Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
22
00
2 22
20
δ δδ
00
= β− µ − −α µ −γ =
= β− βµ+ µ− µ+ µ+ −αγ=
22
4 40
dd
( )/dσ= µ−µ
µ
σ
δ
µ= =− =
22
00 0
=−=
0 0 00
=−=
22
00
()()()()
() ()
βµ αµ−β−γαµ−β αµ−ββµ−γ
=−==
−α µ + β− µ µ+ µ −γ =
d dd
Дискриминант уравнения равен нулю:
δ δδ
44D
d dd
δ δ δ αδ γδ
2 22 2
42
2 44 2 2
d dd d d
2
2 22
22
000 0
2
2
(2 )
δαµ− βµ+γ
2
= β − α γ + = −δ + =
Следовательно, прямая
00
является каса-
0
2
d
δ
.
тельной ккривой графика минимальной границы. Найдем координаты точки касания (доходность
ириск
T
T
касательного портфеля).
2
− β− µ
T
δ
2
d
( 2 )( )
βαµ− βµ+γ−αγ−β µ
αγ−β−αµ− βµ+γ
22 2
αβµ− βµ+βγ−αγµ+βµ
00 0 0 0
2
α γ−β −α µ + αβµ −α γ
2 22
0
2
d
−α
2
22
(2 )
00
2
00
2
d
β −δµ
d
δ−α
0
2
− α µ −β αµ −β
βµ −γ
0
=
αµ −β
.
0
231
Доходность касательного портфеля равна:
γ−βµ
0 0 00 0
()
γ−βµ
σ= = = =
00
dd
d
Tn
AA A
µ
σ
Tn
()
X VI
d
µ −µ
µ −µ
()
XV I
d
µ −µ β−α µ γ−βµ −βµ +α µ
T
T
dd d
µ=
T
0
−µ
2
β−αµ
= =
()
d
β−αµ β−α µ
0
. (10.120)
0
0
β−αµ
.
2
0
Риск касательного портфеля равен:
Портфель
X xx x=
рисковых активов
доходность
ириск
T
σ=
T
β−αµ
(0; ; ; ... ; )
12
; ; ... ;
12
, называется касательным порт-
T
. (10.121)
0
T
, состоящий изn
иимеющий ожидаемую
n
фелем. Рисковая часть касательного портфеля
( ; ; ... ; )
X xx x=
12
T
имеет вид:
0
T
= µ−µ
T
2
1
−
. (10.122)
0
Так как справедливо равенство:
0T
d
=
σ
T
, (10.123)
то выражение для рисковой части касательного портфеля
принимает вид:
σ
T
= µ−µ
T
1
−
0
и уравнение минимальной (эффективной)границы портфеля Тобина принимает вид:
232
(10.124)
0
µ−µ
,0
µ −µ
(; )
TT
µσ
(1 )M pF p T= +−
[0; 1]p ∈
FT
( ; 0)p∈ −∞
0
T
µ= σ+µ σ≥
или
σ
T
σ= σ µ≥µ
µ −µ
T
0
,
T
0
(10.125)
0
. (10.126)
Включение безрискового актива впортфель напрактике отвечает возможности занимать или давать в долг
финансовые ресурсы побезрисковой ставке. Включение
впортфель безрискового актива существенно упрощает
множество эффективных портфелей (риc.5).
Риc.10.9. Множество эффективных портфелей Тобина
Множеством эффективных портфелей является полупрямая
избезрискового актива
T
FM
. Эффективные портфели составляются
1
. Полупрямая
( ; 0)F µ
FM
икасательного портфеля
0
состоит източек:
1
.
Если значения параметра
множеством портфелей является отрезок
, то эффективным
, что соот-
ветствует наличию впортфеле безрисковой бумаги. Если
, то эффективным множеством портфелей
233
является полупрямая
01 21212
2; 4; 7; 2; 5; 0µ= µ= µ= σ= σ= ρ =
µ=
40
2n =
()
X VI
d
µ −µ
TM
, что соответствует заимство-
1
ванию финансовых ресурсов вдолг побезрисковой ставке.
Пример
A
Для рынка сбезрисковым активом
A
A
и
выми активами
1
спараметрами:
2
идвумя риско-
0
найти касатель-
ный портфель иего риск идоходность. Найти эффективную границу. Найти портфель минимального риска
сзаданной доходностью
3
ириск этого портфеля.
z
Решение
Элементы рисковой части ковариационной матрицы
равны:
22
11 1 22 2 12 21 12 1 2
4; 25; 0 2 5 0V V V V ··=σ= =σ= = =ρσσ= =
Рисковая часть ковариационной матрицы равна:
V
=
0 25
.
Обратная матрица равна:
1 / 4 0 0,25 0
1
−
V
= =
0 1 / 25 0 0,04
.
Вектор доходностей рисковых активов равен:
(4; 7)
µ=
Вектор, состоящий из единиц, размерности
равен:
I =
.
T
(1; 1)
Касательный портфель имеет вид:
0
T
= µ−µ
T
234
2
T
.
1
−
.
0
Параметры α, β γ, δ иd равны:
α= = =
β= µ= =
γ=µ µ= =
=αµ−βµ+γ= − + =
γ −βµ
0,25 0 1
1
T
−
IV I · ·
0,25
1 1 0,25 0,04 0,29
= =+=
22
22 2
d · ··
·
( )
0,04
1
T
−
IV · ·
1 1 1 0,28 1,28
= =+=
T
= =+=
·
( )
0.28
1
−
V·
( )
( )
1 0,28 4 1,96 5,96
0,29 5,96 1,28 1,7284 1,6384 0,09·δ=αγ−β = − = − =
2 0,29 2 2 1,28 2 5,96
00
=−+=
1,16 5,12 5,96 2.
11
( )
0 0,04 1
0,25 0 4
11
( )
0 0,04 7
1
0,25 0 4
47
0 0,04 7
4
7
2 1,414213562d = =
Ожидаемая доходность ириск касательного портфеля
равны:
5,96 1,28 2 5,96 2,56 3,4 34
µ= = = = = =
T
β−αµ − −
Касательный портфель равен:
0
1,28 0,29 2 1,28 0,58 0,7 7
0
σ= = = =
T
β−αµ
·
−−
·
0,7 7
0
2 10 2
d·
2,020305
.
4,857143
235
;
0,25 0 2
X VI · ·
µ −µ
= µ−µ = =
(; )σµ
µ −µ
( 0)σ≥
1,414214 2; 0µ= σ+ σ≥
X VI· ·
µ −µ
= −µ = =
z
( ) ( )
TT
T
T
Уравнение эффективной границы наплоскости
вид:
2
d
10
= = =
7
µ= σ+µ
1
−
()
0
0,5 5 / 7
·
0,2 2 / 7
0
T
σ
T
0
34 / 7 2
2
0,714286 0,285714
( )
или
0
−
0 0,04 5
dµ= σ+µ ,
0
.
Подставляя числовые значения, поучаем уравнение
эффективной границы:
Вектор рисковых долей искомого портфеля равен:
T
.
имеет
0,25 0 4 2
0
z
2
d
1
−
(m )
0,5 0,25
1
= = =
·
0,2 0,1
2
0
32
−
2
0 0,04 7 2
0,25 0,1
( )
T
Безрисковая доля искомого портфеля равна:
T
1 1 1 0,25 0,1 0,65
x IX x x=− =−−=− − =
0 12
Портфель Тобина минимального риска с заданной
3
доходностью
µ=
равен:
X xxx= =
012
0,65 0,25 0,1
Риск этого портфеля равен:
µ −µ
z
σ= = = =
d
236
32 2
−
0
2
0,707107
2
−
−
.
.
Портфель Тобина максимальной доходности извсех
σ
µ
22
z
+=
00
µ −µ
z
z
00
µ −µ
σ=σ
µ
портфелей риска неболее заданного значения
( ; ; ... ; )
Требуется найти портфель
X xx x=
01
рый максимизировал бы ожидаемую доходность
T
xXµ=µ +µ →
00
max
n
T
, кото-
z
при условиях:
T
X VXσ = ≤σ
и
T
x IX
0
1
. (10.127)
Решим данную задачу графически. Нариc.6 изобра-
зим эффективную границу портфеля Тобина:
µ= σ+µ µ≥µ
и граничную прямую
T
σ
σ=σ
T
;
. Так как поусловию:
σ≤σ
0
то портфель максимальной доходности, удовлетворяющий этому условию, будет вточке пересечения луча
0
T
µ= σ+µ µ≥µ
σ
T
;
ипрямой
.
z
,
Риc.10.10. Определение максимальной доходности
Таким образом, максимальное значение доходности
µ
равно:
m
портфеля
m
237
0
mz
µ −µ
µ
()
X VI
d
µ −µ
()
XV I
d
00
=αµ−βµ+γ
x IX
A
01 21212
z
11 1 22 2 12 21 12 1 2
40
µ = σ +µ
T
σ
T
(10.128)
0
Зная
можно найти соответствующий рисковый
m
портфель:
m
или
где
2
= µ−µ
m
2d
2
= µ−µ
m
и долю безрискового актива
1
−
σ
1
−
z
(10.129)
0
, (10.130)
0
0
впортфеле Тобина:
0
= −
. (10.131)
m
T
1
Пример
Для рынка сбезрисковым активом
A
A
и
выми активами
1
спараметрами:
2
2; 4; 7; 2; 5; 0µ= µ= µ= σ= σ= ρ =
идвумя риско-
0
найти портфель
максимальной доходности среди портфелей с риском
1
σ=
неболее
идоходность этого портфеля.
Решение
Элементы рисковой части ковариационной матрицы
равны:
22
4; 25; 0 2 5 0V V V V ··=σ= =σ= = =ρσσ= =
Рисковая часть ковариационной матрицы равна:
V
=
0 25
.
Обратная матрица равна:
1 / 4 0 0,25 0
1
−
V
= =
0 1 / 25 0 0,04
238
.
Вектор доходностей рисковых активов равен:
2n =
α
β γ
22
γ −βµ
11
22
= −µ = = =
0 12
1 1 1 0,353553 0,141421 0,505026
T
x IX x x=− =−−=− − =
z
( )
µ=
.
T
(4; 7)
Вектор, состоящий из единиц, размерности
равен:
I =
.
T
(1; 1)
Как показано впредыдущем примере, параметры
, δ иd равны:
1
T
−
IV I
α= =
0,29
T
IV
β= µ=
;
2
0,09δ=αγ−β =
;
1
−
1,28
22
d =αµ−βµ+γ=
γ=µ µ=
;
00
TV−
1
.
Как показано в предыдущем примере, ожидаемая
доходность ириск касательного портфеля равны:
34
µ= = =
T
β−αµ
0
0
7
4,857143
;
,
5,96
0,7 7
0
2 10 2
2,020305
σ= = = =
T
d·
β−αµ
Вектор рисковых долей искомого портфеля равен:
0,25 0 4 2 0,5
σ
z
XV I · · ·
d
1
−
(m )
0,353553
= =
0
0,141421
0 0,04 7 2 0,2
0,353553 0,141421
( )
−
−
Безрисковая доля искомого портфеля равна:
Портфель Тобина максимальной доходности среди
1
портфелей сриском неболее
T
Xxxx= =
012
0,505026 0,353553 0,141421
( )
σ=
равен:
.
T
.
T
.
239
Доходность этого портфеля равна:
µ −µ
39
−
=−−
−
=−−
=
µ=−
µ=
µ=−
−−
2,857143
0
µ = σ +µ = + =
T
mz
σ
T
0
2,020305
·
1 2 3,414214
Задачи к главе 10
10.1. Доходности актива за каждый месяц равны
2,25%. Найдите доходность актива загод.
Ответ: 30,60%
10.2. Доходность актива за год равна 38%. Найдите
доходность актива закаждый месяц этого года при условии ее постоянства.
Ответ: 2,72%
16 3
V
10.3. Дана ковариационная матрица:
=
−
Найдите корреляционную матрицу.
Ответ:
С
1 0,25
=
0,25 1
10.4. Дана ковариационная матрица:
36 21 18
21 49 35
V
18 35 64
−
. Найдите корреляционную матрицу.
.
1 0,5 0,375
Ответ:
C
0,5 1 0,625
0,375 0,625 1
−
10.5. Доли ценных бумаг впортфеле относятся как
: : 2:3:5xxx
123
0,15
1
,
. Ожидаемые доходности бумаг равны:
0,18
2
,
3
0,09 0,01 0,05
матрица имеет вид:
V
0,01 0,16 0,09
= −
18 0,09 0,36
240
0,15
. Ковариационная
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]