Финансовая математика. Методы и модели в экономике. Сборник задач. Учебное пособие

a21 = 0,3 , a22 = 0,4 . Требуется найти конечный спрос на первый продукт y1 и конечный спрос на второй продукт y2 , удовлетворяемый заданным валовым выпуском обоих продуктов.

Решение. Найдем величину y1 из соответствующего (пер-

вого) равенства для натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

y1 = x1 - a11x1 - a12 x2 = 10 - 0,1×10 - 0,2 ×20 = 5 .

Аналогично найдем величину y2 из второго равенства для натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

y2 = x2 - a21x1 - a22 x2 = 20 - 0, 3×10 - 0, 4 ×20 = 9 .

Задания для самостоятельного выполнения

1. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 40, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 60, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 70. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

2. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

- конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

41

- насколько (в %) возрастет конечный спрос, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,35 до 0,42;

а22 - с 0,45 до 0,52?

3. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,14 до 0,1;

а12 - с 0,34 до 0,3?

4. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-повышение спроса на продукты, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 26 %.

42

5. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 56, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 50, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 62. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

6. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если изменят-

ся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,17 до 0,21;

а22 - с 0,28 до 0,33?

7. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют матрице2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

- конечный спрос на все продукты(Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

43

- насколько (в %) возрастет конечный спрос, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,17 до 0,14;

а12 - с 0,28 до 0,24?

8. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-повышение спроса на продукты, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 18%.

9. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 66, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 77, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 88. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

10. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

44

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если изменят-

ся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,21 до 0,27;

а22 - с 0,39 до 0,43?

11. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,27 до 0,2;

а12 - с 0,48 до 0,44?

12. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-повышение спроса на продукты, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

45

13. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 60, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 50, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 40. Задана технологическая матрица

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

14. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если изменятся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,43 до 0,48;

а22 - с 0,33 до 0,38?

15. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

- конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

46

- насколько (в %) возрастет конечный спрос, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,26 до 0,21;

а12 - с 0,31 до 0,26?

16. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-повышение спроса на продукты, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 14 %.

17. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 40, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 26, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 40. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

18. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

47

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного потребления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если изменят-

ся прямые затраты на единицу продукции: а21 – с 0,25 до 0,3;

а22 - с 0,35 до 0,4?

19. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы 2∙2. Валовой выпуск продукта соответствующей отрасли равен Xi.

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-насколько (в %) возрастет конечный спрос, если прямые затраты на единицу продукции сократятся: а11 – с 0,35 до 0,3;

а12 - с 0,55 до 0,5?

20. Имеются две отрасли экономики. Данные о коэффициентах прямых затрат (матрица размерности 2∙2) и валовом выпуске по каждой отрасли Xi представлены в таблице:

Требуется определить:

-конечный спрос на все продукты (Y1+Y2) и соотношение валового выпуска и ВВП, а также ВВП и промежуточного -по требления;

-повышение спроса на продукты, если прямые затраты первой продукции на производство единицы второй продукции уменьшатся на 20 %.

48

8. РАСЧЕТ ЦЕН ПРОДУКТОВ ПО ЗАДАННЫМ ДОБАВЛЕННЫМ СТОИМОСТЯМ НА ЕДИНИЦУ ВЫПУСКА ПО ДАННЫМ

О ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ

Пусть задана добавленная стоимость на единицу выпуска

добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

Для решения задачи необходимо составить и решить следующую систему n линейных алгебраических уравнений сn пе-

ременными pj , j = 1, n :

n

pj = vj + å aij pi , j = 1, n . i=1

Эта система уравнений представляет собой одну из форм записи системы уравнений стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Типовой пример

Пример. Задано количество отраслей n = 2 , добавленная

a21 = 0,3 , a22 = 0,4 . Требуется найти цену первого продукта p1 и цену второго продукта p2 , обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска обоих продуктов.

Решение. Для решения данной задачи составим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

p1 , p2 :

49

ìí p1 = 3 + 0,1p1 + 0,3 p2 , î p2 = 10 + 0, 2 p1 + 0, 4 p2.

После упрощения этой системы уравнений получим

ì0,9 p1 - 0,3 p2 = 3,

í

î-0,2 p1 + 0,6 p2 = 10.

В результате решения этой системы уравнений окончательно имеем: p1 = 10 , p2 = 20 .

Задания для самостоятельного выполнения

1. Экономическая система состоит из трех отраслей, каждая из которых производит только один продукт. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна5, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй отрасли равна 14, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна 21. Задана технологическая матрица

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

2. Пусть экономика состоит из двух секторов. Коэффициенты прямых затрат соответствуют размерности матрицы2∙2. Добавленная стоимость на единицу выпуска каждого продукта -со ставляет nj.

Требуется определить:

- цены всех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов;

50