Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
P
P
A
10000 000P =
6n =
7%i =
7%i =
Pi
ii
10000 000 0,07
Pi ·
— величина единовременного платежа,
где
t
— момент времени выплаты единовременного пла-
0
(1 )
+
Ai=
(8.90)
t
0
0
тежа,
i
— годовая процентная ставка конверсии,
0
— современная величина ренты.
Пример
Заменить единовременный платеж
2t =
руб., который должен быть выплачен через
0
года,
немедленной годовой рентой постнумерандо сежегодным
начислением процентов. Срок ренты
процентная ставка ренты
ставка конверсии
0
. Найти величину R рентного
. Годовая процентная
лет. Годовая
платежа.
Решение
Современная величина ренты равна:
1 (1 )ni
AR
=
−+
−
.
i
Уравнение эквивалентности имеет вид:
n
−
.
(1 )
+
0
R
=
1 (1 )
−+
Откуда получаем:
R
= = =
(1 ) 1 (1 )
t
0
ii
+ −+
( )
0
руб.
Выкупом рент называется замена нескольких рент
разовым платежом.
−
n
1,07 (1 1, 07 )
Выкуп рент
26
−
1832 437,77
−
141
Уравнение эквивалентности для данного вида конвер-
Aj N
P
1000 000R =
8%i =
5n =
2000000R =
=
P
( )
1
4
1
11 1
1
1 (1 )
1 1, 08
1 1000000 3577096,99
0,08
n
i
AR i
i
−
−
−+
−
= += =
( )
2
5
2
22 2
2
1 (1 )
1 1, 09
1 2 000000 8479 439,75
0,09
n
i
AR i
i
−
−
−+
−
= += =
P
сии имеет вид:
где
, 1; 2; ... ;
=
j
N
A
∑
1
=
j
— современные величины выкупа-
=
j
P
(1 )
+
i
0
(8.91)
t
0
емых рент,
— величина разового платежа,
t
— момент времени выплаты разового платежа,
0
i
— годовая процентная ставка конверсии.
0
Пример
Две годовые ренты пренумерандо сежегодным начис-
лением процентов, параметры которых:
1
9%i
2
руб.,
1
, требуется заменить разовым платежом, который
должен быть выплачен через
;
лет,
2
3t =
0
2
года. Найти величину
1
разового платежа.
Решение
Современные величины выкупаемых рент равны:
4n =
года,
руб.,
руб.
руб.
Сумма современных величин выкупаемых рент равна:
12
12056536,74AA+=
Уравнение эквивалентности имеет вид:
AA
+=
12
142
(1 )
+
руб.
.
t
0
i
0
Откуда получаем:
( )
t
P AA i ·=+ += =
12 0
(1 ) 12056536,74 1,1 16047 250,40
0
3
руб.
Задачи к главе 8
8.1. Фонд создается с помощью ежегодной ренты
постнумерандо втечение 6лет. Размер рентного платежа
10000 000 руб. Проценты начисляются по ставке 10%
годовых. Определите а) наращенную и б)современную
величину фонда.
Ответ: а)77156100руб. б)43552607руб.
8.2. Необходимо втечение 7 лет создать фонд, величина которого наконец срока равна 150000000руб. Проценты начисляются поставке 12% годовых. Определите
величину ежегодных одинаковых платежей, поступающих вконце года.
Ответ: 14 867660, 39руб.
8.3. Текущая задолженность вразмере 180000000руб.
была погашена врассрочку спомощью одинаковых платежей, вносимых 4года подряд вконце каждого года. Проценты начислялись по ставке 9% годовых. Определите
величину каждого платежа.
Ответ: 55560359,18руб.
8.4. Фонд, величина которого наконец срока равна
99644 822,56 руб., создавался с помощью одинаковых
платежей 16000000руб., поступавших вконце каждого
года. На поступавшие взносы начислялись проценты
поставке 11% годовых. Сколько лет понадобилось для
создания фонда?
Ответ: 5лет.
8.5. Текущая задолженность в размере
67688 605,66 руб. погашалась спомощью одинаковых
платежей, поступавших вконце каждого года. Проценты
начислялись поставке 11% годовых. Сколько лет понадобилось для погашения задолженности?
143
Ответ: 6лет.
8.6. Втечение 4лет предполагается создать резервный
фонд вразмере 200000000руб. путем ежегодных платежей вразмене 40000000руб., поступающих вконце года.
Определите приближенное значение годовой процентной
ставки, покоторой должны начисляться проценты.
Ответ: 15,14%.
8.7. Втечение 5 лет предполагается погасить долг
200 000 000 руб. с помощью ежегодных платежей
50000000руб., поступающих вконце года. Определите
приближенное значение годовой процентной ставки,
покоторой должны начисляться проценты.
Ответ: 8,26%.
8.8. Фонд создавался спомощью ренты пренумерандо
сроком 5лет с ежегодными платежами 20 000000 руб.
Напоступавшие взносы начислялись проценты поставке
10% годовых. Определите а)наращенную иб)современную величину фонда.
Ответ: а)134312200руб. б)83397308,93руб.
8.9. Фонд величиной 200 000 000 руб. создается
в течение 5 лет с помощью ежегодной ренты пренумерандо. Проценты начисляются по ставке 10% годовых.
Определите величину ежегодного платежа.
Ответ: 29781360,14руб.
8.10. Текущая задолженность в размере
150000000руб. была погашена врассрочку спомощью
одинаковых платежей, вносимых 5лет подряд вначале
каждого года. Проценты начислялись поставке 10% годовых. Определите величину каждого платежа.
Ответ: 35972 383,74руб.
8.11. Фонд, величина которого наконец срока равна
75 669 274,88 руб. создавался с помощью одинаковых
платежей 15000000 руб., поступавших в начале каждого года. Напоступавшие взносы начислялись проценты
поставке 9,5% годовых. Сколько лет понадобилось для
создания фонда?
Ответ: 4года.
144
8.12. Текущая задолженность вразмере 54479 228,52
руб. погашалась врассрочку спомощью одинаковых платежей, поступавших в начале каждого года. Проценты
начислялись поставке 10,5% годовых. Сколько лет понадобилось для погашения задолженности?
Ответ: 3года.
8.13. Втечение 4лет предполагается создать резервный фонд в размере 200 000 000 руб. путем ежегодных платежей вразмене 40 000000 руб., поступающих
вначале года. Определите приближенное значение годовой процентной ставки, покоторой должны начисляться
проценты.
Ответ: 9,16%.
8.14. В течение 5 лет предполагается погасить
долг 200000 000 руб. спомощью ежегодных платежей
50000000руб., поступающих вначале года. Определите
приближенное значение годовой процентной ставки,
покоторой должны начисляться проценты.
Ответ: 13,82%.
8.15. Фонд создается спомощью ежегодной ренты
постнумерандо в течение 6 лет. Размер рентного платежа 8000000руб. Проценты начисляются ежемесячно
пономинальной ставке 9% годовых. Определите а)наращенную иб)современную величину фонда.
Ответ: а)60767617,27руб. б)35483647,90руб.
8.16. Необходимо втечение 6лет создать фонд, величина которого на конец срока равна 120 000 000 руб.
Проценты начисляются ежеквартально пономинальной
ставке 8% годовых. Определите величину ежегодных одинаковых платежей, поступающих вконце года.
Ответ: 16257 813, 29руб.
8.17. Текущая задолженность в размере
240000000руб. была погашена врассрочку спомощью
одинаковых платежей, вносимых 6лет подряд вконце
каждого года. Проценты начислялись ежемесячно
пономинальной ставке 12% годовых. Определите величину каждого платежа.
145
Ответ: 59506 890,08руб.
8.18. Фонд, величина которого наконец срока равна
75 959 521,58 руб. создавался с помощью одинаковых
платежей 10000000руб., поступавших вконце каждого
года. Напоступавшие взносы ежемесячно начислялись
проценты пономинальной ставке 9% годовых. Сколько
лет понадобилось для создания фонда?
Ответ: 6лет.
8.19. Для годовой ренты пренумерандо определить
а)наращенную иб) современную величину. Срок ренты
9лет. Величина рентного платежа 1 500 000 руб. Проценты начисляются ежеквартально по номинальной
ставке 8% годовых.
Ответ: а)20482433,75руб. б)10040963,20руб.
8.20. Фонд величиной 200 000 000 руб. создается
в течение 5 лет с помощью ежегодной ренты пренумерандо. Проценты начисляются ежеквартально пономинальной ставке 10% годовых. Определите величину ежегодного платежа.
Ответ: 29454 097,55руб.
8.21. Текущая задолженность в размере
150000000руб. была погашена врассрочку спомощью
одинаковых платежей, вносимых 5лет подряд вначале
каждого года. Проценты начислялись ежеквартально
пономинальной ставке 10% годовых. Определите величину каждого платежа.
Ответ: 36197 976,37руб.
8.22. Текущая задолженность вразмере 30816 710,77руб.
погашалась врассрочку с помощью одинаковых платежей,
поступавших вначале каждого года. Проценты начислялись
ежемесячно пономинальной ставке 8% годовых. Сколько лет
понадобилось для погашения задолженности?
Ответ: 8лет.
8.23. Найти размер вклада, обеспечивающего получение вконце каждого года 840000руб. бесконечно долго
при годовой процентной ставке 8%.
Ответ: 10500 000руб.
146
8.24. Каков размер вклада, обеспечивающего получение вконце каждого года 800000руб. бесконечно долго
при номинальной годовой процентной ставке 4% сежеквартальным начислением процентов.
Ответ: 19702 487,51руб.
8.25. Каков размер вклада, обеспечивающего получение вначале каждого года 900000руб. бесконечно долго
при номинальной годовой процентной ставке 6% сежемесячным начислением процентов.
Ответ: 15491 957,35руб.
8.26. Каков размер вклада, обеспечивающего получение вконце каждого года 1 000000руб. бесконечно долго
при номинальной годовой процентной ставке 5% снепрерывным начислением процентов.
Ответ: 15491 957,35руб.
8.27. Каков размер вклада, обеспечивающего получение вначале каждого года 1 000 000руб. бесконечно
долго при номинальной годовой процентной ставке 5%
снепрерывным начислением процентов.
Ответ: 20504 166,50руб.
8.28. Фонд создается в течение 5 лет с помощью
ренты постнумерандо с ежеквартальными взносами 12
000000руб. Проценты начисляются: 1)ежегодно, 2)ежеквартально, 3)ежемесячно, 4)непрерывно. Номинальная
процентная ставка, покоторой начисляются проценты,
равна 8% годовых. Найти: а)наращенную иб)современную величину фонда.
Ответ: 1а)289909315,7руб., 1б)197307408,9руб.,
2а)291 568 437,6 руб., 2б)196 217 200,1 руб., 3а)291
956721,6руб., 3б)195964400,8руб.,
4а)292 153706,8руб., 4б)195836486,2руб.
8.29. Закакое время был создан фонд снаращенной
величиной 116426 928,4руб., если платежи поступали
ввиде ренты постнумерандо сежемесячными взносами
по 1 000 000 руб. Проценты начислялись ежемесячно
пономинальной годовой процент ной ставке 9%.
Ответ: 7лет.
147
8.30. Найдите а)наращенную иб)современную вели-
1
1
1
12p =
=
=
1
1
1
чины непрерывной ренты сежегодным начислением процентов. Срок ренты 5 лет. Величина рентного платежа
1200000руб. Процентная ставка 6% годовых.
Ответ: а)6965476,21руб., б)5205009, 02руб.
8.31. Найдите а) наращенную иб) современную величины непрерывной ренты с ежемесячным начислением
процентов. Срок ренты 8лет. Величина рентного платежа
3000000руб. Номинальная годовая процентная ставка 7%.
Ответ: а)32143092,49руб., б)18390322, 93руб.
8.32. Найдите а) наращенную иб) современную величины непрерывной ренты с непрерывным начислением
процентов. Срок ренты 7лет. Величина рентного платежа
2000000руб. Номинальная годовая процентная ставка 6%.
Ответ: а)17398718,52руб., б)11431772, 67руб.
8.33. Фонд снаращенной величиной 76256026,98руб.
создавался спомощью непрерывной ренты сежегодным
начислением процентов. Величина рентного платежа
была равна 10000 000 руб. Годовая процентная ставка
8%. Сколько лет понадобилось для создания фонда?
Ответ: 6лет.
8.34. Фонд снаращенной величиной 73773704,65руб.
создавался спомощью непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов. Величина рентного платежа
была равна 12000 000 руб. Годовая процентная ставка
8%. Сколько лет понадобилось для создания фонда?
Ответ: 5лет.
8.35. Годовая рента пренумерандо с параметрами
5000000R =
руб.,
срочной рентой постнумерандо с параметрами
10n
лет,
2
ного платежа
10%i
2
R
новой ренты?
2
10n =
лет,
10%i =
, была заменена p—
. Какова величина ежегодного рент-
,
Ответ: 5 262932,68руб.
8.36. Замените годовую ренту постнумерандо спараметрами
2000000R =
руб.,
3n =
года,
10%i =
p- сроч-
148
ной рентой пренумерандо с параметрами
4p =
=
R
3000000R =
3n =
=
=
=
=
4n =
8%i =
=
=
3000000R =
5n =
10%i =
=
=
2,5T =
=
=
2
10%i =
года,
2
платежа
. Определите величину ежегодного рентного
новой ренты.
2
,
4n
2
Ответ: 1477 796,33руб.
8.37. Проведите консолидацию трех годовых рент
5n
лет,
руб.,
1
10%i
2
в одну годовую
года,
4
консолидирован-
,
.
постнумерандо спараметрами:
года,
3
10%i
1
1000 000R =
,
руб.,
2000000R
2
7n =
лет,
3
1
руб.,
3
ренту пренумерандо спараметрами:
Найдите величину рентного платежа
2
10%i =
4
R
4
ной ренты.
Ответ: 5566119,23руб.
8.38. Проведите консолидацию трех годовых рент пренумерандо спараметрами:
10%i =
1
3
,
4000 000R =
2
руб.,
руб.,
3
1
лет,
5000000R
2
3
ренту постнумерандо спараметрами:
Найдите величину рентного платежа
руб.,
4n =
года,
в одну годовую
4n
года,
4
R
консолидирован-
4
3n
года,
1
10%i =
2
4
,
12%i
.
ной ренты.
Ответ: 13213722,12руб.
8.39. Немедленная годовая рента постнумерандо
с параметрами:
1000 000R =
1
заменяется отсроченной на
постнумерандо спараметрами:
руб.,
года годовой рентой
2
вая процентная ставка отсрочки принята равной
Найдите величину рентного платежа
6n
лет,
6n =
лет,
1
8%i
2
R
отсроченной
8%i =
1
. Годо-
8%i =
0
.
ренты.
Ответ: 1212158,44руб.
8.40. Замените единовременный платеж
8 000 000 руб., который должен быть выплачен через
1,5 года, немедленной годовой рентой пренумерандо
сежегодным начислением процентов. Срок ренты 5лет.
Годовая процентная ставка ренты 8%. Годовая процент-
149
ная ставка конверсии 8%. Найдите величину рентного
платежа.
Ответ: 1 652961,84руб.
8.41. Замените две немедленные годовые ренты постнумерандо с параметрами R
= 7%, R2 = 1500 000 руб., n1 = 6 лет, i1 = 7% разо-
i
1
= 1200000 руб., n1 = 5 лет,
1
вым платежом, который должен быть произведен через
2 года. Годовая процентная ставка конверсии 10%. Найдите величину разового платежа.
Ответ: 16335 010,06 руб.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]