Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

М.Н. ИВЛИЕВ, Л.А. КОРОБОВА, К.В. ЧЕКУДАЕВ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2019

1

УДК 33:519.8 (075) ББК У292-18я7

И25

Научный редактор профессор Д.С. САЙКО

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра математического обеспечения ЭВМ Воронежского государственного университета;

к.т.н. В.К. ГОЛИКОВ (Центральный филиал Российского государственного

университета правосудия)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

Ивлиев, М.Н.

И25 Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач [Текст]: учебное пособие / М.Н. Ивлиев, Л.А. Коробова, К.В. Чекудаев; Воронеж. гос. ун-т инж. технол. – Воронеж: ВГУИТ, 2019.- 91 с.

ISBN 978-5-00032-444-8

Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями ООП подготовки обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» и предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплины «Финансовая математика. Методы и модели в экономике» цикла Б1. В пособии приведены теоретические сведения о методах количественного финансового анализа и статистическом моделировании линейной многоотраслевой экономики, а также рассмотрены возможности применения приемов финансовой математики к решению примеров, иллюстрирующих основные методы начисления процентов и дисконтирования разовых выплат.

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Наращение и дисконтирование по простой процентной ставке….5 Задания для самостоятельного выполнения…………………...7

2.Контур финансовой операции. …………...………………………….11

Задания для самостоятельного выполнения………………….14

3.Банковский учет векселей………………………………………...….17

Задания для самостоятельного выполнения………………….18

4.Наращение и дисконтирование по сложным процентам………...22 Задания для самостоятельного выполнения………………….23

5.Эквивалентность процентных ставок………………………..……..26 Задания для самостоятельного выполнения………………….28

6.Расчет валового выпуска продуктов по заданному

конечному спросу на основе данных о технологических возможностях………………………………………………………….......31

Задания для самостоятельного выполнения………………….32

7.Расчет конечного спроса на продукты по заданному валовому выпуску на основе данных о технологических

возможностях……………………………………………..……………….40

Задания для самостоятельного выполнения………………….41

8.Расчет цен продуктов по заданным добавленным стоимостям

на единицу выпуска по данным о технологических возможностях……………………………………....49

Задания для самостоятельного выполнения………………….50

9.Расчет добавленных стоимостей на единицу выпуска продуктов по заданным ценам на основе данных о

технологических возможностях………………………………………...58 Задания для самостоятельного выполнения………………….59

10.Формирование неразложимой технологической матрицы……..66 Задания для самостоятельного выполнения………………….67

11.Формирование технологической матрицы при наличии изолированного множества отраслей………………………………….67

Задания для самостоятельного выполнения………………….69

3

12.Проверка технологической матрицы на неразложимость……...70 Задания для самостоятельного выполнения………………….72

13.Формирование неразложимой технологической матрицы

для продуктивной модели Леонтьева…………………………...……..78 Задания для самостоятельного выполнения………………….79

14. Проверка неразложимой технологической матрицы на продуктивность модели Леонтьева………………………………...81

Задания для самостоятельного выполнения………………….84

15.Расчет полных затрат в модели Леонтьева…………………….....87 Задания для самостоятельного выполнения…………………88

16.Расчет валового выпуска продуктов по заданному

конечному спросу на основе матрицы полных затрат……………...89 Задания для самостоятельного выполнения…………………90

Библиографический список…...………………………………………..91

4

1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ

Наращение по простым процентам означает, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга. Обычно используются при выдаче краткосрочных ссуд или когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

Формула наращенной суммы:

где I – проценты за весь срок ссуды; P – первоначальная сумма долга; S – наращенная сумма, или сумма в конце срока; i – ставка наращения; n – срок ссуды.

Причем если срок выражен в годах, то n=n, если срок

выражен в месяцах (например, t мес.), то n = t , если же срок

12

выражен в днях, то n = t , где t – количество дней, а К – вре-

K

менная база (число дней в году). K может быть равным 360 дням (тогда получают обыкновенные или коммерческие проценты), 365 дням, 366 дням (точные проценты).

Дисконтирование по простой процентной ставке – процесс, обратный наращению по простым процентам. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i:

Установленная таким путем величина P называется современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.

5

промежуток времени следует положить суммуP под простые проценты i, чтобы получить в конечном итоге сумму S. Или же необходимо найти проценты, под которые необходимо положить P, чтобы через срок, равный n, получить S.

Типовые примеры

Пример 1. Заемщик получил кредит на 6 мес. под 80 % годовых (процентная ставка простая) с условием вернуть 2 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

Решение. Очевидно требуется определить, сколько стоят 2 тыс. р., полученные через 6 мес. сегодня, то есть найти современную стоимость кредита. Применив операцию дисконтирования, получим

Дисконт по формуле (1.3) равен

D = 2000 -1428,57 = 571,43 р.

Пример 2. На какой срок необходимо вложить 1 тыс. р. в банк, чтобы получить 1,4 тыс. р. Годовая простая процентная ставка равна 15 %.

Решение. Из формулы (1.1) выразим n. Получим

Пример 3. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 10 тыс. р. через 46 дней. Первоначальная сумма долга – 9 тыс. р. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой простой -про центной ставки.

6

Решение. Из формулы (1.1)

Пример 4. Какую сумму должен внести инвестор сегодня под простые проценты, чтобы накопить 20 тыс. р.: а) за 6 мес.; б) за 2 года; в) за 1000 дней?

Решение. Учитывая, что срок выражен в месяцах, воспользовавшись формулой (1.2), получим

Задания для самостоятельного выполнения

1. Заемщик получил кредит на 6 мес. под 80 % годовых (используется простая процентная ставка) с условием вернуть 3 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

2.На какой срок необходимо вложить 1 тыс. р. в банк, чтобы получить 1,4 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 15 %.

3.В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 10 млн р. через 46 дней. Первоначальная сумма долга – 9 млн р. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой простой процентной ставки и простой учетной ставки(К=360). Определить доходности, если срок погашения через 20 дней, 60 дней?

7

4. Какую сумму должен внести инвестор сегодня под простые проценты, чтобы накопить 20 тыс. р.: а) за 6 мес.; б) за

2года; в) за 1000 дней? Процентная ставка равна 20 %.

5.Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на10 %. Требуется определить коэффициент наращения за 2,5 года.

6.Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 40 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на15 %. Требуется определить коэффициент наращения за 3 года.

7.Заемщик получил кредит на 12 мес. под 20 % годовых

(используется простая процентная ставка) с условием вернуть 4 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

8.На какой срок необходимо вложить 2 тыс. р. в банк, чтобы получить 2,5 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 25 %.

9.В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 15 млн. р. через 46 дней. Первоначальная сумма долга – 12 млн. р. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой простой процентной ставки и простой учетной ставки(К=360). Определить доходности, если

срок погашения через 20 дней, 60 дней?

ния простых процентов: за первый год – 40 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на5 %. Требуется определить коэффициент наращения за 2 года.

8

13. Заемщик получил кредит на 8 мес. под 15 % годовых

ставки и простой учетной ставки(К=360). Определить доходности, если срок погашения через 30 дней, 6 мес

15. Заемщик получил кредит на 5 мес. под 45 % годовых (используется простая процентная ставка) с условием вернуть 5 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

16.На какой срок необходимо вложить 1 тыс. р. в банк, чтобы получить 2 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 35 %.

17.Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 30 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на15 %. Требуется определить коэффициент наращения за 3 года.

18.На какой срок необходимо вложить 2,5 тыс. р. в банк, чтобы получить 3,4 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 15 %.

19.Заемщик получил кредит на 6 мес. под 65 % годовых

(используется простая процентная ставка) с условием вернуть 5 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

20.На какой срок необходимо вложить 1 тыс. р. в банк, чтобы получить 1,5 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 20 %.

21.Какую сумму должен внести инвестор сегодня под

простые проценты, чтобы накопить 40 тыс. р.: а) за 6 мес.; б) за 2 года; в) за 1200 дней? Процентная ставка равна 20 %.

9

22.Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 40 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на10 %. Требуется определить коэффициент наращения за 4 года.

23.Заемщик получил кредит на 6 мес. под 45 % годовых

(используется простая процентная ставка) с условием вернуть 12 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

24. Какую сумму должен внести инвестор сегодня под простые проценты, чтобы накопить 30 тыс. р.: а) за 3 мес.; б) за 2 года; в) за 900 дней? Процентная ставка равна 20 %.

25.На какой срок необходимо вложить 7 тыс. р. в банк, чтобы получить 8 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 35 %?

26.Какую сумму должен внести инвестор сегодня под

простые проценты, чтобы накопить 500$: а) за 6 мес.; б) за 2 года; в) за 1000 дней? Процентная ставка равна 20 %.

27.Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 34 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на10 %. Требуется определить коэффициент наращения за 4 года.

28.В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 10 тыс. р. через 40 дней. Первоначальная сумма долга – 9 тыс. р. Необходимо определить доходность ссудной

операции для кредитора в виде годовой простой процентной ставки и простой учетной ставки(К=360). Определить доходности, если срок погашения через 20 дней, 60 дней.

29.На какой срок необходимо вложить 34 тыс. р. в банк, чтобы получить 36 тыс. р.? Годовая процентная ставка (простая) равна 25 %.

30.Заемщик получил кредит на 6 мес. под 40 % годовых

(используется простая процентная ставка) с условием вернуть 3 тыс. р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

10