Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

учесть вексель в банке за 19 дней до наступления срока по простой учетной ставке9,5 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

учесть вексель в банке за 7 дней до наступления срока по простой учетной ставке 9 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

учесть вексель в банке за 20 дней до наступления срока по простой учетной ставке9,5 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

28. Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.02.18) равную 15000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.09.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывал-

ся 20.08.18.

29. Пусть номинальная стоимость векселя составляет 200 $. Срок векселя - 80 дней, проценты по векселю - 11 % в год (проценты простые). Предположим, владелец векселя решил учесть вексель в банке за 10 дней до наступления срока

21

по простой учетной ставке9,5 %. Выяснить, по какой цене его купит банк.

30. Пусть на первоначальную сумму долга(которая была взята 01.02.18) равную 45000 р. начисляются проценты по ставке простых процентов i=15 %. Долг должен погаситься12.09.18. Нужно определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете, если учетная ставка равна 20 %, а долг учитывал-

ся 12.07.18.

4. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ

В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу, а присоединяются к сумме долга, для наращения применяются сложные проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом выплат. Формула для расчета наращенной суммы в конце n-го года при условии, что проценты начисляются раз в году, имеет вид:

S = P ×(1 + i)n .

Если проценты начисляются m раз в год, то формула наращения примет следующий вид:

где j – номинальная процентная ставка.

Эффективная процентная ставка – годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j.

Дисконтирование по ставке сложных процентов, когда

22

D = S - P ,

где P – современная стоимость S; D - дисконт.

Типовые примеры

Пример 1. Кредит размером 600 тыс. р. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

Решение. По формуле (*) имеем

S = 600 × (1 + 0,1/12)1×12 = 676,09 $.

Пример 2. Через сколько лет сумма в 500 $ вырастет до 700 $, если проценты начисляются по сложной процентной ставке 40 % годовых в конце каждого квартала?

Решение. Из формулы (*)

0,88·360»318 дней.

Пример 3. Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 14 тыс. р. по ставке 10 % в месяц.

Решение. По формуле (*):

S= 14000 ×(1 + 0,1/12)1,5×12 = 16746,06 р.; I=S-P=16746,06 - 14000=2746,06 р.

Задания для самостоятельного выполнения

1.На срочный вклад в банке зачислено 1000 $ по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,5; 1; 5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

2.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 900 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

3.Кредит размером 600 тыс. р. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

23

4. Найдите современное значение инвестиции, если наращенная к концу пятого года сумма составляет 150 тыс. р. Проценты начисляются по следующим ставкам (проценты сложные): а) 120 % в конце каждого года; б) 60 % в конце каждого полугодия.

5. Через сколько лет сумма в 5000 $ вырастет до 7000 $, если проценты начисляются по сложной процентной ставке: а) 160 % годовых в конце каждого квартала; б) 140 % годовых в конце каждого полугодия?

6.Кредит размером 200 тыс. р. выдан под сложные проценты на 2 год по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

7.Найдите современное значение инвестиции, если наращенная к концу пятого года сумма 250 тыс. р. Проценты начисляются по следующим ставкам (проценты сложные): а) 120 %

вконце каждого года; б) 50 % в конце каждого полугодия.

8.На срочный вклад в банке зачислено 2000 $ по ставке 10 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,5; 1; 5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

9.На срочный вклад в банке зачислено 2000 $ по ставке 12 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,5; 2; 5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

10.Через сколько лет сумма в4000 $ вырастет до 7000 $,

а) 165 % годовых в конце каждого квартала; б) 130 % годовых в конце каждого полугодия?

12. Найдите современное значение инвестиции, если наращенная к концу пятого года сумма составляет 300 тыс. р. Проценты начисляются по следующим ставкам (проценты сложные): а) 130 % в конце каждого года; б) 70 % в конце каждого полугодия.

24

13.На срочный вклад в банке зачислено 5000 $ по ставке 16 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,5; 2; 4 года при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

14.Через сколько лет сумма в6000 $ вырастет до 8500 $,

если проценты начисляются по сложной процентной ставке: а) 150 % годовых в конце каждого квартала; б) 130 % годовых в конце каждого полугодия?

15.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 170 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

16.Кредит размером 700 тыс. р. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 13 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

17.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 190 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

18.Кредит размером 850 тыс. р. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 15 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

19.Кредит размером 100000 р. выдан под сложные проценты на 2 года по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

20.Кредит размером 300 тыс. р. выдан под сложные проценты на 3 года по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

21.Через сколько лет сумма в5000 $ вырастет до 7200 $,

если проценты начисляются по сложной процентной ставке: а) 180 % годовых в конце каждого квартала; б) 140 % годовых в конце каждого полугодия?

22.На срочный вклад в банке зачислено 1000 $ по ставке 16 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,3; 1; 6 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

23.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 120 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

24.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 400 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

25

25.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 180 тыс. р. по ставке 3 % в месяц.

26.На срочный вклад в банке зачислено 4000 $ по ставке 16 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0,5; 1; 5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.

27.Через сколько лет сумма в6500 $ вырастет до 7000 $,

если проценты начисляются по сложной процентной ставке: а) 6 % годовых в конце каждого квартала; б) 14 % годовых в конце каждого полугодия?

28.Кредит размером 100 тыс. р. выдан под сложные проценты на 2 год по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

29.Найдите сложные проценты за полтора года, начисленные на 170 тыс. р. по ставке 30 % в квартал.

30.Кредит размером 600 тыс. р. выдан под сложные проценты на 3 года по ставке 10 % в месяц. Найдите полную сумму долга к концу срока.

5.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Эквивалентность процентных ставок означает, что при замене одной процентной ставки на другую при соответствующих условиях значение финансового результата не изменится.

Эффективная процентная ставка – годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m–разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку черезi. По определению множители наращения по двум видам ставок(эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу.

26

или

В общем случае для нахождения эквивалентной ставки необходимо приравнять соответствующие множители наращения и из этого равенства определить нужную ставку.

Типовые примеры

Пример 1. Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в26 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

Решение. Из формулы (*) получим

j = 12(12 1 + 0,26 -1)»0,23 или 23 %.

Пример 2. Для номинальной ставки20 % с начислением процентов 2 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).

Решение. Обозначим через j номинальную ставку с начислением процентов m раз в год, через j1 номинальную ставку с начислением процентов m1 раз в год.

Приравняем соответствующие множители наращения

В таком случае искомая ставка равна

27

Задания для самостоятельного выполнения

1.Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке50 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

2.Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке150 % при ежемесячном начислении процентов (проценты сложные).

3.Найдите наращенную на 1500 $ сумму, инвестированную на 3 мес. по номинальной ставке 20 % годовых (проценты сложные).

4.Для номинальной ставки 20 % с начислением процентов 2 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).

5.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в26 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

6.Найдите наращенную на 3500 $ сумму, инвестированную на 5 мес. по номинальной ставке 25 % годовых (проценты сложные).

7.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в30 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

8.Найдите наращенную на 4500 $ сумму, инвестированную на 5 мес. по номинальной ставке 20 % годовых (проценты сложные).

9.Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 50 % при ежеквартальном начислении процентов (проценты сложные).

10.Требуется определить номинальную процентную став-

28

эквивалентна номинальной ставке 55 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

11.Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке120 % при ежемесячном начислении процентов (проценты сложные).

12.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в40 %, если начисление процентов происходит ежеквартально (проценты сложные).

13.Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке27 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

14.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в21 %, если начисление процентов происходит ежеквартально (проценты сложные).

15.Для номинальной ставки 30 % с начислением процентов 4 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).

16.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в40 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

17.Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 50 % при ежемесячном начислении процентов (проценты сложные).

18.Найдите наращенную на 1500 $ сумму, инвестированную на 5 мес. по номинальной ставке 36 % годовых (проценты сложные).

19.Найдите наращенную на 4050 $ сумму, инвестированную на 3 месяца по номинальной ставке 20 % годовых (проценты сложные).

20.Найдите наращенную на 3500 $ сумму, инвестированную на 4 месяца по номинальной ставке 19 % годовых (проценты сложные).

21.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в20 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

29

22.Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке67 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

23.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в21 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

24.Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 10 % при ежемесячном начислении процентов (проценты сложные).

25.Для номинальной ставки 30 % с начислением процентов 2 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).

26.Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке54 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

27.Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в21 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).

28.Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке25 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).

29.Для номинальной ставки 20 % с начислением процентов 4 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).

30.Найдите наращенную на 1500 $ сумму, инвестированную на 7 мес. по номинальной ставке 20 % годовых (проценты сложные).

30