Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
Найдите портфель, его ожидаемую доходность иего риск.
13,9%µ=
33,62%σ=
27%σ=
(0,13; 0,37)A
(0,24; 0,87)A
16,52%µ=
( 1)−
31,7%µ=
( 1)−
10,29%σ=
( 1)−
19,2%µ=
min
13,6%µ=
min
Ответ:
(0,2; 0,3; 0,5)
X =
T
,
,
.
10.6. Портфель состоит из двух ценных бумаг
(0,25; 0,15)A
1
и
(0,75; 0,35)A
2
. Коэффициент корреля-
ции бумаг равен 1. Доходность портфеля равна 0, 55.
Найдите портфель иего риск.
Ответ:
X =
(0,4; 0,6)
T
,
.
10.7. Портфель состоит из двух ценных бумаг
1
и
2
. Коэффициент корреля-
ции бумаг равен 1. Риск портфеля равен 0, 53. Найдите
портфель иего доходность.
Ответ:
(0,68; 0,32)
X =
T
,
.
10.8. Портфель состоит из двух ценных бумаг
(0,24; 0,14)A
1
и
ции бумаг равен
(0,46; 0,26)A
2
. Коэффициент корреля-
. Найдите портфель нулевого риска
иего ожидаемую доходность.
Ответ:
(0,65; 0,35)
X =
0
T
,
.
10.9. Портфель состоит из двух ценных бумаг
(0,20; 0,24)A
1
ции бумаг равен
и
(0,41; 0,36)A
2
. Коэффициент корреля-
. Доходность портфеля равна 0, 32.
Найдите портфель иего риск.
Ответ:
(3/7; 4/7)
X =
T
,
.
10.10. Портфель состоит из двух ценных бумаг
(0,15; 0,30)A
1
и
ции бумаг равен
(0,24; 0,45)A
2
. Коэффициент корреля-
. Риск портфеля равен 0,05. Найдите
портфель максимальной доходности иего доходность.
Ответ:
(8 / 15; 7 / 15)
X =
T
,
.
10.11. Портфель состоит издвух независимых бумаг
(0,10; 0,03)A
1
и
(0,20; 0,04)A
2
. Найдите портфель мини-
мального риска, его доходность ириск.
Ответ:
X =
(0,64; 0,36)
T
,
,
2,4%σ=
.
241
10.12. Портфель состоит изтрех независимых бумаг
min
35,58%µ=
15,36%σ=
(0,3; 0)A
15%σ=
38,75%µ=
−
σ=
14%µ=
(0,3; 0,2)A
1
(0,4; 0,3)A
,
2
и
(0,5; 0,4)A
3
. Найдите порт-
фель минимального риска, его доходность ириск.
Ответ:
X =
(36 / 61; 16 / 61; 9 / 61)
T
,
,
min
10.13. Портфель состоит из безрисковой
и рисковой
.
0
(0,5; 0,2)A
1
бумаг. Ожидаемая доходность
портфеля равна 0,45. Найдите портфель иего риск.
(0,25; 0,75)
Ответ:
X =
10.14. Портфель состоит из безрисковой
ирисковой
(0,5; 0,8)A
1
T
,
.
(0,2; 0)A
0
бумаг. Риск портфеля равен 0,5.
Найдите портфель иего доходность.
Ответ:
(0,375; 0,625)
X =
T
,
.
10.15. Для рынка издвух активов спараметрами:
(0,1; 0,2)
µ=
T
,
V
=
0,2 0,2
0,2 0,4
−
найти портфель минимального риска иего риск идоходность.
Ответ:
X =
min
(0,6; 0,4)
T
,
min
20%
,
.
10.16. Для рынка издвух активов спараметрами:
0,2 0,2
(0,1; 0,2)
µ=
T
V
=
,
−
−
0,2 0,4
найти уравнение минимальной границы.
22
Ответ:
100 28 2σ = µ − µ+
10.17. Для рынка издвух активов спараметрами:
0,2 0,2
(0,1; 0,2)
µ=
T
V
=
,
−
−
0,2 0,4
найти портфель минимального риска среди портфелей
сдоходностью неменее 30% иего риск.
Ответ:
242
X =
min
(0,2; 0,8)
T
,
min
44,72%σ=
.
10.18. Для рынка издвух активов спараметрами:
16,24%µ=
−
0,5θ=
10θ=
µ=
2,304886 0,1µ= σ+
µ= µ= µ= σ= σ= ρ =
σ=
0,2 0,2
(0,1; 0,2)
µ=
T
V
=
,
−
−
0,2 0,4
найти портфель максимальной доходности среди портфелей сриском неболее 30% иего ожидаемую доходность.
Ответ:
(0,376; 0,624)
X =
T
,
.
10.19. Для рынка издвух активов спараметрами:
(0,1; 0,2)
µ=
T
,
V
=
0,2 0,2
0,2 0,4
−
найти портфель снаибольшей полезностью при заданном
коэффициенте неприятия риска: а)
Ответ: а)
X =
(0,4; 0,6)
T
; б)
X =
(0,59; 0,41)
; б)
.
T
10.20. Для рынка сбезрисковым активом
рисковыми активами
0,1; 0,4; 0,8; 0,2; 0,4; 0µ= µ= µ= σ= σ= ρ =
0 1 2 1 2 12
A
1
и
A
с параметрами:
2
A
идвумя
0
най-
дите: а) касательный портфель, б) риск касательного
портфеля, в)доходность касательного портфеля, г)уравнение эффективной границы, д)портфель минимального
0,3
риска сзаданной доходностью
z
, е)риск портфеля
минимального риска.
и
T
, б)0,194096,
,
T
, е)0,086772.
A
идвумя
0
A
с параметрами:
2
най-
Ответ: а)
(0,6315794; 0,368421)
в)0,547358, г)
(0,552941; 0,282353; 0,164706)
д)
10.21. Для рынка с безрисковым активом
рисковыми активами
0,1; 0,4; 0,8; 0,2; 0,4; 0
0 1 2 1 2 12
A
1
дите: а)портфель максимальной доходности среди портфелей
сриском неболее
Ответ: а)
(0,484790; 0,325396; 0,189814)
0,1
z
иб)доходность этого портфеля.
T
,
б)0,330489
243
Глава 11.
МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
Модель CAPM
Рассмотрим одну изсамых известных теорий рынка
капитала — модель оценивания финансовых активов
(Capital Asset Pricing Model— CAPM).
Основные предположения модели CAPM
Все инвесторы имеют дело содним и тем же совершенным рынком.
На таком рынке инвесторы влюбой момент времени
одинаково информированы осостоянии рынка. Все инвесторы одинаково оценивают рынок, исходя из вектора
ожидаемых доходностей и ковариационной матрицы.
Нарынке имеется безрисковый актив с фиксированной
доходностью. Все инвесторы ведут себя рационально, то
есть все они выбирают оптимальные портфели. Инвесторы
могут занимать длинные икороткие позиции любой величины полюбым активам. Активы неограниченно делимы,
то есть веса активов могут принимать любые вещественные значения.
Уравнение линии рынка капитала
Основной вывод модели CAPM состоит втом, что оптимальный портфель любого инвестора является линейной
комбинацией всего двух фиксированных портфелей: безрискового икасательного (рискового)портфелей. Эффективная граница модели Тобина называется эффектив-
244
ной линией рынка или линией рынка капитала (Capital
(; )σµ
,0
µ
σ
µ
MTM
Market Line— CML).
Линия рынка капитала наплоскости
является
лучом, проходящим через оценки безрискового и касательного портфелей. Ее уравнение имеет вид:
где
µ=µ + σ σ≥
µ −µ
0
и
T
— ожидаемая доходность и риск касатель-
T
0
T
σ
T
,
ного портфеля,
— доходность безрискового портфеля.
0
Риc.11.1. Линия рынка капитала (луч
)
1
Рыночный портфель
При выполнении всех условий модели CAPM, доли
рисковых активов в портфелях всех инвесторов будут
равны долям рисковых активов всовокупной стоимости
рисковых активов нарынке. Касательный портфель обладает тем же свойством: доля каждого актива касательного
портфеля равна рыночной доле этого актива. Поэтому
касательный портфель называется также рыночным
портфелем.
245
µ
D
или
σ
(; )σµ
,0
µ −µ
µ −µ
µ −µ
µ−µ = σ
X
µ
MM
X
,
M
2
σ
,
M
Мы будем обозначать рыночный портфель через
X
его рисковую часть через
через
, его дисперсию (вариацию)через
M
астандартное отклонение (риск)через
, его ожидаемую доходность
M
. Вэтих обозна-
M
M
чениях уравнение эффективной линии рынка (линии
рынка капитала), на которой лежат оценки
всех
эффективных портфелей, имеет вид:
0
Коэффициент
риска, величина
µ=µ + σ σ≥
σ
M
0
σ
M
0M
называется рыночной ценой
σ
M
0M
σ
, равная
M
. (11.1)
µ−µ
, то есть превы-
0
шению доходности портфеля над безрисковой доходностью, называется премией за риск. Разность
µ −µ
0M
называется рыночной премией. Уравнение эффективной
линии рынка утверждает, что премия зариск эффективного портфеля пропорциональна рыночной премии:
Если рыночный портфель
ожидаемая доходность
σ
(рыночный риск), то оптимальный портфель можно
M
представить ввиде линейной комбинации безрискового
X
ирыночного
0
246
µ −µ
0
0
M
σ
. (11.2)
M
Оптимальные портфели вмодели CAPM
задан иизвестны его
M
(рыночная доходность)ириск
M
X
портфелей:
M
X xX xX= +
00
. (11.3)
Искомый портфель X фактически является двумер-
(; )
MM
(; )
µ
MM z
µ = µ+ µ =µ
+=
MM z
µ+ µ =µ
Mz
µ+ − µ =µ
00
MM
xx
µ −µ µ −µ
Mz
MM z
µ+ µ =µ
+=
ным портфелем
X xx=
0
T
вмодели Тобина спараме-
M
трами:
( ; ) ; 0; 0;
T
0 00 01 10 11
V VV Vµ= µ µ = = = =σ
2
. (11.4)
Оптимальный портфель сзаданной доходностью
µ
z
Предположим, что инвестору необходимо сформировать оптимальный портфель
доходностью
. Тогда доходность портфеля должна быть
z
X xx=
0
T
с требуемой
M
равна:
()
Xx x
00
. (11.5)
Так как должно также выполняться основное портфельное ограничение:
xx
01M
, то искомый оптималь-
ный портфель является решением системы
xx
00
+=
xx
0
1
M
xx
xx
(1 )
00 0
= −
1
M
0
Решая эту систему, находим:
Mz z
= =
0
µ −µ µ −µ
;
M
0
. (11.6)
Пример
Безрисковая ставка равна 5%, рыночная ожидаемая
доходность равна 15%. Найти оптимальный портфель
12%
сдоходностью
µ=
z
Решение
0,05; 0,15; 0,12
µ= µ = µ=
0
xx
00
+=
xx
0
1
M
0,05 0,15 0,12
xx
0
+=
xx
0
M
M
1
247
00
0,05 0,15(1 ) 0,12
xx
− =− = =−=− =
TT
σ
(; )
2 22 2 2 22
M M MM MM
MM
σ= σ
MM z
σ = σ=σ
M M MM M
x x xx x
= = ≥=− ≤
00
zz
MM
MM
x xx x
σσ
=− ≥=+ ≤
σσ
zz
MM
σσ
µ = µ+ µ = − µ+ µ =
σσ
MM
zz
MM
σσ
µ = µ+ µ = + µ− µ =
σσ
MM
σ
xx
0,1 0,03; 0,3; 1 1 0,3 0,7
∗
X xx
+ −=
= −
1
M
x x xx
= =
0
00 0
( ; ) (0,3; 0,7)
0
M
M
Оптимальный портфель сриском, небольшим
заданного значения
z
Так как
X xx=
0
T
M
() 2
X x xx x xσ = σ + ρ σσ + σ = σ
или
Так как поусловию:
σσ σ
zz z
; при 0; при 0
σσ σ
MM M
0σ=
, то для двумерного портфеля
0
, согласно формуле (10.30), следует, что:
0 0 0 01 0
()
Xx
()
Xx
. (11.7)
1 при 0; 1 при 0
() 1
Xx x
00 0
MM M
σ
() 1
=µ + µ −µ ≥
Xx x
00 0
z
00
( )
σ
M
MM M
при 0
x
=µ+ µ−µ ≤
z
00
( )
σ
M
при 0
x
, то
(11.8)
(11.9)
(11.10)
(11.11)
248
Так как инвестор при заданном риске выберет порт-
µ <µ
12%
σ=
5% 0,05; 15% 0,15;
µ= = µ = =
µ ≥µ
=−=− =
TT
0θ>
() () ()
θ
фель с наибольшей доходностью, то
µ ≥µ
, то есть если рыночная доходность нениже доход-
0M
xσ= −
0
σ
M
, если
z
1
ности безрискового актива (типичный случай).
Если
, то
0M
0
. Этот случай реализуется
σ
M
z
1
xσ= +
нападающем рынке, когда ожидается снижение цен большинства обращающихся нарынке активов.
Пример
Безрисковая ставка равна 5%, рыночная ожидаемая
доходность равна 15%, арыночный риск, выраженный
стандартным отклонением доходности, равен 20%. Найти
оптимальный портфель сриском невыше
z
Решение
0
20% 0,2; 12% 0,12
σ = = σ= =
Mz
Так как
1 1 0,4 0,6
xx
M
∗
X xx
= =
0
( ; ) (0,4 ; 0,6)
0
M
M
xσ=−=− =−=
, то
0M
0
z
1 1 1 0,6 0,4
σ
M
0,12
0,20
Оптимальный портфель снаибольшей полезностью
В этом случае инвестор характеризуется индивидуальным коэффициентом неприятия риска
функция полезности имеет вид:
UX X X
=µ −σ
2
2
и его
(11.12)
249
Обозначим оптимальный портфель через
(; )
0 00
M MM M M
X xx xµ =µ − + µ =µ + µ −µ
2 22
MM
σ=σ
22
2
M M M MM
θ
()
()0; ()0
MM
′ ′′
() 0
() 0
MM
(; )
00
22
MM
MM
MM
µ −µ µ −µ
15%; 20%
MM
µ= σ=
0
6% 0,06; 15% 0,15; 20% 0,2; 5
MM
µ = = µ = = σ = = θ=
Так как
X xx=
T
.
M
0
( ) (1 ) ( )
()
Xx
и
() ( ) ( )
UX Ux x x
= =µ + µ −µ − σ
00
Найдем точку максимума функции
, то
Ux
. (11.13)
. Вточке
M
максимума должны выполняться соотношения:
Ux U x
= <
. Приравниваем к нулю первую
производную:
′
Ux x
=µ −µ −θ σ =
M M MM
0
2
(11.14)
и проверяем отрицательность второй производной:
Ux′′=− θσ <
2
.
Решая уравнение (11.4)и используя основное портфельное ограничение, находим веса рисковой ибезриско-
вой компонент оптимального портфеля
X xx=
T
M
0
снаибольшей полезностью:
x xx
= =−=−
θσ θσ
; 11
0
. (11.15)
Пример
Доходность безрискового актива равна 6%. Рыночный портфель имеет параметры:
Найти оптимальный портфель для инвестора, коэффици-
ент неприятия риска которого равен 5. Найти ожидаемую
доходность ириск оптимального портфеля.
Решение
250
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]