Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
1 (1 )ni
i
R
S
n
SR i
i
Ri
R
A
AR i
Ri
AR
=
−+
−
.
Решая это уравнение, находим срок ренты:
Ai
−
ln(1 )
+
R
. (8.102)
i
иi годовой ренты пре-
n
Если известны параметры
ln 1
= −
нумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
наращенная втечение целого числа лет величина
срок ренты
находится изуравнения:
n
(1 ) 1
i
+−
= +
(1 )
.
, тогда
Решая это уравнение, находим:
ln 1
n
=
Si
+
(1 )
+
ln (1 )
+
. (8.103)
i
Если для годовой ренты пренумерандо сежегодным
начислением процентов известны параметры
изначение ее современной величины
, то срок ренты n
иi,
находится изуравнения:
n
1 (1 )
−+
= +
−
i
(1 )
i
.
Решая это уравнение, находим:
Для годовых рент скратным начислением процентов,
сроки рент находятся по формулам (8.101) — (8.104),
ln 1
n
= −
Ai
−
(1 )
+
ln(1 )
+
. (8.104)
i
101
вкоторых вместо годовой процентной ставки i надо под-
S
i
i
+−
i
iS
iR
i
i
23
( 1) ( 1)( 2)
26
nn nn n
− −−
26
ni i
i
i
ставлять соответствующую эффективную годовую про-
i
центную ставку
эфф
.
Нахождение годовой процентной ставки ренты
Если известны параметры R иn годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
наращенная величина
ставка ренты
находится изуравнения:
SR
, тогда годовая процентная
n
(1 ) 1
=
i
.
Найдем приближенное решение этого уравнения.
Сначала преобразуем уравнение так, чтобы его левая
часть была выражена через неизвестную величину
n
(1 ) 1
+−
=
. (8.111)
:
Ограничимся слагаемыми, содержащими степени
небольше третьей:
(8.111)примет вид:
женным значением, получаем квадратное уравнение для
нахождения приближенного (оценочного)значения процентной ставки
102
Разложим двучлен
(1 )ni+
вряд Тейлора постепеням
, считая i малым параметром посравнению сединицей.
n
(1 ) 1
i ni i i
+ ≈+ + +
.
Тогда приближенное значение левой части уравнения
n
(1 ) 1 ( 1) ( 1)( 2)
i nn nn n
+− − − −
≈+ +
2
.
Заменяя левую часть уравнения (8.111)его прибли-
:
2
( 1)( 2) ( 1)
62
nn n nn S
R
−− −
+ +− =
8n =
/ 10SR=
( 1)( 2) ( 1)
62
nn n nn S
R
−− −
+ +− =
876 87
62
·· ·
DD
=−− <
6,34%i =
0,63391585i =
/SR
/ 10SR=
i in
0
. (8.112)
Пример
Предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по100млн руб. втечение 8лет создать фонд вразмере 1млрд. руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?
Решение
По условию:
;
.
Найдем приближенное значение годовой процентной
ставки, решая уравнение:
2
i in
0
.
2
ii+ +− =
196 112 308; 308
=+= =
( 14 308) / 56 0i
1
( 14 308) / 56 0,063391585i =−+ =
2
8 10 0
2
28 14 1 0ii+ −=
;
(неподходит);
;
.
Проверка
Подставим найденное значение
висходное уравнение (8.111)инайдем значение
Si
Ri
+− −
= = =
0,063391585
n
(1 ) 1 0,063391585 1
8
10,01876519
:
,
Что хорошо согласуется с заданным значением
.
Если известны параметры R иn годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
современная величина A, тогда годовая процентная
ставка ренты i находится изуравнения:
103
1 (1 )ni
i
iA
iR
i
i
23
( 1) ( 1)( 2)
26
nn nn n
+ ++
26
ni i
i
62
R
++ +
− +− =
5n =
/4AR=
( 1)( 2) ( 1)
nn n nn A
++ +
− +− =
567 56
540
62
·· ·
− +−=
− +=
=
−+
AR
−
или
1 (1 )
−+
n
−
=
(8.113)
Разложим двучлен
(1 )ni−+
вряд Тейлора постепеням
, считая i малым параметром посравнению сединицей.
Ограничимся слагаемыми, содержащими степени
небольше третьей:
n
−
(1 ) 1
i ni i i
+ ≈− + −
.
Тогда приближенное значение левой части уравнения
(8.113)примет вид:
n
1 (1 ) ( 1) ( 1)( 2)
−+ + + +
−
i nn nn n
≈− +
i
2
.
Заменяя левую часть уравнения (8.113)его приближенным значением, получаем квадратное уравнение для
нахождения приближенного (оценочного)значения процентной ставки
nn n nn A
:
( 1)( 2) ( 1)
2
i in
0
. (8.114)
Пример
В течение 5 лет предполагается погасить текущий
долг 2млрд. руб. путем ежегодных взносов 500млн руб.,
производимых вконце каждого года. Определить значение годовой процентной ставки.
Решение
По условию:
;
.
Найдем приближенное значение годовой процентной
ставки, решая уравнение:
2
i in
62
0
.
R
2
ii
104
2
35 15 1 0ii
;
;
225 140 85; 85 9,219544457
DD
70
70
/AR
−
( )
/ 3,965728133AR =
/4AR=
= = =
R
S
i
SR i
iS
iR
i
62
R
+ +− =
=−= = =
15 85
i−= =
1
15 85
i+= =
2
0,082577936
0,345993492
;
Проверка
i
Подставим найденные значения
i
и
1
в исходное
2
уравнение (8.113)и найдем соответствующие значения
.
n
1 (1 )
A
Ri
A
Ri
−+
= = =
1
1 (1 )
−+
= = =
2
−
i
1
i
2
1 0,082577936
1
2
−
n
1 0,345993492
−
0,082577936
0,345993492
−
5
3,965728133
5
−
2,236017635
,
Значение
сзаданным значением
1
. Следовательно, искомая
процентная ставка равна:
0,082577936 8,26%ii
1
.
Если известны параметры
нумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
наращенная величина
ставка ренты
+−
(1 ) 1
= +
находится изуравнения:
n
i
(1 )
i
или
, тогда годовая процентная
n
(1 ) 1
+−
Заменяя левую часть уравнения (8.115)его приближенным значением, получаем квадратное уравнение для
нахождения приближенного (оценочного)значения процентной ставки
:
2
( 1) ( 1)
nn nn S
−+
2
i in
хорошо согласуется
иn годовой ренты пре-
i
(1 )
+=
. (8.115)
0
. (8.116)
105
Если известны параметры R иn годовой ренты пре-
A
i
AR i
i
iA
iR
i
62
R
− +− =
ii
mm
+= + =
mi
1
e
−
нумерандо с ежегодным начислением процентов и ее
современная величина
ставка ренты
1 (1 )
−+
= +
находится изуравнения:
n
−
i
(1 )
, тогда годовая процентная
n
−
(1 )
+=
i
или
1 (1 )
−+
. (8.117)
Заменяя левую часть уравнения (8.117)его приближенным значением, получаем квадратное уравнение для
нахождения приближенного (оценочного)значения процентной ставки
:
2
( 1) ( 1)
nn nn A
−−
2
i in
0
. (8.118)
Годовая конечная рента постнумерандо.
Непрерывное начисление процентов
Так как
i
lim 1 lim 1
mm
→∞ →∞
m
m
i
i
e
,
то наращенная величина рассматриваемой ренты
равна:
S SR R
= = =
∞
Аналогично получаем формулу для современной
величины
106
A
mn
i
11
+−
m
lim lim
m
→∞ →∞
mm
рассматриваемой ренты:
∞
i
11
+−
m
ni
e
SR
=
∞
−
i
1
S
ni
e
1
−
.
e
1
−
. (8.20)
∞
1
ni
e
−
ni
∞∞
ni
11
11
ee
−−
−−
ii
mm
+= + =
−
1
e
AR
∞
−
=
. (8.21)
i
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
S Ae
=
A Se
=
∞
(8.22)
−
(8.23)
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер
годового платежа 6 млн руб. На поступившие взносы
непрерывно начисляются проценты пономинальной годовой процентной ставке 10%. Найти современную инаращенную величину фонда.
Решение
Наращенная величина фонда равна:
ni
ee
−−
SR
= = =
∞
i
6000 000 37009 543,09
0,5
0,1
руб.
Современная величина фонда равна:
ni
A Se e
= = =
∞∞
37009 543,09 20627 830,61
0,5
руб.
Годовая конечная рента пренумерандо.
Непрерывное начисление процентов
Так как
lim 1 lim 1
mm
то наращенная величина рассматриваемой ренты
равна:
→∞ →∞
m
i
m
i
i
e
,
S
∞
107
mn
mi
ie
S SR R e
1
SR e
e
−
AR e
∞∞
S Se
∞∞
∞∞
i
11
+−
m
lim lim 1
= = +=
∞
m
→∞ →∞
mm
i
+−
11
m
e
=
∞
ni
1
−
i
m
m
i
. (8.24)
ni
−
1
−
e
1
i
.
Аналогично получаем формулу для современной
A
величины
рассматриваемой ренты:
∞
ni
−
1
e
∞
−
=
i
e
1
−
i
. (8.25)
Справедливы соотношения, связывающие современную инаращенную величины рассматриваемой ренты:
S Ae
A Se
∞∞
ni
=
=
(8.26)
ni
−
(8.27)
и соотношения, связывающие современные инаращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо
ипостнумерандо:
i
=
A Ae
=
(8.28)
i
(8.29)
Пример
Создается фонд. Средства в него поступают в виде
годовой ренты пренумерандо втечение 5лет. Размер годового платежа 6млн руб. Напоступившие взносы непрерывно начисляются проценты пономинальной годовой
процентной ставке 10%. Найти современную инаращенную величину фонда.
108
Решение
11
11
ee
−−
−−
∞∞
{(0; 0), (1; ), (2; ), ... }CF R R=
iR R
ii i
R
= = = + −=∞
S = ∞
Наращенная величина фонда равна:
ni
ee
−−
SR e e
= = =
∞
i
i
6000 000 40901870,71
0,5
0,1
0,1
руб.
Современная величина фонда равна:
ni
A Se e
= = =
40901870,71 24808 238,63
0,5
руб.
Вечные ренты
Вечная годовая рента постнумерандо
с ежегодным начислением процентов
Вечная годовая конечная рента постнумерандо сежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком:
.
Ее современная величина равна:
n
1 (1 )
AAR i
lim lim lim(1 (1 ) )
= = = −+ =
в
nn n
→∞ →∞ →∞
−+
−
n
−
.
Ai=
в
. (8.30)
Ее наращенная величина равна:
lim lim lim((1 ) 1)
SS R i
в
nn n
→∞ →∞ →∞
n
(1 ) 1
iR
+−
ii
.
в
Наращенная величина рассматриваемой ренты и,что
несложно показать, наращенные величины всех вечных
рент равны бесконечности. Однако, спрактической точки
зрения, нас интересуют только современные величины
вечных рент, которые имеют конечные значения.
n
.
109
Пример
1200000
R
{(0; ), (1; ), (2; ), ... }CF R R R=
AAR i
= = +=
RR
iii
ii
= + −+ = +
Ai
i
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вконце каждого года 1200000руб. бесконечно долго при
сложной процентной ставке 6% годовых.
Решение
Размер вклада равен:
Ai= = =
в
0,06
20000 000
руб.
Вечная годовая рента пренумерандо
с ежегодным начислением процентов
Вечная годовая конечная рента постнумерандо сежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком:
.
Ее современная величина равна:
n
1 (1 )
lim lim (1 )
в
nn
→∞ →∞
(1 )lim(1 (1 ) ) (1 )
n
→∞
в
−+
R
(1 )
= +
−
i
i
n
−
.
. (8.31)
Пример
Найти размер вклада, обеспечивающего получение
вначале каждого года 1 200 000руб. бесконечно долго
при сложной процентной ставке 6% годовых.
Решение
Размер вклада равен:
R
Ai
1 (1 0,06) 21200 000
= += + =
( )
в
i
1200000
0,06
руб.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]