Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

нулей нет, поэтому технологическая матрица неразложима. Пример 2. Проверить на неразложимость технологиче-

скую матрицу

Решение. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоят два нуля ( a31 = a32 = 0 ), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверим наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы. Для этого рассмотрим две подматрицы в левом нижнем углу

является неразложимой, а подмножество отраслей S = {1,2} явля-

ется изолированным.

Пример 3. проверить на неразложимость технологическую

Решение. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоит один нуль( a21 = 0 ), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей. В левом нижнем углу технологической матрицы стоит ненулевой элемент a31 = 0,1, поэтому любая подматрица, стоящая в левом нижнем углу, не может быть нуле-

71

вой. Тем самым, проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости опять остается открытым. Используем определение неразложимости технологической матрицы. Для этого проверим на изолированность сначала первую отрасль. Так как a11 > 0 , a31 > 0 , то первая отрасль напрямую использует продук-

цию свою и третьей отрасли. Но a21 = 0 , то есть первая отрасль напрямую не использует продукцию второй отрасли. Однако a23 > 0 , то есть третья отрасль напрямую использует продукцию второй отрасли. А так как при этом первая отрасль напрямую использует продукцию третьей отрасли, то эта первая отрасль косвенно использует продукцию второй отрасли. Таким образом, первая отрасль использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Аналогично проверим на изолированность вторую отрасль. Она использует напрямую продукцию первой отрасли ( a12 > 0 ) и третьей отрасли

( a32 > 0 ), а также косвенно свою продукцию, поскольку ее при

этом напрямую использует третья отрасль. Таким образом, вторая отрасль тоже использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Третья отрасль не является изолированной, так как напрямую использует

продукцию всех отраслей ( a13 > 0 , a23 > 0 , a33 > 0 ). Итак, ни одна из отраслей не является изолированной, а значит, технологическая матрица является неразложимой.

Задания для самостоятельного выполнения

1.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с десятью отраслями, все элементы которой равны 0,01.

2.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

72

кость секторов, i = 0,2 . Является ли матрица A неразложимой?

3. Производственная система экономики состоит из -че тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

4.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с шестью отраслями, все элементы которой равны 0,015.

5.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

73

где ai > 0 – материалоемкость секторов, bi > 0 – капиталоем-

кость секторов, i = 0,2 . Является ли матрица A неразложимой?

6. Производственная система экономики состоит из -че тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

7.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с восемью отраслями, все элементы которой равны 0,012.

8.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда,

74

потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

10.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с пятью отраслями, все элементы которой равны 0,02.

11.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

кость секторов, i = 0,2 . Является ли матрица A неразложимой?

12. Производственная система экономики состоит из -че тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

75

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

13.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с семью отраслями, все элементы которой равны 0,016.

14.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

кость секторов, i = 0,2 . Является ли матрица A неразложимой?

15. Производственная система экономики состоит из -че тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

76

где li > 0 – трудоемкость единицы продукцииi-го сектора,

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

16.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с шестью отраслями, все элементы которой равны 0,018.

17.Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

кость секторов, i = 0,2 . Является ли матрица A неразложимой?

18. Производственная система экономики состоит из -че тырех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления, третий - сектор труда (домашние хозяйства). Тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

i = 0,2 ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли

матрица A% неразложимой?

77

19.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с пятью отраслями, все элементы которой равны 0,021.

20.Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с семью отраслями, все элементы которой равны 0,019.

13.ФОРМИРОВАНИЕ НЕРАЗЛОЖИМОЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ ПРОДУКТИВНОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Для формирования неразложимой технологической матрицы для продуктивной модели Леонтьева необходимо опираться на способ решения задачи формирования неразложимой технологической матрицы. Дополнительно используется достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Каждая строка технологической матрицы формируется одинаковым образом отдельно от других строк поэлементно в порядке возрастания номера столбца. При этом очередной j-й элемент aij данной i-й строки определяется по

условию

j-1

0 < aij <1- å aik .

k =1

Типовой пример

Пример. Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями.

78

стейшем частном случае они совпадут с первой. Итак, имеем:

Задания для самостоятельного выполнения

1.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой.

2.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой.

3.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с шестью отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой.

4.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой и каждый элемент должен отличаться от другого на 0,1.

5.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой и каждый элемент должен отличаться от другого на 0,07.

6.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой и каждый элемент должен отличаться от другого на 0,08.

7.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с шестью отраслями. Все элементы этой матрицы должны

79

различаться между собой и каждый элемент должен отличаться от другого на 0,11.

8.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой и каждый элемент должен отличаться от другого на 0,09

9.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями, причем 3 элемента этой матрицы должны иметь значение 0,2.

10.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями, причем 5 элементов этой матрицы должны иметь значение 0,12.

11.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с шестью отраслями, причем 4 элемента этой матрицы должны иметь значение 0,15.

12.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями, причем 3 элемента этой матрицы должны иметь значение 0,09.

13.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями. Первый и четвертый столбцы матрицы должны совпадать.

14.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями. Первый и третий столбцы матрицы должны совпадать.

15.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с шестью отраслями. Второй и пятый столбцы матрицы должны совпадать.

80