Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

6. РАСЧЕТ ВАЛОВОГО ВЫПУСКА ПРОДУКТОВ ПО ЗАДАННОМУ КОНЕЧНОМУ СПРОСУ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ О ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ

Пусть задан конечный спрос на каждыйi-й продукт yi ³ 0 ,

Требуется найти валовой выпуск каждогоi-го продукта xi ,

i = 1, n , необходимый для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

Для решения задачи необходимо составить и решить следующую систему n линейных алгебраических уравнений сn пе-

ременными xi , i = 1, n :

n

xi = yi + å aijxj , i = 1, n . j=1

Эта система уравнений представляет собой одну из форм записи системы уравнений натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Типовой пример

Пример. Задано количество отраслейn = 2 , конечный спрос на первый продукт y1 = 5 , конечный спрос на второй продукт y2 = 9 , элементы технологической матрицыa11 = 0,1 , a12 = 0, 2 , a21 = 0,3 , a22 = 0,4 . Требуется найти валовой выпуск первого продукта x1 и валовой выпуск второго продукта x2 , необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на оба продукта.

31

Решение. Для решения данной задачи составим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

x1, x2 :

ìíx1 = 5 + 0,1x1 + 0,2x2, îx2 = 9 + 0,3x1 + 0,4x2.

После упрощения этой системы уравнений получим

ì0,9x1 - 0,2x2 = 5,

í

î-0,3x1 + 0,6x2 = 9.

В результате решения этой системы уравнений окончательно имеем: x1 = 10 , x2 = 20 .

Задания для самостоятельного выполнения

1. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен 2, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 7, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 19. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

2. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

- валовой выпуск в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

32

- насколько (в %) возрастет валовой выпуск в целом по экономике, если изменятся прямые затраты на единицу продук-

ции: а21 – с 0,25 до 0,3; а22 с 0,35 до 0,4?

3. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) изменится валовой выпуск в целом по экономике, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,35 до 0,3; а12 - с 0,55 до 0,5?

4. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и конечном спросе по каждой отрасли Yi представлены следующим образом:

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-повышение экономической эффективности производства (по показателю затратоёмкости ВВП), если прямые затраты пер-

вой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

5. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен4, конечный спрос на продукт

33

второй отрасли равен 10, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 22. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

6. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) возрастет валовой выпуск в целом по экономике, если изменятся прямые затраты на единицу продук-

ции: а21 – с 0,43 до 0,48; а22 - с 0,33 до 0,38?

7. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) изменится валовой выпуск в целом по

34

экономике, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,26 до 0,21; а12 - с 0,31 до 0,26?

8. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициен-

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-повышение экономической эффективности производства (по показателю затратоёмкости ВВП), если прямые затраты пер-

вой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 14 %.

9. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен 3, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 9, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 16. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

10. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

35

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) возрастет валовой выпуск в целом по экономике, если изменятся прямые затраты на единицу продук-

ции: а21 – с 0,21 до 0,27; а22 - с 0,39 до 0,43?

11. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффици-

енты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) изменится валовой выпуск в целом по экономике, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,27 до 0,2; а12 - с 0,48 до 0,44?

12. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и конечном спросе по каждой отрасли Yi имеют вид:

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-повышение экономической эффективности производства, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

36

13. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен 12, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 18, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 26. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

14. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) возрастет валовой выпуск в целом по экономике, если изменятся прямые затраты на единицу продук-

ции: а21 – с 0,17 до 0,21; а22 - с 0,28 до 0,33?

15. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

37

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) изменится валовой выпуск в целом по экономике, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,17 до 0,14; а12 - с 0,28 до 0,24?

16. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффици-

ентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и конечном спросе по каждой отрасли Yi имеют вид:

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-повышение экономической эффективности производства (по показателю затратоёмкости ВВП), если прямые затраты пер-

вой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 18 %.

17. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен2, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 7, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 19. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

38

18. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) возрастет валовой выпуск в целом по экономике, если изменятся прямые затраты на единицу продук-

ции: а21 – с 0,35 до 0,42; а22 - с 0,45 до 0,52?

19. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Конечный спрос по каждому сектору составляет Yi.

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) изменится валовой выпуск в целом по экономике, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,14 до 0,1; а12 - с 0,34 до 0,3?

20. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и конечном спросе по каждой отрасли Yi имеют вид:

39

Требуется определить:

-валовой выпуск по экономике в целом (Х1+Х2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-повышение экономической эффективности производства (по показателю затратоёмкости ВВП), если прямые затраты пер-

вой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 26 %.

7.РАСЧЕТ КОНЕЧНОГО СПРОСА НА ПРОДУКТЫ

ПО ЗАДАННОМУ ВАЛОВОМУ ВЫПУСКУ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ

О ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ

Пусть задан валовой выпуск каждогоi-го продукта xi ³ 0 ,

i = 1, n . Известна также технологическая матрица(матрица прямых затрат) A. Требуется найти конечный спрос на каждыйi-й продукт yi , i = 1, n , удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

Конечный спрос на произвольныйi-й продукт yi , i = 1, n вычисляется по формуле

n

yi = xi - å aijxj . j=1

Совокупность n таких формул для всех i = 1, n представляет собой одну из форм записи системы уравнений натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Типовой пример

Пример. Задано количество отраслей n = 2 , валовой выпуск первого продукта x1 = 10 , валовой выпуск второго продукта x2 = 20 , элементы технологической матрицы a11 = 0,1 , a12 = 0, 2 ,

40