Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

2.КОНТУР ФИНАНСОВОЙ ОПЕРАЦИИ

Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности удобно пояснить на графике. Пусть сумма в размереD0 выдана на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа: R1 и R2, а в конце срока выплачивается остаток задолженности в сумме R3 (рис. 2.1, а).

(в силу начисления процентов) до величины D1. В конце этого периода в счет погашения задолженности выплачивается сумма R1, долг уменьшается до K1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммыR3. В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Полученный график (рис. 2.1, б) называется контуром финансовой операции.

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, то есть последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности.

Краткосрочные обязательства погашаются иногда с помощью последовательности частичных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Одним из методов решения этой задачи является актуарный метод. Этот метод применяется в основном в операциях со сроком более одного года. Актуарный метод предполагает последо-

11

вательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу. В дальнейшем мы будем выплачивать суммы, большие начисленных процентов. В дальнейшем мы будем выплачивать платежи, большие начисляемых процентов.

Для случая, показанного на рис. 2.1, справедливы следующие расчетные формулы:

K1 = D0 ×(1 + t1×i) - R1; K2 = K1×(1 + t2 ×i)- R2; K2 ×(1 + t3 ×i )- R 3 = 0.

Типовой пример

Пример. Требуется погасить долг в сумме15000 р. Срок ссуды с 12.03.2017 по 12.09.2018 г. Проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых. Кредитор согласен получать частичные платежи по предложенному вами плану. Составьте этот план так, чтобы он полностью погасил долг, причем число платежей должно равняться 4. Нарисуйте контур финансовой операции.

Решение. Для начала следует выбрать даты внесения частичных платежей. Пусть они будут следующими (табл. 2.1):

Таблица 2.1

(Дата окончания договора)

12

Далее составим таблицу погашения (табл. 2.2):

Таким образом, схематически контур финансовой операции можно представить в следующем виде (рис. 2.2).

13

Рис. 2.2. Контур финансовой операции для четырех платежей

Задания для самостоятельного выполнения

Составьте план погашения долга частичными платежами с помощью актуарного метода, нарисуйте контур финансовой операции.

1.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 февраля 2018 г. по12 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

2.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 июня 2017 г. по 1 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

3.Сумма долга равна 200000 р., число платежей - 5, срок ссуды: с 1 января 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

4.Сумма долга равна 200000 р., число платежей – 4, срок ссуды: с 1 мая 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

5.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 12 апреля 2018 г. по 1 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

6.Сумма долга равна 150000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 января по 12 августа 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

14

7.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 июня 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

8.Сумма долга равна 500000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 июня 2017 г. по 12 мая 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

9.Сумма долга равна 700000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 12 июня 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 15 % годовых.

10.Сумма долга равна 800000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 12 июня 2016 г. по 12 января 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 15 % годовых.

11.Сумма долга равна1300000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 января 2018 г. по 12 августа 2018 г. проценты начисляются по простой процентной ставке 25 % годовых.

12.Сумма долга равна 500000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 июня 2017 г. по 20 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

13.Сумма долга равна 950000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 7 января 2018 г. по 12 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 22 % годовых.

14.Сумма долга равна1700000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 12 апреля по 1 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

15.Сумма долга равна1000000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 апреля 2017 г. по 1 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 15 % годовых.

16.Сумма долга равна 180000 р., число платежей - 5, срок ссуды с 1 января 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 12 % годовых.

17.Сумма долга равна1100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 12 апреля 2018 г. по 1 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

18.Сумма долга равна1050000 р., число платежей - 4, срок ссуды с 1 мая 2017 г. по 1 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

15

19.Сумма долга равна 110000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 февраля 2018 г. по 12 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 24 % годовых.

20.Сумма долга равна 600000 р., число платежей - 5, срок ссуды: с 1 января 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

21.Сумма долга равна 200000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 мая 2018 г. по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

22.Сумма долга равна1500000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 апреля 2018 г. по 1 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

23.Сумма долга равна 10000 $, число платежей - 3, срок ссуды: с 1 февраля 2018 г. по 12 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

24.Сумма долга равна 200000 р., число платежей - 5, срок ссуды: с 1 июня 2017 г. по 1 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 25 % годовых.

25.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 1 февраля 2018 г. по 1 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

26.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 июня 2017 г. по 12 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

27.Сумма долга равна 10000 $, число платежей - 4, срок ссуды: с 12 марта 2018 г. по 1 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 10 % годовых.

28.Сумма долга равна 200000 р., число платежей - 4, срок ссуды: с 19 января 2018 г по 12 декабря 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

29.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 1 марта 2017 г. по 1 декабря 2017 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

30.Сумма долга равна 100000 р., число платежей - 3, срок ссуды: с 15 февраля 2018 г. по 12 ноября 2018 г., проценты начисляются по простой процентной ставке 20 % годовых.

16

3. БАНКОВСКИЙ УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, то есть покупает (учитывает) его с дисконтом (то есть со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного срока. При учете векселя применяется банковский учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконтаначисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d. Размер дисконта или суммы учета равен S·n·d; если d – годовая ставка, то n измеряется в годах. Та-

ким образом

Типовые примеры

Пример 1. Определить номинальную стоимость векселя, если при учете за 20 дней до наступления срока владелец векселя получил 200 $ по простой учетной ставке 15 %. Определить сумму дисконта.

Решение. Из (*) получим

Дисконт D = S - P = 201,68-200=1,68 $.

Пример 2. При какой простой учетной ставке владелец векселя получит вместо 100 $ - 96 $, если операция учета производится за 5 дней до наступления срока.

17

Задания для самостоятельного выполнения

1. За сколько дней до наступления срока необходимо учесть вексель, чтобы получить 200 $, если номинальная стоимость векселя – 220 $, простая учетная ставка – 18 %.

2. Пусть номинальная стоимость векселя составляет 200 $. Срок векселя - 60 дней, проценты по векселю - 11 % в год (проценты простые). Предположим, владелец векселя решил учесть вексель в банке за 29 дней до наступления срока по простой учетной ставке9,5 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

3.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.02.18) равную 15000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.09.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывал-

ся 12.07.18.

4.При какой простой учетной ставке владелец векселя получит вместо 200 $ - 190 $, если операция учета производится за 36 дней до наступления срока.

5.Определить номинальную стоимость векселя, если при учете за 20 дней до наступления срока владелец векселя получил 200 $ по простой учетной ставке15 %. Определить сумму дисконта.

6.При какой простой учетной ставке владелец векселя получит вместо 350 $ - 345 $, если операция учета производится за 10 дней до наступления срока.

7.Пусть на первоначальную сумму долга(сумма была взята 01.01.18), равную 15000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=18 %. Долг должен погаситься12.09.18.

18

Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если простая учетная ставка равна 15 %, а долг учитывался 12.08.18.

8.При какой простой учетной ставке владелец векселя

простые).

10.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.01.18) равную 10000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.10.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывал-

ся 12.09.18.

11.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.03.17) равную 25000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.11.17. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывал-

ся 20.10.18.

12.При какой простой учетной ставке владелец векселя получит вместо 100 $ - 95$, если операция учета производится за 20 дней до наступления срока.

13.За сколько дней до наступления срока необходимо учесть вексель, чтобы получить 455 $, если номинальная стоимость векселя – 450 $, простая учетная ставка – 23 %.

14.Определить номинальную стоимость векселя, если при учете за 20 дней до наступления срока владелец векселя получил 500 $ по простой учетной ставке15 %. Определить сумму дисконта.

19

по простой учетной ставке9,5 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

16.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 1.02.18) равную 25000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.09.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 23 %, а долг учитывался 12.08.18.

17.Определить номинальную стоимость векселя, если при учете за 16 дней до наступления срока владелец векселя получил 200 $ по простой учетной ставке25 %. Определить сумму дисконта.

18.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 04.01.18) равную 14000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.09.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывался 12.07.18.

19.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 11.02.18) равную 17000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=17 %. Долг должен погаситься12.10.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывался 12.09.18.

20.Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.02.18) равную 45000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.10.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывался 01.10.18.

21.Определить номинальную стоимость векселя, если при учете за 10 дней до наступления срока владелец векселя получил 200 $ по простой учетной ставке15 %. Определить сумму дисконта.

20