Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
сначислением m раз вгоду, снепрерывным начислением
m →∞
R
i
{(0; 0), (1; ), (2; ), ... , ( ; )}CF R R n R=
0; 1; 2; ... ;kn=
(
).
Ренты с конечным числом платежей называются
конечными или ограниченными.
Ренты сбесконечным числом платежей называются
бесконечными или вечными.
Если члены ренты одинаковые, то рента называется
постоянной, аесли члены ренты меняются поопределенному правилу, то рента называется переменной.
Если платежи осуществляются в конце периодов
ренты, то такие ренты называются обыкновенными или
постнумерандо.
Если платежи осуществляются в начале периодов
ренты, то такие ренты называются авансированными или
пренумерандо.
Ренты, имеющие ввыбранной временной шкале единичный период, конечный срок ипостоянные платежи,
называются стандартными рентами.
Например, конечная годовая постоянная рента является стандартной рентой вгодовой временной шкале.
Ренты всхеме сложных процентов
Далее мы будем рассматривать постоянные ренты
сежегодными платежами величиной
всхеме сложных
процентов сноминальной годовой процентной ставкой
.
ГОДОВЫЕ РЕНТЫ
Годовая конечная рента постнумерандо сежегодным
начислением процентов
Годовая конечная рента постнумерандо сежегодным
начислением процентов описывается финансовым потоком:
где
— номер года.
,
91
Сумма членов ренты, приведенная кмоменту начала
0t =
A
A
ARi Ri Ri
−− −
=++++++
1
bR i
qi
A
bq
nn
ii
ii
−−
=+= =
11
nn
ii
RR
ii
−−
+−
i
S
12
nn
SRi Ri R
−−
= + + + ++
ренты, то есть кмоменту
величиной (стоимостью)ренты
Современная величина
, называется современной
.
рассматриваемой ренты
равна:
12
(1 ) (1 ) ... (1 )
n
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом
1
−
(1 )
= +
.
= +
Вычисляя современную стоимость
и знаменателем
ренты пофор-
1
−
(1 )
муле
n
(1 )
−
1
S
=
n
1
, (8.1)
q
−
получим:
1 (1 ) 1 (1 )
−+ −+
1
AR i R
−
(1 )
= =
−+
1 (1 )
1 (1 ) 1 (1 )
−+ −+
1
−
i
+ −+
(1 ) 1 (1 )
( )
1
−
.
Таким образом, современная стоимость A рассматриваемой ренты равна:
1 (1 )ni
AR
−+
=
−
. (8.2)
Сумма членов ренты, приведенная кмоменту окончания ренты, называется наращенной величиной (стоимостью)ренты
. Для рассматриваемой ренты наращенная
стоимость равна:
(1 ) (1 ) ...
92
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
1
bR
(1 )qi= +
n nn
i ii
SRRR
ii i
−+ −+ + −
+−
SA i
−−
грессии спервым членом
=
изнаменателем
.
Следовательно,
1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1
= = =
−+ −
1 (1 )
Таким образом, наращенная стоимость S ренты
равна:
n
(1 ) 1
=
SR
i
. (8.3)
i
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
= +
(1 )
AS i
= +
(8.4)
n
−
. (8.5)
n
(1 )
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер
годового платежа 6 млн руб. На поступившие взносы
начисляются проценты по ставке 10% годовых. Найти
современную инаращенную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
0,1
5
руб.
n
−
(1 ) 1 (1 0,1) 1
i
SR
= = =
+− + −
6000 000 36630 600
i
Современная величина фонда равна:
n
(1 ) 36630600(1 0,1) 22774720,62
AS i
=+= + =
5
руб.
93
Годовая конечная рента постнумерандо сначислением
11
=+−
i
+−
i
11
11
+−
+−
11
mn
−
+−
процентов m раз вгоду
В этом случае эффективная годовая процентная
ставка равна:
m
i
'
эфф
где
— номинальная годовая процентная ставка.
m
i
,
Наращенная исовременная величины рассматриваемой ренты равны:
i
эфф
i
эфф
i
эфф
i
n
эфф
;
n
−
.
(1 ) 1
=
SR
m
1 (1 )
AR
=
m
−+
через
ную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
94
Подставляя вэти формулы вместо
i
ее выражение
эфф
иm, получаем искомые выражения.
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
m
=
SR
m
i
. (8.6)
m
m
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
m
i
m
i
. (8.7)
m
11
AR
=
m
−+
Справедливы соотношения, связывающие современ-
mn
−−
{(0; ), (1; ), (2; ), ... , ( 1; ), ( ; 0)}CF R R R n R n= −
0; 1; 2; ... ;kn=
i
1
= +
SA
mm
= +
AS
mm
m
i
1
m
−
;
mn
.
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер
годового платежа 6млн руб. Напоступившие взносы ежемесячно начисляются проценты пономинальной годовой
процентной ставке 10%. Найти современную инаращенную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
11 11
+− +−
m
SR
= = =
m
11 1 1
m
i
+− + −
m
6000 000 36975839,61
0,1
12
0,1
12
60
12
руб.
Современная величина фонда равна:
mn
i
=+= + =
AS
mm
1 36975839,82 1 22473 493,61
m
0,1
12
60
руб.
Годовая конечная рента пренумерандо сежегодным
начислением процентов
Годовая конечная рента пренумерандо с ежегодным
начислением процентов описывается финансовым потоком:
где
— номер года.
,
95
Современная величина
A
11
1
bR
qi
A
nn n
ii i
AR R R i
−− −
A
AR i
i
SRiRi Ri
=+++ +++
bR i= +
(1 )qi= +
nn n
ii i
SRiRiRi
ii i
= + = += +
S
SR i
i
равна:
ARRi Ri
=+++++
рассматриваемой ренты
− −+
(1 ) ... (1 )
n
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической про-
=
грессии спервым членом
Вычисляя современную стоимость
изнаменателем
ренты пофор-
муле (8.1),
получим:
1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )
Таким образом, современная стоимость
−+ −+ −+
= = = +
1 (1 )
−+
1
−
i
1
1
−
i
1
+
(1 )
i
рассматри-
ваемой ренты равна:
n
1 (1 )
(1 ) (1 ) ... (1 )
−+
= +
nn
−
i
(1 )
. (8.8)
1
−
.
Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом
(1 )
1
и знаменателем
.
Следовательно,
1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
−+ −+ + −
−+ −
1 (1 )
(1 )
= +
1
−
.
.
Таким образом, наращенная стоимость
рассматри-
ваемой ренты равна:
n
(1 ) 1
i
96
= +
+−
(1 )
. (8.9)
Справедливы соотношения, связывающие современ-
SA i
S iS
A iA
5
(1 ) 1 (1 0,1) 1
(1 ) 6000000 (1 0,1) 40 293660
0,1
n
i
SR i
i
−
+− + −
= += + =
−−
ную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
= +
(1 )
AS i
= +
(8.10)
n
−
(8.11)
n
(1 )
и соотношения, связывающие современные инаращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
(1 )
= +
(1 )
= +
(8.12)
(8.13)
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты пренумерандо втечение 5лет. Размер годового платежа 6млн руб. Напоступившие взносы начисляются проценты поставке 10% годовых. Найти современную инаращенную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
руб.
Современная величина фонда равна:
n
(1 ) 40 293660(1 0,1) 25019192,68
AS i
=+= + =
5
руб.
Годовая конечная рента пренумерандо сначислением
процентов m раз вгоду
Наращенная исовременная величины ренты равны:
SR i
(1 ) 1
= +
m эфф
n
i
+−
эфф
i
эфф
(1 )
;
97
n
i
11
=+−
i
11
i
эфф
i
эфф
−
(1 )
1 (1 )
AR i
m эфф
−+
= +
.
Подставляя вэти формулы вместо
через
где
иm:
m
i
'
эфф
i
m
— номинальная годовая процентная ставка, полу-
i
ее выражение
эфф
,
чаем искомые выражения.
Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
i
+−
m
SR
= +
m
11
m
i
+−
m
1
m
i
. (8.14)
m
Современная величина рассматриваемой ренты равна:
mn
−
i
11
−+
m
= +
AR
m
m
i
11
+−
m
1
m
i
. (8.15)
m
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты
mn
= +
SA
mm
= +
AS
mm
i
1
m
i
1
m
(8.16)
mn
−
(8.17)
и соотношения, связывающие современные инаращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
98
m
= +=
60
0,1
1 40847693,43 1 24826762,06
12
mn
mm
i
AS
m
−−
=+= +=
= +
SS
mm
= +
AA
mm
i
1
1
(8.18)
m
m
i
(8.19)
m
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты пренумерандо в течение 5 лет. Размер
годового платежа 6млн руб. Напоступившие взносы ежемесячно начисляются проценты пономинальной годовой
процентной ставке 10%. Найти современную инаращенную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
mn
i
11
+−
m
SR
= +=
m
11
6000 000 1 40847693,43
m
i
+−
m
0,1
11
+−
12
0,1
11
+−
12
1
60
12
m
i
m
12
0,1
12
руб.
Современная величина фонда равна:
руб.
Нахождение срока ренты
Если известны параметры R иi годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
99
наращенная втечение целого числа лет величина S, тогда
n
i
+−
n
Si
Si
80000000R =
0,09i =
601186676,20S =
++
R
A
срок ренты
находится изуравнения:
n
(1 ) 1
=
SR
i
.
Найдем
n
(1 ) 1
iR+ −=; (1 ) 1
изэтого уравнения.
n
iR+=+; ln(1 ) ln 1
ln 1
n
=
Si
+
ln (1 )
+
R
i
ni
+= +
Si
R
. (8.101)
;
Пример
Фонд создавался с помощью одинаковых платежей
80млн руб., поступавших вконце каждого года. Напоступавшие суммы начислялись проценты поставке 9% сложных годовых. Наращенная величина фонда оказалась
равной 601186676,20руб. Сколько лет создавался фонд?
Решение
По условию, фонд создавался с помощью годовой
ренты постнумерандо сежегодным начислением процентов. Параметры ренты:
щенная величина ренты
руб.,
руб.
. Нара-
Срок ренты равен:
ln 1 ln 1
n
= = =
Si б ·
++
R
ln(1 ) ln(1 0,09)
i
601186676 20 0,09
80000000
6
лет.
Если известны параметры
иi годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
современная величина
, тогда срок ренты n находится
изуравнения:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]