Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ãëàâà 8.
Ìåòîä проективных операòîðîâ
Ô. È. Ôåäîðîâà
8.1. Óñåченные минимàльные ïîëèíîìû
Ìåòîä ïðîåêтивных операòîðîâ, разрабоòанный Ô. È. Ôåдоровым,
ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü â êîìïàêòíîì êîâариантноì âèäå âñå имеющие ôèçè-
÷åñêèé смысл решения релятивистñêèõ âîлновых уравнений äëÿ ýлемен-
òарных частиц ñ любыми допустимыми çíàчениями спина è ìàññû. Ïðè
ýòîì èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî èíâариантные, íå зависящие îò выбора базисà
ñâойствà ìàòðèö
Ïîñêîëüêó ìåòîä ïðîåêтивных операòîðîâ широкî èñïîëüçóåòñÿ â íà-
øåé ðàáîòå (ãëàâû 2 è 5), íàïîìíèì åãî îсновные ïîëîæåíèÿ [11, 57]
применительно ê ÐÂÓ âèäà (1.2) äëÿ частиц ñ îäíèì çíàчением ìàññû.
Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [174], минимàëüíîå уравнение äëÿ
операòîðà
ˆp = ipµΓµâ ýòîì случае имеет âèä
Γµ, âõîдящих â ýòè уравнения.
P (ˆp) = ˆpn(ˆp2− m2) = 0.
Ââåäåì â рассмоòрение óñåченные (óðåзанные) минимàльные ïîëè-
íîìû
Сравнивàÿ (8.1) è (8.2), íàõîäèì, ÷òî
P±(ˆp)
ñîãласно îïðåделению
P±(ˆp) = ˆpn(ˆp ± m).
(ˆp ∓ m)P±(ˆp) = 0,
301
(8.1)
(8.2)
(8.3)
302 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
èëè
ˆpP±(ˆp) = ±mP±(ˆp).
Òеперь, сравнивàÿ (8.3), (8.4) ñ уравнением (5.14) äëÿ ôункции
ïîлучаем, ÷òî êаждый ñòîëáåö ìàòðèöû
òîð, áóäåò óäîâëåòâорять уравнению
ˆpψ(±p) = ±mψ(±p),
ò. å. áóäåò пропорционаëåí ñîîòâåòñòâующей ôункции
çàíî â [174], âñëåдствие îòñóòствия â ïîëèíîìå (8.1) íåíóлевых êðàòíûõ
êорней ñòîëáöû ìàòðèöû
ñòâенные âåêòîðû операòîðàˆp, îòâåчающие собствåííîìó çíàчению
P±(ˆp)
ñîдержаò âñå линейно íåзависимые ñîá-
P±(ˆp)
, рассмàòðèâаемый êàê âåê-
ψ(±p)
. Êàê ïîêà-
(8.4)
ψ(p)
(8.5)
±m
8.2. Проективные операòîðû
Ââåäåì äàëåå ìàòðèöó
ìíîжителем
τ±(ˆp) =
τ±(ˆp)
, îòличающуюся îò
P±(ˆp)
P±(±m)
ˆpn(ˆp ± m)
=
2(±m)
n+1
P±(ˆp)
.
численным
(8.6)
,
.
Ëåãêî óáåдиться, ÷òî операòîð
ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîåêтивным операòîðîì, выделяющим èç
ñòâåííîñîñòîÿíèÿ частицы ñ ïîëîжительной
энергией. Ëåãêî ïðîâерить òàêæå справåäëèâîñòü ñîîтношения
Àíàлогичным образîì ìîæíî ïîñòроить ïðîåêтивные операòîðû,âû-
деляющие èç любогî ñîñòîÿíèÿ ñîдержащуюся â íåì часть, êîòîðàÿ ñî-
îòâåòñòâóåò îïðåделенным çíàчениям àáñîëþòíîé âеличины è ïðîекции
спина.
Минимàльный ïîëèíîì äëÿ операòîðàˆS2имеет общий âèä
Q(ˆS2) =ˆS2(ˆS2− 2)(ˆS2− 6)...(ˆS2− s(s + 1))
τ±(ˆp)
(τ±(ˆp))2= τ±(ˆp),
τ+τ−= 0.
óäîâëåòâоряет ñîîтношению
(+m)
èîòðèöàтельной
ψ(p)
(8.7)
ñîîòâåò-
(−m)
(8.8)
(8.9)
â случае целогî è
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 303
Q(ˆS2) = (ˆS2−
3
)(ˆS2−
4
15
)...(ˆS2− s(s + 1))
4
(8.10)
â случае ïîлуцелогî спинаs.
Рассмоòðèì óñåченный ïîëèíîì
Qs(ˆS2)
, êîòîðûé îïðåделим ñëåäóþ-
ùèì образîì:
(ˆS2) − s(s + 1)Qs(ˆS2) ≡ Q(ˆS2).
(8.11)
Èñïîëüçóÿ (8.11), ëåãêî ïîñòроить íîðмированные операòîðû
2
σ
s
Qs(ˆS2)
=
Qs(s(s + 1))
,
(8.12)
îáладающие òðåáóемыми ñâойствàìè ïðîåêтивных операòîðîâ
s
2
σ
s
= 1.
(8.13)
ψ
(σ
2
)2= σ
s
2
, σ
s
2
2
σ
= 0,
′
s
s
Ñ ïîмощью операòîðîâ (8.12), учитывàÿ (8.13), ëþáóþ ôункцию
ìîæíî разлоæèòü ïî ñîñòîяниям, îòâåчающим îïðåделенным çíàчениям
àáñîëþòíîé âеличины спинаs:
ψ =
ψs, ψs= σ
s
2
ψ, σ
s
2
ψs= s(s + 1)ψs.
s
(8.14)
Íåòðóäíî видеть, ÷òî â ñèëó êîììóòàöèè операòîðîâˆpèˆS2произвå-
дение ïðîåêтивных операòîðîâ
τ±(ˆp)èσ
2
(ˆS2)
òàêæå áóäåò ïðîåêтивным
s
операòîðîì
2
τ±σ
s
= σ
2
τ±= τ
s
(±)
s
, (τ
(±)
s
)2= τ
(±)
s
.
(8.15)
Äëÿ операòîðà ïðîекции спинаˆSnминимàльные ïîëèíîìû â случае
целогî è ïîлуцелогî спинов èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
Q(ˆSn) =ˆSn(ˆS
Q(ˆSn) = (ˆS
n
2
− (
2
− 1)(ˆS
n
1
)2)(ˆS
2
2
− 22)...(ˆS
n
2
− (
n
3
)2)...(ˆS
2
2
− k2)...(ˆS
n
2
− k2)...(ˆS
n
2
− s2),
n
2
− s2).
n
(8.16)
(8.17)
×òîáû выделить ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåделенными çíàчениями ïðîекции
спина, òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâующие ïðîåêтивные опера-
òîðû, ïîñòðîåíèå êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî òåì æå правилам, èñõîäÿ
304 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
èç минимàльных уравнений (8.16), (8.17) äëÿ операòîðà ïðîекции спина
ˆ
Sn. Перепишем ýòè уравнения â âèäå
ˆ
SnQk(ˆSn) = k Qk(ˆSn),
ãäå
Qk(ˆSn)
óñåченный минимàльный ïîëèíîì, причем
Qk(ˆSn) =ˆSn(ˆS
2
− 1)...(ˆSn+ k)...(ˆS
n
2
− s2)
n
(8.18)
â случае целогî è
Qk(ˆSn) = (ˆS
n
2
− (
)2)...(ˆSn+ k)...(ˆS
2
2
− s2)
n
(8.19)
1
â случае ïîлуцелогî спина. Ïîñòðîèì íîðмированные операòîðû
Qk(ˆSn)
βk=
.
(8.20)
Qk(k)
Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâенствà
2
β
= βk, βkβ
k
îçíàчающиеïðîåêтивный õàðàêòåð операòîðîâ
′
= 0 (k = k′),
k
β
. Ïîñêîëüêóминимàëü-
k
(8.21)
íûå ïîëèíîìû (8.16), (8.17) операòîðàˆSníå èìåþò êðàòíûõ êорней, òî
справåäëèâî òîæäåñòâåííîå ñîîтношение
βk= 1,
k
(8.22)
ãäåñóммировàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïðîекциям спина. Ïîýòîìó äëÿ любогî
ñîñòîÿíèÿψìîæíî íàïèñàòü
ψ =
ψk, ψk= βkψ,ˆSnψk= kψk.
k
(8.23)
Ïîлученные ðàâенствà äàþò разлоæåíèå ôункцииψíà ñîñòîÿíèÿ, ñîîò-
âåòñòâующие âñåì âîçìîæíûì çíàчениям ïðîекции спинаk.
Çíàÿ минимàльные ïîëèíîìû
ëèáîвычислений ïîлучитьлюбой собственныйâåêòîðñîñòîÿíèÿ
P (ˆp), Q(ˆS2), Q(ˆSn)
, ìîæíî áåç êàêèõ-
(±)
ψ
(p)
sk
îòâåчающийзаданноìó 4-èìïóëüñóp, çíàêó энергии (ìàññû), àáñîëþòíîé
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 305
âеличине è ïðîекции спина íà заданноå íàïðàâлениеn. Äëÿ ýòîãî íàäî
òîëüêî перемноæèòü ïðîåêтивные операòîðû (8.6), (8.12), (8.20):
τ
(ˆp) = τ±σ
rsk
2
βk(r = +, −).
s
(8.24)
Произвåдение (8.24) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîåêтивным операòîðîì. Ìàòðèöà
τ
îáладает òåì ñâойствîì, ÷òî êаждый èç åå ñòîлбцов ÿâëÿåòñÿ ñîá-
rsk
ñòâенным âåêòîðîì операòîðîâ
ˆp,ˆS2,ˆSn. Äëÿ частицы ñ îäíèì çíàчением
спина è áåç äîïîлнительных âíóòренних степеней ñâîáîäû òàêîå ñîñòîÿ-
íèå åдинствåííî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ñòîëáöû ìàòðèöû
ционаëüíû îäíîìó è òîìó æå ìíîãîêîмпонентноìó âåêòîðó
ò. å.
ψ
ïðåäñòàâëÿåò собой ìàòрицу-диаду
rsk
τ
Çäåñü первый âåêòîð диады
= ψ
rsk
ψ
åñòü âåêòîðрассмàòðèâаемогîñîñòîÿíèÿ.
rsk
rsk
· φ.
ψ
τ
rsk
пропор-
(±)
≡ ψ
sk
rsk
(8.25)
Äëÿ îïðåделения âåêòîðàφíàäî ó÷åñòü, âо-первых, ÷òî ìàòðèöàˆpè
ìàòðèöà èíâариантной ýðìèòîâîé ôîðìûηóäîâëåòâîðÿþò ñîîтношению
[57]
ˆpη = ηˆp+.
(8.26)
Êðîìå òîãî, ìàòðèöàηêîммутирóåò ñ ãенераòорами ïðåäñòàâления ãðóï-
ïû вращений
ˆ
S2è ïðîекции спинаˆSn, ñîñòàâленными èç ýòèõ ãенераòîðîâ:
[ij]
J
è, ñëåäîâàтельно, ñ ýðìèòовыми операòорами êâàäðàòà
,
ηˆS2=ˆS2η, ηˆSn=ˆSnη.
(8.27)
Ñîîтношения (8.26), (8.27) наряду ñ êîììóòацией операòîðîâˆS2èˆS
îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöà
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà выражåíèå (8.25) äëÿ
τ
óäîâëåòâоряет условию òèïà (8.26), à именно:
rsk
τ
rsk
ψ
· φη = ηφ∗· ψ
rsk
η = η τ
+
rsk
τ
.
rsk
, ïîлучим
∗
.
rsk
(8.28)
(8.29)
Óìíîæàÿ ýòî ñîîтношение ñëåâà íà произвîльный âåêòîðχ, à справà íà
η
è учитывàÿ, ÷òî
η=η
∗
=˜η=η−1=
+
η
,
n
306 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
áóäåì иметь
φ =
χηφ
χφ
∗
∗
· ψ
η = C¯ψ
rsk
rsk
,
ãäåC íåêîòîðûéчисловîé íîðмировî÷íûé ìíîжитель. Îòñþäà äëÿ
ñëåäóåò
τ
rsk
= Cψ
rsk
·¯ψ
rsk
.
Äëÿ îïðåделения êîýôфициентàC, âõîдящегî â ìàòрицу-диаду (8.30),
учтем, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïðîåêтивной, ò. å.
(Cψ ·¯ψ)2= (Cψ ·¯ψ)(Cψ ·¯ψ) = C2(¯ψψ)ψ ·¯ψ = C ψ ·¯ψ.
Îòñþäà ïîñëå взятия ñëåäîâ îò ëåâîé è ïðàâîé частей
Sp
{C2(¯ψψ)ψ ·¯ψ} = C2(¯ψψ)2=Sp(Cψ ·¯ψ) = C(¯ψψ)
ïîлучаем
C(¯ψψ) = 1.
τ
rsk
(8.30)
(8.31)
Ïîñêîëüêóη ýðìèòîâñêàÿ ìàòðèöà, òî
(¯ψψ)
âåùåñòâåííîå число,
ïîýòîìóCòàêæå âñåãäà âåùåñòâåííîå число. Íå óменьшая общноñòè,
ìîæíî принять
C = ±1
ïðè
, òàê ÷òî
ïðè
C = +1
C = −1
¯
ψψ = 1 ,
¯
ψψ = −1 .
Òàêèì образîì, âìåñòî (8.30) имеем
τ
rsk
= ±ψ
rsk
· ψ
rsk
(8.32)
è, êðîìå òîãî,
Sp
τ
rsk
= ±¯ψ
rskψrsk
= 1.
(8.33)
Ñîîтношение
¯
ψ
rskψrsk
= ±1
(8.34)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 307
îïðåделяет íîðмировкó ôункций
ψ
, êîòîðàÿ назывàåòñÿ íîðмировкîé
rsk
ïî энергии, èëè èíâариантной íîðмировкîé.
Âìåñòî íîðмировки (8.34) ÷àñòî применяетñÿ íîðмировкà ïî заряду,
ñîãласно êîòîðîé
¯
ψΓ4ψ = ±1.
(8.35)
Ýòè äâå íîðмировки ñâязаны между собой ñîîтношением
¯
ψΓ4ψ =
| p0|
¯
ψψ.
(8.36)
m
Ïðè íîðмировкå ïî заряду äëÿ ìàòðèöû
τ
âìåñòî (8.32) ïîлучим
rsk
| p0|
τ
= ±
rsk
Èòàê, знания минимàльных ïîëèíîìîâ операòîðîâ
m
ψ
rsk
·¯ψ
rsk
.
(8.37)
ˆp,ˆS2,ˆSnäîñòàòî÷-
íî, ÷òîáû ïîлучить â èíâариантной ôîðìå решение äëÿ любогî ñîñòîÿ-
íèÿ ñâîáîäíîãî ïîëÿ, íîðмированногî ïî условиям (8.34) èëè (8.35). È
íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïðîåêтивная ìàòрица-диада
öèþ
ψ
,à íåêîòîðóþ билинейную êîмбинациюåå êîмпонент, òàêèå ôóí-
rsk
τ
äàåò íå ñàìó ôóíê-
rsk
даментàльные âеличины, êàêэнергия è заряд ïîëÿ,выражаюòñÿ íåïîñðåä-
ñòâåííî ÷åðåç
τ
. Áîëåå òîãî, âñå имеющие прямой физичеñêèé смысл
rsk
билинейные ïîψñîîтношения, вычисление êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ âажной
çàäà÷åé теории, могут áûòü выражåíû ÷åðåç ìàòðèöû
τ
, òî÷íåå ãîâîðÿ,
rsk
÷åðåç èõ ñëåäû. Óáåдимся â ýòîì íà êонкретных примерах.
8.3. Äåфинитность энергии è заряда
0
0
Êàê èçâåñòíî, энергия äåфинитна, åñëè
ψ
¯
ψ
> 0
r
äëÿ âñåõ
r
âåòñòâующих ïîêîящейся частице. Äëÿ äåфинитноñòè заряда äëÿ âñåõ
0
Γ4ψ
r
0
> 0
. Ñîãласно (8.32)
r
Sp
(τ
η) = ±ψ
rsk
+
ψ
ψ
> 0
rsk
rsk
+
ψ
,
rsk
rsk
, òî çíàê выражåíèÿ Sp
(τ
äîëæíî áûòü
ãäå знаки
¯
ψ
(±)
ñîîòâåòñòâóþò àíàлогичным çíàêàì â условии íîðмировки
(8.34). À ïîñêîëüêó
çíàêîì энергии. Учитывàÿ, ÷òî â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ äëÿ ñâîáîäíîé частицы
rsk
0
ψ
r
η)
è áóäåò
, ñîîò-
ψ
(8.38)
0
r
308 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
âñå çíàчения àáñîëþòíîé âеличины è ïðîекции спина равноправны, çíàê
энергии ìîæåò зависåòü òîëüêî îò çíàêà ìàññû, ò. å. îò êâàíòîâîãî числа
r
. Ïîýòîìó âìåñòî ìàòðèöû
τ
ìîæíî взять
rsk
τr≡ τ±=
s,k
τ
rsk
,
(8.39)
è òîãäà äëÿ ïîëîжительной îïðåделенноñòè энергии äîñòàòî÷íî âûïîë-
нения неравенствà
0
Sp
(τ
ãäå
0
τ
ïðåäñòàâëÿåò собой операòîð
±
η) > 0,
±
τ±(ˆp)
ïðè
p = (0 , im)
. Äëÿ äåфинит-
(8.40)
íîñòè заряда äîëæíî âûïîлняться неравенствî
(Γ4τ
0
η) > 0.
±
Sp
Äëÿ частицы ñ îäíîé ìассой минимàльный ïîëèíîì ìàòðèöû
ñîîòâåòствии ñ (8.1) имеет общий âèä
n
2
Γ
(Γ
− 1) = 0.
4
4
Îòñþäà ñîãласно îïðåделению (8.6)
n
Γ
(Γ4± 1)
0
τ
±
4
=
(±1)n(±2)
=
1
(±1)n(Γ
2
n+1
4
± Γ
n
).
4
Óсловие äåфинитноñòè энергии âûïîлняетñÿ, êîãäà выражåíèÿ
η) =
n+1
1
2
Sp
Sp
(Γ
(Γ
n+1
4
n+1
4
η) +Sp(Γ
η) −Sp(Γ
n
η),
4
n
4
η),
Sp
(τ
0
η) =
−
Sp
(τ
0
+
1
(−1)
2
èìåþò îдинакîâûé çíàê, ò. å. èõ произвåдение ïîëîжительно:
(−1)
n+1
(Sp(Γ
n+1
η))2− (Sp(Γ
4
n
4
η))
2
> 0.
(8.41)
Γ4â
(8.42)
(8.43)
(8.44)
Ïîñêîëüêó
Γ4τ
0
±
= ±τ
0
,
±
àíàлогичноå условие äëÿ äåфинитноñòè заряда (8.41) çàпишетñÿ òàê:
(−1)
n
(Sp(Γ
n+1
η))2− (Sp(Γ
4
n
4
η))
2
> 0.
(8.45)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 309
Èíâариантный õàðàêòåð условий (8.44) è (8.45) ïîçâîëÿåò ïðîñòî, íå
ïðèâÿçûâàÿñü ê êàêîé-ëèáî системе îòñ÷åòà, ïðîâерить âûïîлнимоñòü
òребовàíèÿ äåфинитноñòè энергии èëè заряда. Äëÿ ýòîãî íóæíî çíàòü
òîëüêî âèä ìàòðèö
Γ4èη.
Ïðè ïîìîùè ñîîтношений (8.32) è (8.37) äîñòàòî÷íî ïðîñòî вычисля-
þòñÿ общие ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения äëÿ операòорных âîлновых
ôункций. Êàê èçâåñòíî (ñì., íàпример, [175]),
[ψM(x′),¯ψN(x′′)]±=
1
(2π)
ψM(p, +m, s, k)¯ψN(p, +m, s, k) e
3
ψM(p, −m, s, k)¯ψN(p, −m, s, k) e
¯
ψ
ψ
образóþò диаду
M
N
ipx
−ipx
(ψ ·¯ψ)MN.
±
d3p.
(8.46)
Çäåñü
s,k
x = x′− x′′; выражåíèÿ
Áóäåì èñïîëüçîâàòü íîðмировкó ïî заряду (8.35). Ïðè ýòîì â случае
целогî спина âñëåдствие ïîëîжительной îïðåделенноñòè энергии â âû-
ðàæåíèè (8.37) ñëåäóåò áðàòü çíàê
ψ
rsk
·¯ψ
rsk
=
m
| p0|
(+)
äëÿ âñåõ ñîñòîÿíèé, ò. å.
τ
m
=
rsk
| p0|
τrσ
2
s
βk.
(8.47)
Äëÿ ïîлуцелогî спина, êîãäà энергия èíäåфинитна, ïîлучим
ψ
rsk
·¯ψ
rsk
= ±
m
| p0|
τ
rsk
= ±
m
| p0|
τrσ
2
s
βk.
(8.48)
Ñóммировàíèå ïî спинамsè ïðîекциям спинаkâ (8.46) äàåò
[ψM(x′),¯ψN(x′′)]±=
(2π)−3m
d3p
τ+(ˆp)e
ipx
− τ−(ˆp)e
−ipx
=
| p0|
(2π)−3m
d3p
τ+(ˆ∇)e
ipx
− τ−(ˆ∇)e
−ipx
,
(8.49)
| p0|
ãäåˆ∇ = Γµ∂µ.
Èñïîëüçóÿ (8.1), (8.3), (8.6), ìîæíî ïîлучить ñîîтношение
τ±(ˆp) =
(ˆp ± m)ˆp
(±2m)(±m)
n
,
n
(8.50)
310 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî
τ−(ˆp) = τ+(−ˆp),
èëè
τ−(ˆ∇) = τ+(−ˆ∇).
(8.51)
Ñ ó÷åòîì (8.51), (8.49) вытекàþò ôîðìóëû (5.11), (5.12).
8.4. Ðàñ÷åò âåðîятности ïåðåõîäà частицы èç
îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå
Рассмоòðèì åùå âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà частицы èç ñîñòîÿíèÿ
ñîñòîÿíèå
ψ
â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî взаимодействия ñ операòîðîìR.
2
Êàê èçâåñòíî, общее выражåíèå äëÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè пропорционаëüíî
êâàäðàòó ìîäóëÿ ñîîòâåòñòâующегî ìàòричногî ýлементà ïåðåõîäà
W = c |¯ψ2Rψ1|2= c (¯ψ2Rψ1)∗(¯ψ2Rψ1).
Òàê êàê
∗
∗
(¯ψ2Rψ1)∗=¯ψ
R∗ψ
2
1
∗
= ψ
R+ηψ2=¯ψ1ηR+ηψ2,
1
òî (8.52) ìîæíî переписàòü ñëåдующим образîì:
W = c¯ψ1ηR+η(ψ2·¯ψ2)Rψ1= cSp[¯R(ψ2·¯ψ2)R(ψ1·¯ψ1)],
ψ
1
(8.52)
â
¯
R = ηR+η
. Диады
ψ1·¯ψ
1
è
ψ2·¯ψ
ïðåäñòавимы â ñîîòâåòствии ñ (8.32)
2
â âèäå
ψ1·¯ψ1= τ(ˆp1)σ
2
β1, ψ2·¯ψ2= τ(ˆp2)σ
1
2
2
β2.
Òàêèì образîì, вычисление âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ èëè ýôôåêòèâ-
íûõ попере÷íûõ ñåчений äëÿ различных процеññîâ ñâîäèòñÿ ê вычисле-
íèþ ñëåäîâ îò произвåдения ìàòричных операòîðîâ
W = c
Sp
¯
Rτ1σ
2
β1Rτ2σ
1
2
β
.
2
2
(8.53)
Èïîñêîëüêóвычислениеñëåäîâ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî èíâариантным
путем, òî выражåíèå (8.53) ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ
явногî âèäà ìàòðèö
Γµâ êàêîì-ëèáî базисå.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]