Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

16.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Второй и третий столбцы матрицы должны совпадать.

17.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями. Первая и четвертая строки матрицы должны совпадать.

18.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями. Первая и третья строки матрицы должны совпадать.

19.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с шестью отраслями. Вторая и пятая строки матрицы должны совпадать.

20.Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Вторая и третья строки матрицы должны совпадать.

14.ПРОВЕРКА НЕРАЗЛОЖИМОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

МАТРИЦЫ НА ПРОДУКТИВНОСТЬ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Для проверки заданной неразложимой технологической матрицы на продуктивность модели Леонтьева сначала требуется проверить выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей: если сумма ri элементов каждой i-й строки неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

n

ri = å aij £1 , i = 1, n ,

j=1

ихотя бы для одной строки i0 меньше единицы, то есть

81

то модель Леонтьева продуктивна. Кроме того, если сумма qj

элементов каждого j-го столбца неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

n

qj = å aij £1, j = 1, n ,

i=1

ихотя бы для одного столбца j0 меньше единицы, то есть

то модель Леонтьева также продуктивна. Иначе вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения нужно найти все собственные числа технологической матрицы и использовать необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. А именно, модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда все собственные числа технологической матрицы меньше единицы.

Типовые примеры

Пример 1. Проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение. Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем:

r1 = a11 + a12 + a13 = 0,1 + 0,1+ 0,3 = 0,5 < 1 ; r2 = a21 + a22 + a23 = 0,4 + 0, 4 + 0, 2 = 1 ;

r3 = a31 + a32 + a33 = 0, 4 + 0,5 + 0, 3 = 1, 2 > 1 .

82

Так как r3 > 1 , то вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Далее имеем:

q1 = a11 + a21 + a31 = 0,1 + 0, 4 + 0, 4 = 0, 9 < 1 ; q2 = a12 + a22 + a32 = 0,1 + 0, 4 + 0,5 = 1 ;

q3 = a13 + a23 + a33 = 0,3 + 0, 2 + 0,3 = 0,8 < 1 .

Видно, что проверяемое условие выполнено, а значит, модель Леонтьева продуктивна.

Пример 2. Проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение. Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Так как r2 = 1,3 > 1 и q1 = 1, 3 > 1 , то проверяемое условие не выполнено, и вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения найдем оба собственных числа l1 и l2 технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: l1 = 0,9 < 1 , l2 = 0,1 < 1 . Так как оба собственных числа меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна.

Пример 3. Проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение. Так как r1 = 2,1 > 1 и q1 = 4,1 > 1, то достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей не выполнено. Найдем оба собственных числа l1 и l2 технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: l1 = -2,4 < 1 , l2 = 3, 3 > 1. Так как l2 >1 , то модель Леонтьева не является

83

продуктивной. Можно отметить, что полученный ответ задачи легко находится в данном случае и из более наглядных соображений. А именно: чтобы произвести одну единицу первого продукта, необходимо затратить a21 = 4 единицы второго. Но производство каждой такой единицы второго продукта требует затрат

84

5. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij =1 /(i + n -1), i = 1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=5.

6. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

7. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij =1 /(i + n -1), i = 1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=6.

8. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

9. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij =1 /(i + n -1), i = 1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=7.

10. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

85

11. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij =1 /(i + n -1), i = 1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=8.

12. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

13. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij =1 /(i + n -1), i = 1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=9.

14. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

15. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij = 1 /(i + n - 2), i =1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=9.

16. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

86

17. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij = 1 /(i + n - 2), i =1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=8.

18. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

19. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы сn отраслями, у которой технологиче-

ская матрица имеет элементыaij = 1 /(i + n - 2), i =1, n, j =1, n доказать неразложимость этой матрицы n=5.

20. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

15. РАСЧЕТ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ В МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Для отыскания матрицы полных затрат в модели Леонтьева по заданной матрице прямых затрат требуется сначала рассчитать

по формуле матрицу полных затрат A* в модели Леонтьева экономической системы из n отраслей

I - A , а затем произвести обращение этой матрицы для окончательного получения искомой матрицы A* .

87

Задания для самостоятельного выполнения

Матрица прямых затрат экономической системы из трех

отраслей задана своими элементами: a1i,a2i, a3i i = 1,3.

Требуется найти матрицу полных затрат в модели Леонтьева такой экономической системы, выбрав в соответствии с заданным вариантом из таблицы значения элементов a1i,a2i, a3i

88

16. РАСЧЕТ ВАЛОВОГО ВЫПУСКА ПРОДУКТОВ ПО ЗАДАННОМУ КОНЕЧНОМУ СПРОСУ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ

Пусть задан конечный спрос на каждыйi-й продукт yi ³ 0 ,

j = 1, n . Требуется найти валовой выпуск каждогоi-го продукта

xi , i = 1, n , необходимый для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты. Тем самым, требуется найти вектор валового выпуска продуктов x = (xi ) , i = 1, n .

Вматричной форме решение задачи дается равенством

x= A* × y ,

ответственно, элементы матрицы полных затрат в модели Леон-

найти валовые выпуски x1, x2 , x3 первого, второго и третьего

продуктов соответственно, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все три продукта; сформировать вектор валового выпуска продуктов.

Решение. Последовательно найдем искомые величины: x1 = a11* × y1 + a12* × y2 + a13* × y3 = 1×1+ 2 × 2 + 3× 3 = 14 ;

89

x2 = a21* × y1 + a22* × y2 + a23* × y3 = 4×1+ 5× 2 + 6 ×3 = 32 ; x3 = a31* × y1 + a32* × y2 + a33* × y3 = 7 ×1+ 8× 2 + 9 ×3 = 50

æ14 ö

x= çç32÷÷ . çè50÷ø

Задания для самостоятельного выполнения

Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт.

Конечный спрос на продукт первой, второй и третьей отрасли соответственно равен x, y и z. Задана матрица полных затрат в модели Леонтьева данной экономической системы своими

коэффициентами aij*, i = 1,3, j = 1,3 . Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

90