Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

продукта равна 70. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти добавленную стоимость на единицу -вы пуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

6. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет добавленная стоимость первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции:

а21 – с 0,21 до 0,27; а22 - с 0,39 до 0,43?

7. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) изменится добавленная стоимость второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,35 до 0,3; а12 - с 0,55 до 0,5?

61

8. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-изменение добавленных стоимостей (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 18 %.

9. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Цена первого продукта равна 27, цена второго продукта равна 46, а цена третьего продукта равна 30. Задана матрица прямых затрат:

Требуется найти добавленную стоимость на единицу -вы пуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

10. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

- добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

62

- насколько (в %) возрастет добавленная стоимость первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции:

а21 – с 0,17 до 0,21; а22 - с 0,28 до 0,33?

11. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) изменится добавленная стоимость второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,27 до 0,2; а12 -с 0,48 до 0,44?

12. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-изменение добавленных стоимостей (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 26 %.

13. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Цена первого

продукта равна 13, цена второго продукта равна29, а цена третьего продукта равна 17. Задана матрица прямых затрат:

63

Требуется найти добавленную стоимость на единицу -вы пуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

14. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет добавленная стоимость первого продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции:

а21 – с 0,25 до 0,3; а22 - с 0,35 до 0,4?

15. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) изменится добавленная стоимость второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сокра-

тятся: а11 – с 0,17 до 0,14; а12 - с 0,28 до 0,24?

64

16. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-изменение добавленных стоимостей (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

17. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Цена первого

Требуется найти добавленную стоимость на единицу -вы пуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

18. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) возрастет добавленная стоимость первого

65

продукта, если изменятся прямые затраты на единицу продукции:

а21 – с 0,35 до 0,42; а22 - с 0,45 до 0,52?

19. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2·2. Цена каждого продукта равна pj.

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-насколько (в %) изменится добавленная стоимость второго продукта, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,14 до 0,1; а12 - с 0,34 домики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-добавленную стоимость на единицу выпуска всех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов;

-изменение добавленных стоимостей (в %), если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 14 %.

10.ФОРМИРОВАНИЕ НЕРАЗЛОЖИМОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ

Неразложимость технологической матрицы означает, что каждая отрасль хотя бы косвенно использует продукцию всех отраслей. Для решения задачи используется достаточное условие

66

неразложимости технологической матрицы:

aii ³ 0, aij ³ 0, i = 1, n, j = 1, n, i ¹ j , (вне главной диагонали технологической матрицы элементы только положительны).

Типовой пример

Пример. Привести пример неразложимой технологической матрицы A = (aij ) для экономической системы из трех отраслей.

Решение. Наличие трех отраслей означает, n = 3 , i = 1,3,

j = 1,3 . В силу достаточного условия неразложимости технологической матрицы имеем:

a11 ³ 0, a12 ³ 0, a13 ³ 0, a21 ³ 0, a22 ³ 0, a23 ³ 0, a31 ³ 0, a32 ³ 0, a33 ³ 0.

В качестве примера можно взять

a11 = 0, a12 = 0,1, a13 = 0,2, a21 = 0,3, a22 = 0, a23 = 0,4, a31 = 0,5, a32 = 0,6, a33 = 0.

В итоге получаем

Задания для самостоятельного выполнения

Привести пример неразложимой технологическойматрицы A для экономической системы с n отраслями (n – номер варианта).

11. ФОРМИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПРИ НАЛИЧИИ ИЗОЛИРОВАННОГО

МНОЖЕСТВА ОТРАСЛЕЙ

Если хотя бы одна отрасль даже косвенно не использует продукцию хотя бы одной другой отличной от нее отрасли, то

67

такая технологическая матрица не является неразложимой. Обо-

i Î S = N \ S , j Î S . Это означает, что отрасли S не нуждаются в

товарах, производимых другими отраслями S , хотя, может быть и передают им свои товары. Если перенумеровать отрасли так, чтобы первыми располагались k отраслей S, то матрица A примет следующий вид:

где A1 – квадратная матрица с размерами k ´ k , отвечающая отраслям S; A3 – квадратная матрица с размерами (n - k) × (n - k) ,

соответствующая отраслям S .

Типовой пример

Пример. Привести пример технологической матрицы A для экономической системы из пяти отраслей при наличии двух изолированных отраслей.

Решение. Наличие пяти отраслей экономической системы означает, что n = 5 . Поэтому множество номеров всех отраслей имеет вид N = {1,2,3,4,5}. Наличие двух изолированных отраслей означает, что k = 2 . Нумеруя отрасли так, чтобы первыми располагались изолированные отрасли, получим: S = {1,2} – изолиро-

ванное подмножество отраслей, S = N \ S = {3,4,5} – подмножество остальных отраслей. Отраслям S должна отвечать квадрат-

ная матрица A1 с размерами 2 ´ 2 , а отраслям S – квадратная

A3 , все элементы которых равны 0,1:

68

Комбинируя их с нулевой матрицей, окончательно имеем:

Задания для самостоятельного выполнения

Привести пример технологической матрицыA для экономической системы с n отраслями при наличии m изолированных отраслей (значения n и m выбираются из таблицы по вариантам).

69

12. ПРОВЕРКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ НА НЕРАЗЛОЖИМОСТЬ

Для проверки заданной технологической матрицы на - не разложимость сначала нужно проверить выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Если вне главной диагонали технологической матрицы нет нулей, то она неразложима. В противном случае вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее нужно проверить выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверить наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы.

Если хотя бы одна из (n -1) подматриц размера (n - k) × k ,

k = 1,n -1 , стоящих в левом нижнем углу технологической матрицы размера n ´ n , является нулевой, то технологическая матрица не является неразложимой, а соответствующее подмножество отраслей S = {1,2,K, k} является изолированным. Если доста-

точное условие наличия изолированных отраслей тоже не выполняется, то используется определение неразложимости технологической матрицы. Если найдется хотя бы одна отрасль, которая даже косвенно не использует продукцию всех отраслей (изолированная отрасль), то технологическая матрица не является неразложимой, в противном же случае является.

Типовые примеры

Пример 1. Проверить на неразложимость технологическую матрицу

Решение. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Хотя на ее главной диагонали стоят два нуля( a11 = a22 = 0 ), вне главной диагонали

70