Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

- насколько (в %) возрастет цена первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,17 до

0,21; а22 - с 0,28 до 0,33?

3. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта -со ставляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) изменится цена второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,17 до

0,14; а12 - с 0,28 до 0,24?

4. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат(матрица размерности 2∙2) и добавленных

стоимостях на единицу выпуска каждого продуктаnj представлены в таблице:

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-изменение цены первого и второго продукта (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

5. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна12, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй от-

51

расли равна 6, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна 11. Задана технологическая матрица

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

6. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта -со ставляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет цена первого продукта, если

изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,21 до

0,27; а22 - с 0,39 до 0,43?

7. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. До-

бавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта

составляет nj.

Требуется определить:

- цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

52

- насколько (в %) изменится цена второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,14

до 0,1; а12 -с 0,34 до 0,3?

8. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат(матрица размерности 2∙2) и добавленных стоимостях на единицу выпуска каждого продуктаnj представлены в таблице:

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-изменение цены первого и второго продукта (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 14 %.

9. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна7, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй отрасли равна 16, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна 24. Задана технологическая матрица

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

10. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта составляет nj.

53

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет цена первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,43 до

0,48; а22 - с 0,33 до 0,38?

11. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта

составляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) изменится цена второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,27 до

0,2; а12 - с 0,48 до 0,44?

12. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат(матрица размерности 2∙2) и добавленных

стоимостях на единицу выпуска каждого продуктаnj представлены в таблице:

Требуется определить:

- цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

54

- повышение цены первого и второго продукта (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

13. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна4, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй отрасли равна 8, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна 13. Задана технологическая матрица

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

14. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта составляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет цена первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,35 до

0,42; а22 - с 0,45 до 0,52?

15. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта

составляет nj.

55

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) изменится цена второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,26 до

0,21; а12 - с 0,31 до 0,26?

16. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат(матрица размерности 2∙2) и добавленных

стоимостях на единицу выпуска каждого продуктаnj представлены в таблице:

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-изменение цены первого и второго продукта (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 26 %.

17. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна9, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй отрасли равна 14, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна23. Задана технологическая матрица

56

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

18. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта составляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет цена первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,25 до

0,3; а22 - с 0,35 до 0,4?

19. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта составляет nj.

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-насколько (в %) изменится цена второго продукта, если

прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,35 до

0,3; а12 - с 0,55 до 0,5?

20. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффици-

ентах прямых затрат(матрица размерности 2∙2) и добавленных стоимостях на единицу выпуска каждого продуктаnj представлены в таблице.

57

Требуется определить:

-цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

-изменение цены первого и второго продукта (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 18 %.

9.РАСЧЕТ ДОБАВЛЕННЫХ СТОИМОСТЕЙ НА ЕДИНИЦУ ВЫПУСКА ПРОДУКТОВ

ПО ЗАДАННЫМ ЦЕНАМ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ О ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ

Пусть задана цена каждогоj-го продукта pj ³ 0 , j = 1, n .

Известна также технологическая матрица(матрица прямых затрат) A. Требуется найти добавленную стоимость на единицу вы-

пуска каждого j-го продукта vj , j = 1, n , обеспечиваемую задан-

ными ценами всех продуктов.

Добавленная стоимость на единицу выпуска произвольного

j-го продукта vj , j =1,n вычисляется по формуле

n

vj = pj - å aij pi . i=1

Совокупность n таких формул для всех j =1,n представляет собой одну из форм записи системы уравнений стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Типовой пример

Пример. Задано количество отраслейn = 2 , цена первого продукта p1 = 10 , цена второго продукта p2 = 20 , элементы тех-

58

нологической матрицы a11 = 0,1 , a12 = 0, 2 , a21 = 0,3 , a22 = 0,4 . Требуется найти добавленную стоимость на единицу выпуска первого продукта v1 и добавленную стоимость на единицу выпуска второго продукта v2 , обеспечиваемые заданными ценами обоих продуктов.

Решение. Найдем величину v1 из соответствующего (пер-

вого) равенства для стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

v1 = p1 - a11 p1 - a21 p2 = 10 - 0,1×10 - 0,3×20 = 3 .

Аналогично найдем величину v2 из второго равенства для стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

v2 = p2 - a12 p1 - a22 p2 = 20 - 0, 2 ×10 - 0, 4 ×20 = 10 .

Задания для самостоятельного выполнения

1. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Цена первого продукта равна 41, цена второго продукта равна 27, а цена третьего продукта равна 17. Задана матрица прямых затрат:

Требуется найти добавленную стоимость на единицу -вы пуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

2. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

59

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет добавленная стоимость первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции:

а21 – с 0,43 до 0,48; а22 - с 0,33 до 0,38?

3. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) изменится добавленная стоимость второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,26 до 0,21; а12 - с 0,31 до 0,26?

4. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициен-

тах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-изменение добавленных стоимостей (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

5. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Цена первого продукта равна 70, цена второго продукта равна 60, а цена третьего

60