Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ãëàâà 7.
Ïîäõîä ÃельфандаЯгëîìà
â теории ÐÂÓ
7.1. Óравнения, инвариантные îтносительно
собственной ãðóïïû Ëоренца
Ïîñêîëüêóлитераòурныеèñòîчники[8, 9], íà êîòîðûõâ çíàчительной
степени базирóåòñÿ ïîäõîä ê исслеäîâàíèþ ÐÂÓ, èñïîëüçóåìûé â нашей
ðàáîòå, â íàñòîÿùåå время ñòàëè áèáлиографичеñêîé ðåäêîñòüþ, имеет
смысл áîëåå ïîдробно, ÷åì ýòî сделано â ãëàâå 1, рассмоòðåòü îсновные
ïîëîæåíèÿ данногî ïîäõîäà.
Òеория ÐÂÓ базирóåòñÿ íà ñòандарòíîé ìàòричной ôîðìå (1.1) è (1.2)
ýòèõ уравнений. Îñòановимся ñíà÷àëà íà ÐÂÓ âèäà (1.2), описывающих
частицы ñ íåíóëåâîé ìассой. Òàêîå уравнение ÿâëÿåòñÿ релятивистñêè-
èíâариантным, åñëè, âо-первых, âîëíîâàÿ ôункцияψпреобразóåòñÿ ïî
íåêîòîðîìó ïðåäñòàâлениюTсобственной ãðóïïû Ëоренца (íèæå áóäåò
ïîêазано, ÷òî ïðåäñòàâлениеTäîëæíî áûòü ïðèâîдимым) è, âî-âòîðûõ,
ìàòðèöû
Γµóäîâëåòâîðÿþò условию
T−1ΓµT = LµνΓν,
′
x
= Lµνxν, ψ′= T (L)ψ.
µ
 случае áåñêîíå÷íî ìàëûõ преобразîâàíèé Ëоренца имеем
T = 1 + δω
271
[µν]
[µν]
J
,
(7.1)
(7.2)
(7.3)
272 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
[µν]
ãäå
J
инфинитеçèìàльные операòîðû ïðåäñòàâленияT. Операòîðû
[µν]
J
óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям
[µν]
[J
, J
[αβ]
]−= δµβJ
[να]
+ δναJ
[µβ]
− δµαJ
[νβ]
− δνβJ
[µα]
.
(7.4)
Èç условия (7.1) â ïåðâîì порядкå îòíîсительно параметðîâ
δω
[µν]
íåòðóäíî ïîлучить ñîîтношение
[µν]
[J
, Γα]−= δναΓµ− δµαΓν.
Ïîлагая â (7.5)
Операòîðû
ñòâåííî â ïëîñêîñòÿõ
ν = α = 4, µ = i
[ij]
J
[i4]
, J
îòâå÷àþò áåñêîíå÷íî ìàëûì ïîâîðîòàì ñîîòâåò-
(xi, xj)
(обычный ïîâîðîò) è
, придем ê ôîðìóëå (1.3).
ñêèé ïîâîðîò). Ââåäåì âìåñòî операòîðîâ
(xi, x4)
[ij]
J
[i4]
è
J
èõ линейные êîìáè-
(гипербоëè÷å-
(7.5)
нации:
H+= J
F+= J
[31]
[24]
+ iJ
− iJ
[23]
, H−= −J
[14]
, F−= −J
[31]
[24]
+ iJ
− iJ
[23]
, H3= iJ
[14]
, F3= −iJ
[12]
[34]
,
.
(7.6)
Èñõîäÿ èç ïåðåñòàíîâ÷íûõñîîтношений (7.4) è îïðåделений (7.6), ìîæíî
ïîлучить ñîîтношения êîììóòàöèè между операòорами
H+, H−, H3, F+, F−, F3:
[H+, H3] = −H+, [H−, H3] = H−, [H+, H−] = 2H3,
(7.7)
[F+, F3] = H+, [F−, F3] = −H−, [F+, F−] = −2H3,
(7.8)
[H+, F+] = [H−, F−] = [H3, F3] = 0,
[H+, F3] = [F+, H3] = −F+, [H−, F3] = [F−, H3] = F−,
[H+, F−] = −[H−, F+] = 2F3.
Òеперь ïðèâåäåì общий âèä операòîðîâ
H+, H−, H3, F+, F−, F3äëÿ
(7.9)
произвîльногî непривîдимогî ïðåäñòàâления собственной ãðóïïû Ëî-
ренца. Ïðåäâарительно заметим, ÷òî âñÿêîå ïðåäñòàâление (ïðèâîäèìîå
ëèáî непривîäèìîå) ãðóïïû ËоренцаT, действующее â ïðîñòранствå
R
, ïîðîждает íåêîòîðîå ïðåäñòàâление
вращений. Ïðè ýòîì â ïðîñòранствåRïðåäñòàâление
T′ñâîåé ïîäãðóïïû ãðóïïû
T′, âообще ãî-
âîðÿ, ïðèâîäèìî. Äðугими ñëîâàìè, ïðîñòранствîRìîæíî разлоæèòü
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 273
â прямую ñóììó èíâариантных ïîäïðîñòранств
Rs, â êàæäîì èç êîòî-
ðûõ ïðåäñòàâление ãðóïïû вращений, индуцировàííîå ïðåäñòàâлением
T′, непривîäèìî è задаетñÿ âåñîìs. Â случае, êîãäà ïðåäñòàâление ñîá-
ñòâенной ãðóïïû ËоренцаTнепривîäèìî, â разлоæåíèè ïðîñòранствà
íå âñòðå÷àåòñÿ äâóõ ïîäïðîñòранств
Rsñ îдинакîâûì âåñîì, â ñâÿçè ñ
R
÷åì ìîæíî íóмеровàòü ýòè ïîäïðîñòранствà индекñîìs.
 êàæäîì ïîäïðîñòранствå
ñòâенных âåêòîðîâ операòîðà
Rsâûáåðåì базис
H3. Âåêòîðû
{ξsk}
ξ
, ñîñòîÿùèé èç ñîá-
sk
образóþò, îчевидно, áà-
çèñ âî âñåì ïðîñòранствåR. Ýòîò базис ìû áóäåì назывàòü êаноничеñêèì,
èëè базисоì ÃельфандаЯгëîìà. Операòîðû
H+, H−, H3, F+, F−, F3â áà-
çèñå ÃельфандаЯгëîìà çàписывàþòñÿ ñëåдующими образîì:
H3ξsk= k ξsk,
H+ξsk=(s + k + 1)(s − k) ξ
H−ξsk=(s − k + 1)(s + k) ξ
s,k+1
s,k−1
,
,
(7.10)
(7.11)
(7.12)
√
F3ξsk= B
F+ξsk= B
+B
s+1
F−ξsk= −B
−B
s+1
s
−A
s
−A
s
− B
s2− k2ξ
s+1
(s + 1)2− k2ξ
− Ask ξsk−
s−1,k
(s − k)(s − k − 1) ξ
(s − k)(s + k + 1) ξ
s
(s + k + 1)(s + k + 2) ξ
(s + k)(s + k − 1) ξ
(s + k)(s − k + 1) ξ
s
(s − k + 1)(s − k + 2) ξ
s+1,k
s−1,k+1
s,k+1
s+1,k+1
s−1,k−1
s,k−1
s+1,k−1
−
+
−
−
,
,
,
(7.13)
(7.14)
(7.15)
ãäå
As=
′′
il′l
s(s + 1)
, Bs=
i
s
(s2− l
′
2
)(s2− l
4s2− 1
k = −s, −s + 1, ..., s − 1, s,
s =| l′|, | l′| +1, ...,
l′ âåùåñòâåííîå öåëîå (âêëþ÷àÿ íîëü) èëè ïîлуцелоå,
êîмплекñíîå число.
′′
2
)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
l′′ произвîëüíîå
274 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàêèì образîì, âñÿêîå непривîäèìîå ïðåäñòàâлениеτсобственной
ãðóïïû Ëоренца îïðåделяетñÿ парой ÷èñåë
(l′, l′′) (τ ∼ (l′, l′′))
è åãî
инфинитеçèìàльные операòîðû â êаноничеñêîì базисå èìåþò âèä (7.10)
(7.18).
Ìûограничимся рассмоòрениемêîíå÷íîмерных непривîдимыхïðåä-
ñòàâлений,êîòîðûåõàðàêтеризóþòñÿòåì,÷òî
èëè ïîлуцелые числа è
þò âñå âåñà îò
| l′|äîl′′− 1
Наряду ñ парой ÷èñåë
l′′>| l′|
. Ïðè ýòîì â ïðåäñòàâленииτïðèñóòñòâó-
âêëþчительно.
l′, l′′(обозначения ÃельфандаЯгëîìà) непри-
l′è
l′′îдновременно целые
âîäèìîå ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëоренца ìîæåò áûòü задано
числами
l1, l2, êîòîðûå ñâязаны ñ
l′= l1− l
2
,
l′′= l1+ l2+ 1
l′, l′′ñîîтношениями
1
l1=
l2=
(l′+ l′′− 1)
2
1
(l′− l′′− 1)
2
(7.19)
(обозначения Íàéìàðêà [12]). Â ýòèõ обозначениях âìåñòî (7.18) имеем
s =| l1− l2|, | l1− l2| +1, ..., l1+ l2− 1, l1+ l2.
(7.20)
 ðàáîòå ìû èñïîëüçóåì обозначения Íàéìàðêà.
Òеперь óñòановим, êàêèå ограничения íà ïðåäñòàâлениеT, действó-
þùåå â ïðîñòранствåRâîлновых ôункцийψ, íàлагает условие реляти-
âèñòñêîé èíâариантноñòè уравнения (1.2).
Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òîTñîñòîèò èç îäíîãî непривîдимогî ïðåä-
ñòàâления собственной ãðóïïû Ëоренца
(1.2) преобразóåòñÿ ïî ïðåäñòàâлениюτ. Òîãäà слагаемоå
çóåòñÿ ïî ïðåäñòàâлению, êîòîðîå ïîñðåäñòâîì ìàòðèö
τ ∼ (l1, l2)
, ò. å. слагаемоå
Γµ∂µψ
преобра-
Γµôîðìèðóåòñÿ
mψ
èç непривîдимых êîмпонент
(l1+
(l1−
1
2
1
, l2+
2
, l2+
1
), (l1+
2
1
), (l1−
2
1
, l2−
2
1
, l2−
2
1
),
2
1
),
(7.21)
2
ñîдержащихñÿ â прямоì произвåдении ïðåäñòàâлений
1
1
(
,
) ⊗ (l1, l2).
2
2
(7.22)
â
Ïîñêîëüêó íè îäíî èç ïðåäñòàâлений (7.21) íå совпадает ñ
гаемые
Γµ∂µψèmψáóäóò âåñòè ñåáÿ по-разноìó ïðè преобразîâаниях
(l1, l2)
, ñëà-
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 275
Ëоренца. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî уравнение (1.2) íå ìîæåò áûòü релятивистñêè-
èíâариантным. Àíàлогичный âûâîä ñëåäóåò è òîãäà, êîãäàïðåäñòàâление
T
ñîñòîèò èç äâóõ è áîëåå íå зацепляющихñÿ между собой непривîдимых
êîмпонент.
Совпадениелоренцевñêèõ òðàíñôîðìационныхñâойств членов
è
mψ
âîçìîæíî ëèøü â случае, êîãäà ïðåäñòàâлениеTñîñòîèò èç äâóõ
Γµ∂µψ
èëè íåñêîльких зацепляющихñÿ непривîдимых ïðåäñòàâлений, образóþ-
ùèõ òàê называемую ñõåìó зацеплений. Ïðîдемонстðèðóåìñêазанноå íà
ïðîñòîì примере. Возьмем ñõåìó зацеплений (1.22). Â прямоì произвå-
дении
1
1
(
,
) ⊗(0, 0) ⊕ (
2
2
ñîдержаòñÿ îáà èñõîäíûõ ïðåäñòàâления
ïðè ñîîòâåòñòâующем ïîдборе ìàòðèö
ненты
(0, 1), (1, 0),(1, 1)
1
1
,
)= (
2
2
â произвîäíîé
1
1
,
) ⊕ (0, 0) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0) ⊕ (1, 1)
2
2
1
(0, 0)è(
1
,
)
. Ñëåäîâàтельно,
2
2
Γµ, âûðåзающих лишние êîìïî-
∂µψ
, ìîæíî îáåñïå÷èòü реляти-
âèñòñêóþ èíâариантноñòü уравнения (1.2).
Отметим, ÷òî âîçìîæåí åùå âариант, êîãäà ïðåäñòàâлениеTñîñòîèò
èç íå зацепляющихñÿ äðóã ñ äðóãîì ïðèâîдимых ôðàãìåíòîâ, óäîâëåòâî-
ряющих ñôîðìóлировàííîìó условию. Â ýòîì случае ñîîòâåòñòâующее
ÐÂÓ ÿâëÿåòñÿ распадающимся â смысле собственной ãðóïïû Ëоренца.
Найдем âèä ìàòðèö
шения (1.3) видно, ÷òî äîñòàòî÷íîнайти ëèøü ìàòðèöó
îднозна÷íî âîññòàíîâÿòñÿ. Äëÿ ìàòðèöû
Γµ, óäîâëåòâоряющих условиям (7.5). Èç ñîîòíî-
Γ4, êàê îñòàльные
Γ4имеем ñëåдующие ñîîтноше-
íèÿ:
[Jij, Γ4] = 0, [Ji4, Γ4] = Γi,
[Ji4, [Ji4, Γ4]] = −Γ4, [F3, [F3, Γ4]] = Γ4,
[H+, Γ4] = [H−, Γ4] = [H3, Γ4] = 0.
Òàêèì образîì, çàäà÷à îá îïðåделении ÷åòâåðêè ìàòðèö
ê îòûñêàíèþ ìàòðèöû
Γ4, óäîâëåòâоряющей условиям (7.23), (7.24).
Γµñâîäèòñÿ
(7.23)
(7.24)
Пусть ïðîñòранствîR, â êîòîðîì действóåò ïðåäñòàâлениеT, ðàñ-
кладывàåòñÿ â прямую ñóììó ïîäïðîñòранств
Rτ, â êàæäîì èç êîòîðûõ
действóåò непривîäèìîå ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëоренца
276 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
τ ∼ (l1, l2)
å. базис èç собственных âåêòîðîâ операòîðà
ýлементы ìàòðèöû
. Â ïîäïðîñòранствå
Γ4, çàïèñанной â ýòîì базисå. Òîãäà
τ
Γ4ξ
sk
=
′
τ
Rτâûáåðåì êаноничеñêèé базис
H3. Обозна÷èì ÷åðåç
′
s
′
ττ
c
′
sk,s′k
′
k
Èç ñîîтношений (7.24), îçíàчающих, ÷òî ìàòðèöà
′
τ
ξ
.
′
s′k
Γ4êîммутирóåò ñ
{ξ
τ
}
, ò.
sk
′
ττ
c
sk,s′k
(7.25)
ãенераòорами ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений, ñîãласно лемме Øóðà
ïîлучаем
′
Найдем числа
s
c
. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîñëåäíèì èç ñîîтношений (7.23),
′
ττ
применяя åãî ê âåêòîðó
ττ
c
sk,s′k
τ
ξ
:
sk
[F3, [F3, Γ4]] ξ
′
= c
s
ττ
δ
′
ss
τ
= Γ4ξ
sk
′
′
δ
kk
.
τ
.
sk
(7.26)
(7.27)
Ðàçâåðòûâàÿ ðàâенствî (7.27), ñ ïîмощью ñîîтношений (7.25), (7.26) è
выражåíèÿ (7.13) äëÿ операòîðà
F3, придем ê ñëåдующей системе óðàâ-
нений
′
B
B
′
B
τ
s+1
τ
s+1
c
c
s+1
ττ
s+1
ττ
′
′
− 2B
− 2B
τ
s
τ
B
s
′
τ
τ
s
B
B
s+1
′
τ
s+1
c
ττ
s
c
′
ττ
s
τ
s
+ B
′
+ B
τ
s
′
τ
s
B
B
τ
s+1
′
τ
s+1
c
c
s−1
ττ
s−1
ττ
′
′
= 0,
= 0,
′
′
2(s + 1)2B
Çäåñü
A
B
B
τ
s
τ
s
′
τ
s
2B
è
(A
′
τ
(A
s−1
τ
s−1
′
τ
B
s+1
′
τ
s+1
+s2(B
τ
B
обозна÷àþò âеличины, îïðåделенные ôîðìóëàìè (7.16) â
s
+ A
τ
+ A
s
s+1
τ
c
s+1
ττ
+(A
τ
B
s+1
′
τ
)2+ s2(B
s
′
τ
− 2A
s
τ
− 2A
s
− [(B
′
′
τ
− A
s
s+1
c
− [(s + 1)2(B
′
ττ
τ
)c
s
′
)c
s+1
τ
)2] c
s
τ
s
s
ττ
′
τ
)2] c
непривîäèìîì ïðåäñòàâленииτ.
s
= B
′
ττ
= B
′
)2+ (B
s
′
ττ
s
ττ
τ
(2A
s
′
τ
(2A
s
τ
s+1
+ 2B
′
τ
s+1
+ 2s2B
′
′
τ
s−1
τ
s−1
)2+ (B
′
τ
B
s
s
τ
− A
− A
s−1
c
ττ
s
′
τ
s−1
′
τ
s−1
′
τ
)2+ (B
= 0,
)2+ (s + 1)2(B
′
s−1
τ
τ
B
c
= 4c
s
′
s
ττ
− A
− A
τ
s
τ
s
s
τ
s+1
s
ττ
)c
′
)c
τ
)2+
.
′
s−1
′
ττ
s−1
′
ττ
)2+
,
,
(7.28)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 277
Разрешая êàêèå-ëèáî òðè èç уравнений системы (7.28) îòíîсительно
s−1
c
, c
′
ττ
óáеждаемся, ÷òî
êîмпоненты
ýòîì числа
Ïîдчеркнем åùå ðàç, ÷òî числа
зацепляющихñÿ êîмпонентτè
êèì образîì, îêîí÷àтельно ýлементы ìàòðèöû
(базисå ÃельфандаЯгëîìà) èìåþò âèä (7.26), ãäå числа
s
ττ
s+1
, c
′
è ïîäñòàâëÿÿ ïîлученные çíàчения â îñòàльные уравнения,
′
ττ
s
c
′
ττ
τ ∼ (l1, l2)èτ′∼ (l
s
c
èìåþò âèä (1.7).
′
ττ
ìîæåò áûòü îòлично îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà
′
′
, l
)
ÿâëÿþòñÿ зацепляющимися. Ïðè
1
2
s
ττ
s
è
c
′
îòличны îò íóëÿ òîëüêî äëÿ
τ′τ
s
c
ττ
′
= c
s
τ′τ
= 0
. Òà-
c
′
τ
. Â îñòàльных случаях
Γ4â êаноничеñêîì базисå
s
c
îïðåäåëÿ-
′
ττ
þòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.7) è îòличны îò íóëÿ òîëüêî â òîì случае, êîãäà
êîмпонентыτè
Обозна÷èâ ýлементы ìàòðèö
′
τ
зацепляюòñÿ.
Γ1, Γ2, Γ3ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç
ττ
a
sk,s′k
′
′
, b
′
ττ
sk,s′k
′
, d
′
ττ
sk,s′k
,
′
ïîлучаем, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé(1.3), ñëåдующие выражåíèÿ äëÿ ýòèõ ýëå-
ìåíòîâ:
′
ττ
a
sk;s−1,k−1
′
ττ
a
sk;s−1,k+1
ττ
a
sk;s,k−1
ττ
a
sk;s,k+1
′
′
= −ib
= ib
=
= −
′
ττ
sk;s−1,k−1
′
ττ
sk;s−1,k+1
′
ττ
sk;s,k−1
′
ττ
sk;s,k+1
a
ττ
sk;s+1,k−1
= −ib
= ib
1
(s − k + 1)(s − k + 2) (B
2
a
1
(s + k + 1)(s + k + 2) (B
2
1
=
2
1
= −
2
1
=
2
1
= −
2
′
′
ττ
sk;s+1,k+1
(s + k)(s + k − 1) (B
(s − k)(s − k − 1) (B
(s + k)(s − k + 1) (A
(s − k)(s + k + 1) (A
′
= ib
ττ
sk;s+1,k−1
τ
s+1
′
ττ
sk;s+1,k+1
τ
s+1
c
s+1
ττ
=
s+1
c
ττ
=
′
− B
′
− B
= −ib
τ
s
τ
s
τ
s
τ
s
′
τ
s+1
τ
s+1
s−1
c
ττ
s−1
c
ττ
− A
− A
s
c
ττ
′
c
′
′
s
ττ
− B
− B
′
τ
s
′
τ
s
),
′
′
) c
) c
),
s
ττ
s
ττ
′
τ
s
c
),
′
s
ττ
′
τ
s
c
),
′
s
ττ
,
′
,
′
d
′
ττ
sk;sk
= k (A
τ
s
′
− A
τ
s
) c
s
ττ
,
′
278 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
′
ττ
′
ττ
d
sk;s+1,k
d
sk;s−1,k
= −(s + 1)2− k2(B
=√s2− k2(B
Êàê è ранее, êîмпонентыτè
s−1
τ
c
′
s
ττ
s+1
τ
c
s+1
ττ
′
τ
â ýòèõ ôîðìóëàõ ïðåäïîлагаюòñÿ
− B
− B
′
′
τ
s
c
),
′
s
ττ
′
τ
s
c
s+1
ττ
).
′
(7.29)
зацепляющимися.
Ôîðìóëû (1.7) è (7.29) ñîдержаòïîëíîå решение çàäà÷èîá îòûñêàíèè
âñåõ уравнений, èíâариантных îòíîсительно собственных преобразîâà-
íèé Ëоренца. Ìû видим, ÷òî òàêèå уравнения ïîëíîñòüþ îïðåделяюòñÿ
набороì÷èñåë
s
c
, îòâåчающих различным парам зацепляющихñÿ непри-
′
ττ
âîдимых êîмпонент ïðåäñòàâленияT.
7.2. Óравнения, инвариантные îтносительно
ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца
Òеперь рассмоòðèì ÐÂÓ, èíâариантные îòíîсительно преобразîâà-
íèéïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.Íàïîìíèì,÷òîïîëíàÿ ãðóïïà Ëоренцаïîëó-
÷àåòñÿ èç собственной ãðóïïû добавлением операции ïðîñòранственногî
îòðàæåíèÿ
xi−→ −xi, x4−→ x4.
Пусть â ïðîñòранствåRзадано êàêîå-íèáóäü ïðåäñòàâление ïîëíîé
ãðóïïû ËоренцаT. Òåì ñàìûì âозникàåò è ïðåäñòàâление собственной
ãðóïïû Ëоренца
æåíèþ (
P2= I
жащемуP-îòðàæåíèå, ñîîòâåòñòâóåò операòîð
H±, H3, F±, F3 инфинитеçèìàльные операòîðû ïðåäñòàâления
ñòâенной ãðóïïû Ëоренца. Ïî ýòèì операòîðàì ïðåäñòàâление
T′. Обозна÷èì ÷åðåçPопераòîð,ñîîòâåòñòâующийîòðà-
). Òîãäà êàæäîìó преобразîâàíèþ ãðóïïû Ëоренца, ñîäåð-
P T′. Пусть по-прежнему
T′ñîá-
T′îäíî-
çíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîлучить ïðåäñòàâление ïîë-
íîé ãðóïïû Ëоренца, íóæíî çíàòü åùå, êàê действóåò операòîðPâ ïðî-
ñòранствåR.
Íàпишемñîîтношения êîììóòàöèè между операòорами
H, FèP
. Ïî-
ñêîëüêó îòðàæåíèå ïåðåñòàíîâî÷íî ñ вращениями, òî è операòîðPêîì-
мутирóåò ñ операòорами, ñîîòâåòñòâующими вращениям. Ñëåäîâàтельно,
èìåþò ìåñòî ñîîтношения
P H+P−1= H+, PH−P−1= H−, PH3P−1= H3.
(7.30)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 279
Äëÿ операòîðîâ
P F+P−1= −F+, PF−P−1= −F−, PF3P−1= −F3.
F+, F−, F3ïîлучаем
(7.31)
Èç ðàâенств (7.30), (7.31) ìîæíî ïîлучить ñîîтношение
P T′P−1=˙T′,
ãäå˙T′ ïðåäñòàâление, сопряжåííîå ê
T′.
(7.32)
Íàïîìíèì,÷òîнепривîдимыеïðåäñòàâления собственной ãðóïïûËî-
ренца ñîîòíîñÿòñÿ ñëåдующим образîì: åñëè
τ ∼ (l1, l2)
, òî˙τ ∼ (l2, l1)
.
Ðàâенствî (7.32) îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëî-
ренца
T′, ïîðîждаемоå ïðåäñòàâлением ïîëíîé ãðóïïû ËоренцаT, ýêâè-
âàлентно ñâîåìó сопряжåííîìó ïðåäñòàâлению.
Ïîêàæåì, ÷òî ïðåäñòàâление
T′собственной ãðóïïû Ëоренца â ïðî-
ñòранствåRèëè непривîäèìî, èëè раскладывàåòñÿ â ñóììó äâóõ непри-
âîдимых ïðåäñòàâлений (ò. å. ïðîñòранствîRразбивàåòñÿ íà äâà ïîä-
ïðîñòранствà, непривîдимых îòíîсительно ïðåäñòàâления
ïîäïðîñòранствî èçR, ãäå ïðåäñòàâление
ренца непривîäèìî è îïðåделяетñÿ парой ÷èñåë
÷åðåç
êóïíîñòü âñåõ âåêòîðîâ âèäà
R
образ ïðîñòранствà
˙
τ
Rτïðè действии операòîðîìP(ò. å. ñîâî-
P ξ
, ãäåξ ýлемент
ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòранствîì âR. Ïðè ýòîì
операòîðîâ
Hi, Fi(i = + , −, 3)
:
T′собственной ãðóïïû Ëî-
τ ∼ (l1, l2)
Rτ). Очевидно, ÷òî
R
èíâариантно îòíîсительно
˙
τ
T′). Пусть
. Обозна÷èì
R
R
τ
˙
τ
HiRτ= Rτ, FiRτ= Rτ.
Íî òîãäà èç ñîîтношений êîììóòàöèè (7.30), (7.31) имеем
HiR
= HiP Rτ= P HiRτ= P Rτ= R
˙
τ
,
˙
τ
FiRτ= FiP Rτ= −P FiRτ= −P Rτ= −Rτ= Rτ.
Íåòðóäíî òàêæå видеть, ÷òî ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû
действующее â
ïîäïðîñòранствî
ñòâенной ãðóïïû Ëоренца, òî
тельно ýòîãî ïðåäñòàâления. Íî ïîñêîëüêó
R
, непривîäèìî. Äействительно, åñëè áû â
˙
τ
′
R
, èíâариантноå îòíîсительно ïðåäñòàâления
˙
τ
′
P R
òàêæå áûëî áû èíâариантно îòíîñè-
˙
τ
P R
= Rτ(âñïîìíèì, ÷òî
˙
τ
R
нашлоñü
˙
τ
T′,
T′ñîá-
280 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
P2= I
T′â
), òî
Rτáûëî áû ïðèâîäèìî, âопреки èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ.
′
P R
ñîñòàâëÿëî áû часть ïðîñòранствà
˙
τ
Rτè ïðåäñòàâление
Òàêèì образîì, â ïðîñòранствåR, ãäå действóåò непривîäèìîå ïðåä-
ñòàâление ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, наряду ñ êаждым ïîäïðîñòранствîì
Rτ, â êîòîðîìïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëоренца
ìî, åñòü ïîäïðîñòранствî
âîäèìî (ïðè ýòîì
P R
′
R
, â êîòîðîì ïðåäñòàâление
˙
τ
= Rτ). Â ñèëó непривîäèìîñòè обоих ïîäïðî-
˙
τ
T′непривîäè-
T′òàêæå непри-
ñòранств, îíè ëèáî совпадаюò äðóã ñ äðóãîì è, ñëåäîâàтельно, ñî âñåì
ïðîñòранствîìR, ëèáî ïîäïðîñòранствà
Rτè
R
íå èìåþò общих ýëå-
˙
τ
ìåíòîâ, îòличных îò íóëÿ.
 ïåðâîì случае ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëоренца
T′, ïî-
ðîждаемоå непривîдимым ïðåäñòàâлением ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, òàê-
æåнепривîäèìîè задаетñÿпарой
ïðåäñòàâлений ÿâëÿþòñÿ ñêàлярноå
ричный òåíçîð âòîðîãî ранга ñî ñëåäîì, равным íóëþ,
Âî âòîðîìслучае ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû Ëоренца
âîäèìî è ÿâëÿåòñÿ прямой ñóììîé непривîдимых ïðåäñòàâленийτè
действующих â ïðîñòранствàõ
åñëè
τ ∼ (l1, l2)
ранга
T′= (0, 1/2) ⊕ (1/2, 0)
T′= (0, 1)⊕(1, 0)
, ãäå
l1= l2, òî˙τ ∼ (l2, l1)
. Заметим, ÷òîäëÿ ïîлуцелогî спина ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî
τ ∼ (l1, l2)
(0, 0)
,ãäå
l1= l2.Примерами òàêèõ
, âåêòîðíîå
(1/2, 1/2)
(1, 1)
è ò. ä.
, симмет-
T′ïðè-
τ
Rτè
R
è сопряженных äðóã äðóãó, ò. å.
˙
τ
. Примеры: биспинор ïåðâîãî
, антисимметричный òåíçîð âòîðîãî ранга
âòîðîé случай.
Найдем âèä операòîðà ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿPâ êанониче-
ñêîì базисå
Рассмоòðèì ñíà÷àëà первый случай (ïðåäñòàâление
{ξ
τ
}
ïðåäñòàâления
sk
T′собственной ãðóïïû Ëоренца.
T′непривîäèìî).
Çàпишем
˙
,
τ
P ξ
sk
=
Íåîáõîäèìî îïðåделить общий âèä ÷èñåë
τ
P
′
s
sk,s′k
′
k
′
P
sk,s′k
τ
ξ
.
′
s′k
τ
. Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíî-
′
(7.33)
шениями (7.30), îçíàчающими,÷òî операòîðPêîммутирóåò ñ операòîðà-
ìè ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений. Ïîлучим
Îñòàåòñÿ найти числа
τ
P
sk,s′k
s
P
. Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîтношением
τ
′
= P
s
′
δ
τ
′
δ
kk
.
ss
(7.34)
P F3= −F3P
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]