион наакцию сценой исполнения 290руб. Опцион истекает через 2месяца. Безрисковая процентная ставка равна 6,5% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)277руб., б)318руб.

Ответ: а)— 9,10руб., б)18,90руб.

12.4. Инвестор за8руб. 50коп.продал европейский колл опцион наакцию сценой исполнения 245руб. Опцион истекает через 5месяцев. Безрисковая процентная ставка равна 5,5% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)262руб., б)233руб.

Ответ: а)— 8,31руб., б)8,69руб.

12.5. Инвестор за7руб. купил европейский пут опцион наакцию сценой исполнения 215руб. Опцион истекает через 7месяцев. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)238руб., б)202руб.

Ответ: а)— 7,20руб., б)5,80руб.

12.6. Инвестор за9руб. 50коп.продал европейский пут опцион наакцию сценой исполнения 310руб. Опцион истекает через 4месяца. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых простых. Определите финансовый результат для инвестора, если рыночная цена акции вмомент истечения контракта равна: а)293руб., б)344руб.

Ответ: а)— 7,31руб., б)9,69руб.

12.7. Инвестор купил акцию за 130 руб. Для того, чтобы защитить себя отпадения цены акции, он за4руб. купил европейский опцион пут с ценой исполнения

300

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]