Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 181
Òàêîé ïðåäåë áóäåì назывàòü ôåðмионным, ïîñêîëüêó обычно îí èñ-
ïîëüçóåòñÿ â теории ÐÂÓ частиц ñ ïîлуцелым спиноì.
Ïðèвыборе (4.184) ìû ïðèõîäèìê системе, распадающейся ïî ïîëíîé
ãðóïïå Ëоренца íà äâå ïîдсистемы:
˜
+ ∂
ψ0= 0,
µ
˜
+ ∂
ψ0= 0;
µ
∂µψµ= 0,
˜
∂
ψµ= 0,
µ
˜
ψβ= 0.
(4.185)
(4.186)
(4.187)
(4.188)
(4.189)
−∂
1
2
˜
ψν+ ∂
µ
ε
µναβ∂ν
∂νψ
ψ
˜
ψµ+ ε
ν
[µν]
[αβ]
µναβ∂α
Êаждаяèç данных ïîдсистемìîæåò áûòü çàïèñàíà â ìàòричной ôîðìå
8-êîмпонентных ÐÂÓ
ñ ïîлевыми ôункциями
êîмпонент òåíçîðîâ
ψ0,˜ψ0, ψ
βµ∂µU(x) = 0,
βµ∂µV (x) = 0
U(x), V (x)
[µν]
, ñîñòàâленными ñîîòâåòñòâåííî èç
è
ψµ,˜ψ
. Ïðè ýòîì åñëè ôункция
µ
(4.190)
(4.191)
U(x)
преобразóåòñÿ ïî ãðóïïå Ëоренца êàê ïðÿìàÿ ñóììàTïðåäñòàâлений äëÿ
ñêàëÿðà, ïñåâäîñêàëÿðà è áèâåêòîðà, òî уравнение (4.190) äëÿ
U(x)
преоб-
ðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâлениюR, ñîîòâåòñòâующему прямой ñóììå âåêòîð-
íîãî è ïñåâäîâåêòорногî ïðåäñòàâлений. Äëÿ ôункций
V (x)
è уравнения
(4.191) ïðåäñòàâленияTèRменяюòñÿ ðîëÿìè. Ñêазанноå îçíà÷àåò, ÷òî ó
êаждой èç ïîдсистем (4.185), (4.186) è (4.187)(4.189), рассмàòðèâаемых
ïî îòдельноñòè, ìассивный àíàëîã îòñóòñòâóåò (íàïîìíèì, ÷òî â случае
ÐÂÓ ñ íåíóëåâîé ìассой частицы уравнение è åãî âîëíîâàÿ ôункция ïðå-
образóþòñÿ ïî îäíîìó è òîìó æå ïðåäñòàâлению ãðóïïû Ëоренца).
Êðîìå òîãî, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç ìàòðèö
U(x), V (x)
êîмбинации òèïà¯U(x)βµ∂µV (x)
ìîæíî ïîñòроить òîëüêî лоренц-инвариантные билинейные
è¯V (x)βµ∂µU(x),
β
è âîлновых ôункций
µ
êîòîðûå ñîдержаòêîì-
поненты îáåèõ ôункций îдновременно. Äðугими ñëîâàìè, íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî ïîдсистемы (4.185),(4.186) è (4.187)(4.189) àëãебраичеñêè íåçà-
висимы, лагранжåâà ôîðìóлировкà äëÿ êаждой èç íèõ íåâîçìîæíà.
182 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàêèì образîì, òребовàíèÿ âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки
теории è ñóùåñòâîâàíèÿ ìассивногî àíàëîãà ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòè
ñîâìåстногî рассмоòрения ïîдсистем (4.185)(4.189).
Äëÿ óñòàíîâления физичеñêîãî ñîдержания òàêîé ñîâìåстной систе-
ìû, êàê è â ïðåдыдущих случаях, перейдем â èìïóльсноå ïðåäñòàâление
ïî ôîðìóëàì (4.139)(4.142), (4.165) è разлоæèì ôункции
ψ
(k)
[µν]
ïî базисным âåêòîðàì (4.97)(ôîðìóëû (4.143), (4.144), (4.166)).
ψµ(k),˜ψµ(k),
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè разлоæåíèÿ â уравнение (4.187), ïîлучим условие
2
i=1
aikµe
(i)
µ
+ bk
2
+ ckµnµ= 0.
µ
(4.192)
Ïåðâîå è âòîðîå слагаемые â (4.192) равны íóëþ â ñèëó ñâойств (4.96),
(4.98) базисных âåêòîðîâ
ïîñêîëüêó
kµnµ= 0,
имеем
(i)
e
, kµ. Îòñþäà ñëåäóåò ðàâенствî
µ
c = 0.
ckµnµ= 0,
(4.193)
Àíàлогично ðàññóæäàÿ, èç уравнения (4.188) ïîлучим
˜c = 0.
(4.194)
Учтем åùå, ÷òî системà (4.185)(4.189) èíâариантна îòíîсительно ïðå-
образîâàíèé òèïà (4.137), (4.138), êîòîðûå â èìïóльсноì ïðåäñòàâлении
принимàþò âèä (4.147). Иными ñëîâàìè, амплитóäû
ψµ(k),˜ψµ(k)
îïðå-
деляюòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâенных слагаемых, â êà÷åñòâå êîòîðûõ
â разлоæениях (4.143), (4.144) могут áûòü выбраны члены
bkµè˜bkµ.
èòîãå, ñ ó÷åòîì (4.193), (4.194), ïðèõîäèì ê разлоæениям
ψµ(k) =
2
i=1
aie
(i)
µ
,
˜
ψµ(k) =
2
i=1
˜aie
(i)
µ
,
(4.195)
àíàлогичным òåì, ÷òî èìåþò ìåñòî äëÿ ïîтенциаëîâ ýëåêòðîìагнитногî
ïîëÿ.
Òеперь îáðàтимся ê уравнению (4.185). Â èìïóльсноì ïðåäñòàâлении
ñ ó÷åòîì разлоæåíèÿ (4.166) è ðàâенств (4.96), (4.98) îíî ïðèâîäèò ê
условию
è
Â
2
hi(kνnν)e
i=1
(i)
+ e(kνnν)kµ+ ψ0(k)kµ= 0,
µ
(4.196)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 183
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî
hi= 0.
(4.197)
Èçèíâариантноñòè системы(4.185) îòíîсительно êàлибровî÷íûõïðå-
образîâàíèé (4.171) è (4.172), ãäåпроизвîë â выборе ôункций
Λµ(x)
îãðà-
ничен условием (4.169), вытекàåò, ÷òî â èìïóльсноì ïðåäñòàâлении â
разлоæåíèè (4.166) слагаемоå
2
i=1
(i)
g
e
kν− e
i
µ
(i)
ν
k
µ
ÿâëÿåòñÿ íåñóùåñòâенным. Òîãäàñ ó÷åòîì(4.197) разлоæåíèå(4.166) ïðè-
íèìàåò âèä (4.182).
Найдем ïëîòíîñòü энергии ïîëÿ, описываемогî системой (4.185)
(4.189). Лагранжиан, èç êîòîðîãî ìîæåò áûòü ïîлучена данная системà, ñ
òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâенногî слагаемогî òèïà äèâåðãенции ðàâåí
1
L = −ψµ∂µψ0−
+˜ψµ∂
ψ
2
˜
ψ0+
µ
(∂µψν− ∂νψµ) +
[µν]
1
ε
ψ
µναβ
2
[µν]
˜
∂
α
ψβ.
(4.198)
Îòñþäà äëÿ òåíçîðà энергии-импуëüñà è ïëîòíîñòè энергии ïîлучаем
выражåíèÿ
∂L
Tµν=
∂νψA− Lδµν=
∂ (∂µψA)
ψ
ψ
[ξη]
[µν]
˜
ψ0+
ν
∂
α
∂
˜
ψβ,
˜
ψ
j
α
(4.199)
(4.200)
= −ψµ∂νψ0− ψ
+δµνψ
∂αψβ− δ
[αβ]
T44= ψj∂jψ0−˜ψj∂
1
+
ε
αβµη
2
˜
ψα∂
µν
˜
ψ0+ ψ
j
ψ
˜
ψ0−
α
[jα]
∂νψα+˜ψµ∂
[µα]
˜
∂
ψη+ δµνψα∂αψ0+
ν
[αβ]
1
δµνε
ξηαβ
2
1
∂jψα−
ε
µνjα
2
(индекñ j â (4.200) ïðîáегает çíàчения îò 1 äî 3). Ïîäñòàâëÿÿ â (4.200)
разлоæåíèÿ (4.139)(4.142), (4.164), (4.182), (4.195), ïîлучим
T
44
= 0
.
(4.201)
184 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Àíàлогично íàõîäèì
T4j= 0.
Òàêèì образîì, ôåðмионный áåçìассовый ïðåäåë уравнения Диракà
Êýëåðà,òðàêòóåìîãî â ðàìêàõ ñòандарòíîãî ïîäõîäà теории ÐÂÓ êàê óðàâ-
нение, описывающее физичеñêè åäèíîå классичеñêîå áîçîííîå ïîëå ñ íà-
áîðîì спинов0è1, ïðèâîäèò ê íóëåâîé ïëîòíîñòè энергии è èìïóëüñà.
(4.202)
4.3. Массивные êàлиброâîчно-инвариантные
ïîëÿ â теории ÐÂÓ
Êàê èçâåñòíî, îäíèì èç îòличий â îïèñàíèè частиц ñ íåíóëåâîé è íó-
ëåâîé ìассой è öåëîчисленным спиноì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â случае áåçìàñ-
ñîâîé частицы часть êîмпонент âîëíîâîé ôункцииψÿâëÿþòñÿ ненабëþ-
даемыми (ïîтенциаëû), à часть íàáëþдаемыми (íàïðÿæåííîñòè). Íà
ïîтенциаëàõ ìîæíî çàäàòü êàлибровî÷íûå преобразîâàíèÿ è íàëîæèòü
äîïîлнительные условия, исключающие лишние êîмпоненты ôункции
ψ
. Ïîдробно ýòà процеäóðà èçëîæåíà â ïðåдыдущих ðàçделах íàñòîÿùåé
ãëàâû. Ïðè îïèñàíèè æå частиц ñ íåíóëåâîé ìассой ïîñðåäñòâîì ÐÂÓ
âèäà (1.2) óêазанноå разграничение êîмпонент âîëíîâîé ôункции явным
образîì íå имеет ìåñòà. Èíà÷å ãîâîðÿ, понятие êàлибровî÷íîé èíâàðè-
антноñòè â âûøåóêазанноì смысле применяетñÿ обычно â îтношении
áåçìассовых теорий, ñòðîÿùèõñÿ íà îñíîâå ÐÂÓ âèäà (1.1) ñ îñîáенной
ìàòрицей
 òî æå время èçâåñòíû ðàáîòû [125, 138], â êîòîðûõ îáñóæäàþòñÿ
òàê называемые ìассивные êàлибровî÷íî-èíâариантные теории.  ñâÿçè
ñ ýòèì âозникàþò âîïðîñû: êàêîâñòàòóñ òàêèõ теорий â ïîäõîäå,îñíîâàí-
íîì íà èñïîëüçîâàíèè ìàòричной ôîðìû ÐÂÓ (1.1); ïî êàêèì критериям
(признакàì) различаюòñÿ â данноì ïîäõîäå áåçìассовые è ìассивные
êàлибровî÷íî-èíâариантные теории?
Рассмоòðèì набор непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца
Γ0.
1
(0, 0) ⊕ (
образующихñõåìóзацеплений (4.77), êîòîðîéñîîòâåòñòâóåòâ общемñëó-
÷àå òåíçорная системà уравнений ïåðâîãî порядкà(4.78)(4.80).  случае,
1
,
) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0)
2
2
(4.203)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 185
êîãäà íè îäèí èç параметðîâ â ýòîé системе íå ðàâåí íóëþ,îíà описывàåò
частицу ñ набороì спинов 0, 1 è äâóìÿ ìàññàìè
причем òóò ìàññà
√
ab
m1=
, m2=
|α|
m1îòíîñèòñÿ êî спину 0, à ìàññà
√
bc
,
|β|
m2ê спину 1.
Åñëè íàëîæèòü íà параметðû системы (4.78)(4.80) условие
√
|α|
√
a
c
=
, (3.3.3)
|β|
ïîлучим ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 0, 1 è îäíîé ìассой
Ïðè
α = 0
Êеммера äëÿ частицы ñî спиноì 1 è ìассой
Ïðè
β = 0
Êеммера äëÿ частицы ñî спиноì 0 è ìассой
îáñóждаемàÿ системà ïåðåõîäèò â уравнение òèïà Äàôôèíà
β∗∂νψ
+ bψµ= 0,
[µν]
β (−∂µψν+ ∂νψµ) + cψ
m = m
[µν]
2
= 0.
системà (4.78)(4.80) ïåðåõîäèò â уравнение òèïà Äàôôèíà
m = m
1
α∂µψµ+ aψ0= 0,
(4.204)
m = m1= m2.
(4.205)
(4.206)
(4.207)
α∗∂µψ0+ bψµ= 0.
(4.208)
Òеперь перейдем ê рассмоòрению интереñующих íàñ случаев. Ïîëî-
æèì â уравнении (4.78)
a = 0 .
(4.209)
Ïîлучим систему
∂µψµ= 0,
β∗∂νψ
+ α∗∂µψ0+ bψ0= 0,
[µν]
β (−∂µψν+ ∂νψµ) + cψ
[µν]
= 0,
(4.210)
(4.211)
(4.212)
êîòîðàÿ, áóäó÷è çàïèñанной â ìàòричной ôîðìå (4.42), â базисå (4.81)
ñîîòâåòñòâóåò выборó
(1)
= 0
Γ
0
.
186 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èç системы (4.210)(4.212) íåòðóäíî ïîлучить уравнения âòîðîãî ïî-
ðÿäêà
∗
ψµ−
cα
|β|
∂µψ0−
2
 îтношении ñêàлярной ôункции
ψ0= 0,
bc
ψµ= 0.
2
|β|
ψ
, ïîдчиняющейся уравнению
0
(4.213)
(4.214)
(4.213), çäåñü íàäî ó÷åñòü ñëåдующее. Системà (4.210)(4.212) èíâàðè-
антна îòíîсительно êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé
ψ0−→ ψ
′
= ψ0−
0
1
Λ, ψµ−→ ψ
∗
α
′
= ψµ+
µ
1
∂µΛ,
b
(4.215)
ãäå êàлибровî÷íàÿ ôункцияΛограничена условием (4.86). Сравнивàÿ
(4.86) ñ (4.213), заклю÷àåì, ÷òî ôункция
ψ
âûñòупает çäåñü â êà÷åñòâå
0
êàлибровî÷íîé è, ñëåäîâàтельно, физичеñêîãî ïîëÿ íå описывàåò.
Êàлибровî÷íûå преобразîâàíèÿ (4.215), (4.86) ïðè учете (4.213) ïîç-
âîëÿþò íàëîæèòü äîïîлнительноå условие
Λ = ψ0.
(4.216)
Ïðè ýòîì системà (4.210)(4.212) òðàíñôîðìèðóåòñÿ â систему (4.205)
(4.206), описывающую ìассивную частицу ñî спиноì 1. Óравнение æå
(4.214) ïðè условии (4.216) ïåðåõîäèò â обычноå уравнение Ïðîêà.
Òàêèì образîì, êàлибровî÷íàÿ èíâариантноñòü системы (4.83)(4.85)
ïðèâîäèò ê óменьшению физичеñêèõ степеней ñâîáîäû ïî сравнению ñ
системой (4.78)(4.80) ïðè
α, β, a, b, = 0
ñ четыреõ äî òðåõ, исклю÷àÿ
ñîñòîÿíèå ñî спиноì 0.
Заметим,÷òî ê àíàлогичноìó ðåçóëüòàòóìîæíîпридти,è íå èñïîëüçóÿ
ÿâíî соображåíèÿ, ñâязанные ñ êàлибровî÷íîé èíâариантноñòüþ. Ââîäÿ
обозначение
∗
φµ= ψµ+
α
∂µψ0,
(4.217)
b
систему (4.210)(4.212) ñðàçó ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
β(−
∂
µφν
β∗∂νψ
∂
+
νφµ
+ bφµ= 0,
[µν]
) +cψ
[µν]
= 0
,
(4.218)
(4.219)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 187
совпадающему ñ (4.205)(4.206) ñ òî÷íîñòüþ äî обозначений.
Данный âариант êàлибровî÷íî-èíâариантной теории èçâåñòåí â ëèòå-
ðàòóðå [56, 138] êàê ïîäõîä Штюкльбåðãà ê îïèñàíèþ частицы ñî спиноì
1 è íåíóëåâîé ìассой.
Òеперь ïîëîæèì â уравнении (4.80)
c = 0.
(4.220)
Ïîлучим систему уравнений
α∂µψµ+ aψ0= 0,
β∗∂νψ
+ α∗∂µψ0+ bΦµ= 0,
[µν]
−∂µψν+ ∂νψµ= 0.
Ñâåðòûâàÿ уравнение (4.222) ñ операòîðîì
∂µ, придем ê уравнению
(4.221)
(4.222)
(4.223)
âòîðîãî âòîðîãî порядкà
b
ψ0+
∂µψµ= 0,
∗
α
(4.224)
êîòîðîå ñ ó÷åòîì (4.221) преобразóåòñÿ ê âèäó
ab
ψ0+
|α|
ψ0= 0.
2
(4.225)
Óравнение (4.225) îçíà÷àåò, ÷òî системà (4.221)(4.223) описывàåò ìàñ-
сивную частицу ñî спиноì 0. Опять-тàêè, заметим, ÷òî систему (4.221)
(4.223), ââîäÿ обозначение
∗
φµ= ψµ+
β
∂νψ
b
[µν]
,
(4.226)
ìîæíî преобразîâàòü ê âèäó
α∂µφµ+ aψ0= 0,
α∗∂µψ0+ bφµ= 0,
(4.227)
(4.228)
совпадающему ñ (4.207), (4.208).
Данный âариант ìассивной êàлибровî÷íî-èíâариантной теории ÿâ-
ëÿåòñÿ ñâîåãî ðîäà àíàëîãîì ïîäõîäà Штюкльбåðãà, íî äëÿ îïèñàíèÿ ÷à-
стицы ñî спиноì 0.
188 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ìàòричнаяôîðìà(1.1) рассмоòренных ìассивных êàлибровî÷íî-èíâà-
риантных теорий спина 1 è 0 различаетñÿ âèäîì ìàòðèöû
спина 1 ìàòðèöà
Γ0имеет âèä
Γ0. Â случае
a
Γ0= Γ
(2)
0
+ Γ
(3)
0
=
bI
4
cI
;
6
â случае спина 0
0
ãäå ìàòðèöû
(1)
Γ
0
Γ0= Γ
(2)
,
Γ
,
0
(2)
0
(3)
Γ
0
(3)
+ Γ
=
0
bI
4
,
0
6
â базисå (4.81) îïðåделяюòñÿ ñîãласно (4.82).
Интереñíî òàêæå рассмоòðåòü набор непривîдимых ïðåäñòàâлений
1
(0, 0)′⊕ (
1
,
)′⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0),
2
2
(4.229)
(4.230)
(4.231)
âêîòîðîìïðåäñòàâления
(0, 0)′è
(1/2, 1/2)′ñîîòâåòñòâóþòïñåâäîñêàëÿðó
(ïîëíîñòüþ антисимметричноìó òåíçîðó ÷åòâåðòîãî ранга) è ïñåâäîâåê-
òîðó (ïîëíîñòüþ антисимметричноìó òåíçîðó òретьегî ранга). Наибоëåå
общая òåíçорная ôîðìóлировкà ÐÂÓ, базирующегîñÿ íà ñîïîñòàâляемой
(4.231) ñõåìå зацеплений
′
(0, 0)
|
1
(1, 0) − (
1
,
)′− (0, 1),
2
2
(4.232)
òàêîâà:
α∗∂[νψ
+ β∗∂µψ
αβ]
α∂[µψ
β∂νψ
ναβ]
[µναβ]
[ναβ]
+ aψ
+ bψ
+ cψ
[µναβ]
[ναβ]
[αβ]
= 0,
= 0,
= 0,
(4.233)
(4.234)
(4.235)
ãäå äëÿ упрощения çàïèñè ââåäåíû обозначения
∂[νψ
αβ]
≡ ∂νψ
[αβ]
+ ∂βψ
[να]
+ ∂αψ
[βν]
= 0,
∂[µψ
ναβ]
≡ ∂µψ
[ναβ]
− ∂νψ
[µαβ]
+ ∂αψ
[µνβ]
− ∂βψ
[µνα]
= 0.
(4.236)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 189
Ââîäÿ â систему (4.233)(4.235) âìåñòî òåíçîðîâ
äóàëüíî сопряженные âеличины
ψ
˜
[µν]
˜
,
ψ
,
µ
ψ
˜
0
ψ
,
ψ
,
[µν]
[µνα]
ψ
[µναβ]
, åå ìîæíî переписàòü â
âèäå
˜
α∂
β∗∂
β−∂
˜
ψ
ν
ψν+ ∂
µ
[µν]
˜
+ α∗∂
˜
ψ
ν
ψµ+ a˜ψ0= 0,
µ
˜
ψ0+ b˜ψµ= 0,
µ
µ
+ c˜ψ
[µν]
= 0.
(4.237)
(4.238)
(4.239)
Сравнивàÿсистемы (4.78)(4.80) è (4.237)(4.239), заклю÷àåì,÷òî îíè
äóàëüíû, â òîì смысле, ÷òî îäíà èç íèõ ìîæåò áûòü ïîлучена èç äðóãîé
путем замен
ψ0←→˜ψ0, ψµ←→˜ψµ, ψ
[µν]
←→˜ψ
[µν]
.
(4.240)
Очевидно, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ñõåìû зацеплений (4.232) íà ïðåäìåò
ïîлучения íà åå îñíîâå различных êàлибровî÷íî-èíâариантных теорий
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî òîé æå ìåòîäèêåè ñ àíàлогичными ðåçóëüòàòàìè, ÷òî è
íà îñíîâå ñõåìû(4.77). Òàê, íàпример, ïîлагая â уравнении (4.233)
a = 0
ïîлучаем êàлибровî÷íî-èíâариантную теорию ïñåâäîâåêòорной части-
öû ñ ìассой√bc/|β|
èíâариантной теории ïñåâäîñêàлярной частицы ñ ìассой√ab/|α|
. Выбирая æå â (4.235)
c = 0
, придем ê êàлибровî÷íî-
.
,
4.4. Ñîâìåстное îïèñàíèå ìассивных è áåçìàñ-
ñîâûõ ïîëåé. Âûâîäû
Вернемся ê ñõåìå зацеплений (4.37) è рассмоòðèì ìассивные êàëèá-
ðîâî÷íî-èíâариантные теории, êîòîðûå ìîæíî ïîñòроить íà åå îñíîâå,
ìанипуëèðóÿ ìассовыми параметðàìè
Возьмем случай
a = 0 , b, c = 0.
Ïîлучим систему уравнений
∗
α
−∂
˜
ψν+ ∂
µ
˜
ψ
µ
+ β∗ε
ν
a, b, c
β∂
µναβ∂α
â системе (4.38).
∂νψ
[µν]
˜
ψ
ν
+ b˜ψµ= 0,
[µν]
˜
ψβ+ cψ
[µν]
= 0,
= 0,
(4.241)
(4.242)
(4.243)
(4.244)
190 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
êîòîðîé â ìàòричной ôîðìóлировкå (1.1) ñîîòâåòñòâóåò â базисå (4.42)
îñîáенная (ïðîåêтивная) ìàòðèöà
Γ0= Γ
(2)
0
+ Γ
(3)
0
Γ0âèäà
=
0
4
bI
4
cI
.
6
(4.245)
Èç системы (4.242)(4.244) ìîæíî ïîлучить уравнения âòîðîãî ïî-
ðÿäêà
−
bc
|β|
2
∂
µ
˜
ψµ= 0,
˜
ψµ= 0,
(4.246)
(4.247)
ψµ− ∂µ∂νψν= 0.
(4.248)
Óравнения (4.246), (4.247) îçíà÷àþò, ÷òî системà (4.242)(4.244) ñîäåð-
æèò îïèñàíèå ìассивной ïñåâäîâåêòорнойчастицы. Óравнение æå (4.248)
óêàçûâàåò íà òî, ÷òî данная системà описывàåò åùå è áåçìассовîå ïîëå ñ
ïîтенциаëîì
ψ
.
µ
Ïîñëåäíåå îáñòîятельствî ïîçâîëÿåò âêëþ÷èòü êàлибровî÷íîå ïðå-
образîâàíèå âèäà (4.51), îòíîсительно êîòîðîãî èíâариантны è системà
(4.242)(4.244) è уравнение (4.248) áåç íàëîæåíèÿ êàêèõ-ëèáî ограниче-
íèé íà êàлибровî÷íóþ ôункциюΛ. Òàêàÿ èíâариантноñòü îçíà÷àåò, ÷òî
данноå áåçìассовîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ìàêñâелловñêîãî òèïà ñî ñïè-
ðàëüíîñòüþ±1.
Òàêèì образîì, íå распадающаяся ïî ãðóïïå Ëоренца êàлибровî÷íî-
èíâариантная òåíçорная системà (4.242)(4.244) äàåò ñîâìåñòíîå îïèñà-
íèå ìассивной частицы ñî спиноì 1 è áåçìассовîãî ïîëÿ ñî спираëüíî-
ñòüþ±1. Иными ñëîâàìè, çäåñü ìû имеем äåëî ñ ìассивно-бåçìассовîé
êàлибровî÷íî-èíâариантной теорией спина 1.
Ïîõîæèé ðåçóëüòàò ïîлучаетñÿ, åñëè ïîëîæèòü â системе (4.38)
b = 0 , a, c = 0.
(4.249)
 ýòîì случае
Γ0= Γ
(1)
0
+ Γ
(3)
0
=
aI
4
O
4
cI
,
6
(4.250)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]