Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы

Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 121

Äðугими ñëîâàìè, ñõåìà зацеплений (3.86) распадаетñÿ â рассмàòðèâàå- ìîì случае íà ôðàãменты

2(0, 0)

|

1

2(0, 1) − 2(

1

,

) − 2(1, 0)

2

(3.94)

| |

(0, 2) − (

3

,

) (

2

3

1

,

2

) − (2, 0)

1

è

1

(0, 1) − 2(

1

,

2

) − (1, 0)

| | |

1

3

(

,

) − 2(1, 1) − (

2

3

1

,

).

2

(3.95)

Â ñâîþ î÷åðåäü, èç непривîдимых ïðåäñòàâлений, âõîдящих â (3.94), ìîæíî ñôîðмировàòü óæå âñòðåчавшуюся ñõåìó зацеплений (3.4) è ñëå- дующую:

(0, 1) (1, 0)

| ⊕ |

(0, 2) − (

3

,

) (

2

3

1

,

) − (2, 0).

2

(3.96)

1

Ïåðâàÿ èç íèõ (ñõåìà (3.4)) áûëà ïîдробно èçучена â ïðåдыдущих ðàç- делах è ïðèâîäèò ê уравнению ÄÊ. Ïîêàæåì, ÷òî ñõåìà (3.96) òàêæå îáåñïå÷èâàåò ïîñòðîåíèåP-èíâариантногî ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, äî- ïóñêающегî лагранжåâó ôîðìóлировкó.

Пронуìåðóåì непривîдимые ïðåäñòàâления, ñîдержащиеñÿ â ñõåìå

(3.96):

1

(0, 1) ∼ 1, (

(1, 0) ∼ 4, (

3

,

) ∼ 2, (0, 2) ∼ 3,

2

3

1

,

) ∼ 5 , (2, 0) ∼ 6.

2

122 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

Òîãäà наибоëåå общий âèä ìàòðèöû



0 0

1 54

C1⊗ I

1 45

0

C1=







1

0 c

12

1

c

0 0 0

21

0 0 0 c 0 0 c

Γ4=

Γ4áóäåò ñëåдующим:

3

C2⊗ I



5



0 c



, C2=







2

c



32



0 0 0 c



0 0 c



,

2 23

0 0 0

0 0

2 65

(3.97)





.

(3.98)



2



56

0

ÒребовàíèåP-èíâариантноñòè теории накладывàåò íà ýлементы ñïè- новых áëîêîâ

C1, C2ограничения (ñì. (1.8))

1 12

= c

1

, c

45

c

1 21

= c

1 54

, c

2 23

= c

2

, c

56

2 32

= c

2 65

.

(3.99)

Âîçìîæíîñòü лагранжåâîé ôîðìóлировки â ñîîòâåòствии ñ (1.14) ïðèâî- äèò ê условиям

1

c

η

12

25

= (c

1 54

)∗η

1

, c

14

2 23

2

η

36

= (c

2 65

)∗η

2 25

.

(3.100)

Îáúåдиняя (3.99) è (3.100), ïîлучаем ñîîтношения

1

c

21

= c

1 54

= f a∗, c

2 32

= c

2 65

= gb∗,

ãäå ââåäåíû обозначения

1

η

25

f =

, g =

1

η

14

Минимàльный ïîëèíîì

2

η

36

, a = c

2

η

25

2

Γ

− 1 = 0

4

1

, b = c

12

ïîлучаетñÿ ïðè âûïîлнении ðà-

âенств

f | a |2= g | b |2= 1,

êîòîðûì ìîæíî óäîâëåòâорить, ïîлагая, íàпример,

f = g = a = b = 1.

Òîãäà спиновые áëîêè

C1, C2принимàþò îдинакîâûé âèä

C1= C2= I2⊗ σ1.

2 23

(3.101)

.

(3.102)

(3.103)

(3.104)

Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 123

Íåíóлевые ýлементы

s

η

ìàòðèöû билинейной ôîðìû, имеющей â

ij

рассмàòðèâàåìîì случае ñòðóêòóðó

η =



η1⊗ I

3

η2⊗ I



,

5

(3.105)

â ñîîòâåòствии ñ (3.102), (3.103) могут áûòü выбраны ñëåдующим îáðà- çîì:

1

η

14

(íàïîìíèì, ÷òî

η

s ij

= −η

Ïîлученноå 32-êîмпонентноåÐÂÓñ ìàòрицей

= η

s+1 ij

1 25

).

= −η

2 25

= −η

2 36

= 1

Γ4(3.97), (3.104) è ìàò-

(3.106)

рицей билинейной ôîðìûη(3.105), (3.106) èíâариантно, ïî ïîñòðîå- íèþ, îòíîсительно преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, допускàåò лагранжåâó ôîðìóлировкó è ñ òî÷êè зрения ñòандарòíîé òðàêòîâêè ÐÂÓ описывàåò частицу ñ набороì спинов

0, 1

, îäíîé ìассой è óäâîенным íà- áîðîì âûðîжденных ñîñòîÿíèé. Очевидно òàêæå, ÷òî ýòî уравнение, êàê è уравнение ÄÊ, íå распадаетñÿ â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.

Рассмоòðèì ñõåìó зацеплений (3.95). Ñ ïîмощью допустимогî ïðå-

образîâàíèÿ базисà åå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

1

(0, 1) − (

,

) (

2

| | ⊕ | |

1

3

(

,

) − (1, 1) (1,1)′− (

2

1

,

2

)′− (1, 0)

3

1

,

2

(3.107)

),

îçíàчающему распадение ñîîòâåòñòâующегî ÐÂÓ â прямую ñóììó äâóõ

P

-сопряженных äðóã äðóãó 24-êîмпонентных систем. Дадим ìàòричную ôîðìóлировкó ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, базирóþ-

ùåãîñÿ íà прямой ñóììå ñõåì зацеплений (3.107). Ââåäåì íóмерацию непривîдимых êîмпонент, фигурирующих â (3.107):

1

(

1

(

2

1

,

2

1

,

2

) ∼ 1, (

)′∼ 5, (

1

3

,

) ∼ 2 , (1, 1) ∼ 3, (0, 1) ∼ 4,

2

3

1

,

) ∼ 6 , (1, 1)′∼ 7, (1, 0) ∼ 8.

2

124 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

Òîãäà äëÿ спиновых áëîêîâ





Γ4=

áóäåì иметь выражåíèÿ



0 0 c



0 0 0 c



C0=



0

c

31

0 c

1 13

1 23

0 0 0 0

0 0 0

0 75

c c

(C1)′=



0 0 c



0 0 c



1

c



31 1

c

41



c c

1 32

1 42





C2=





Cs(s = 0 , 1, 2)

0

C

C1⊗ I

0 13



0



0



57





0 0



1 14



1



24

, (C1)′′=





2

0 c

23

2

c

0 0 0

32

0 0 0 c 0 0 c

ìàòðèöû

3

C2⊗ I

, C1=

0 0

2 67

2

0

76





5



0 0 c



0 0 c



1

c



75 1

c

85





.







(C1)

1

c

76 1

c

86

′

(C1)

1 57

1 67

0 0 0 0

′′

1

c

58 1

c

68

(3.108)



,





,





(3.109)

Òребовàíèå релятивистñêîé èíâариантноñòè (1.7) ïðèâîäèò ê ñîîòíî-

шениям



=



=

= ±c

2

c

3

1

c

3

1

, c

58

1 85

0

, c

13

2

, c

23

, c

1

c

13

1

c

23

P

-èíâариантноñòü ÐÂÓ îçíà÷àåò, ÷òî (ñì. (1.8))

1

c

14

1

c

41

1 31

1 32

1 23

1 32

=



=

= ±c



2 3

1 3

0

c

, c

31

2

c

32

1

, c

67

1

, c

76

, c

1 57

1 67

=

2 23

2 32



2 3



1 3

= ±c

0

c

57

2

c

67

2 67

2 76

1

, c

75

1

, c

76

, c

=

1 24



1 42



2 3

1 3

= c

0

c

,

75

2

c

.

76

1

,

68

1

.

86

Óсловие(1.14)âîçìîæíîñòè ïîлучения ÐÂÓ èç èíâариантнойôункции

(3.110)

(3.111)

Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 125

Лагранжа äàåò ðàâенствà

s

η

=

33

s

(c

)∗, c

13

s

η

11

s

η

33

s

(c

)∗, c

23

s

η

26

1

c

85

1

c

86

=

1

η

48 1

η

55

1

η

48 1

η

26

s

c

31

s

c

76

Íàêîíåö, минимàльные ïîëèíîìû

(C0)2− 1 = 0, (C1)2− 1 = 0, (C2)2− 1 = 0

спиновых áëîêîâ

C0, C1, C2áóäóò иметь ìåñòî ïðè âûïîлнении условий

0

c

13

1

+ c

14 1

23

1 24

1

c

41 1

c

42 1

c

32

1

c

32

= 1, c

= 0, c

= 1, c

= 0, c

c

+ c

13

31

1

c

+ c

13

32

1

c

+ c

13

31

1

c

14

31

(c

c

s

75

s

67

(c

0 31

=

1

)∗, c

14

1

)∗, c

24

= c

s

η

77

s

(c

)∗(s = 0 , 1),

57

s

η

55

s

η

26

s

(c

)∗(s = 1 , 2),

32

s

η

2 23

77

1 23

1 14

1 13

1 58

1 68

2

c

32

1

c

32 1

c

31 1

c

41

c

= 1,

1 41

=

+ c

1

η

11

1

(c

)∗,

41

1

η

48

1

η

26

1

(c

)∗.

42

1

η

48

1

c

= 1,

24

42

1

c

= 0,

24

41

1

c

= 1,

24

42

1

c

= 0,

23

42

(3.112)

(3.113)

ïëþñ àíàлогичные условия, êîòîðûå ïîлучаюòñÿ èç (3.113) путем замен индекñîâ

1 → 5, 2 → 6, 3 → 7, 4 → 8

.

Ëåãêî óáåдиться â òîì, ÷òî âñå ñîîтношения (3.110)(3.113) îдновре-

менно âûïîëíÿþòñÿ, åñëè ïîëîæèòü

0

c

= c

13

1 13

1 14

= c

1 31

1 41

= c

= −c

c

31

1 57

= c

1 58

0 57

= −c

1 75

= c

=

1 85

0

= 1, −c

75



2

, −c

3



=

1 3

1 23

, c

2

= −c

23

= −c

1

= c

24

1 32

1 42

2 32

= c

1 67

1 68

2 67

= c

1 76

1 86

=

2 76

=

= 1,



1 3

2 3

,

(3.114)

à ýлементы ìàòðèöû билинейной ôîðìû

η =





η

0

η1⊗ I

3

η2⊗ I





5

(3.115)

126 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

выбраòü ñëåдующим образîì:

0

η

11

= η

1 26

0 33

= η

1 62

0 55

= η

1 48

0 77

= η

= −η

1

= −η

84

1 11

= −η

2

= −η

26

1 33

= −η

2

= η

62

1 55

2 33

= −η

2

= η

77

1 77

= 1.

=

(3.116)

Ñ ó÷åòîì (3.114) ïðèõîäèìîêîí÷àтельноê выражениям äëÿ спиновых

áëîêîâ ìàòðèöû

Γ4(3.108):

C0= σ1⊗ I2, C1= (C1)′⊕ (C1)′′, C2= −σ3⊗ σ1,

(C1)′=

(C1)′′=

√



0 0



1





3

0 0 −1

√

2 −1 0 0

1



0 0



1





3

0 0 1

√

2 1 0 0

√

2 1

√

2 0 0

√

2 −1

√





2





,

(3.117)





2



.





−1√2 0 0

ÐÂÓ ñ ìàòрицами

Γ4(3.108), (3.117) èη(3.115), (3.116), базирующиеñÿ

íà ñõåìå зацеплений (3.95) (èëè (3.107)), óäîâëåòâîðÿþò âñåì íåîáõîäè- ìûì òребованиям (èíâариантноñòü îòíîсительно преобразîâàíèé ïîë- íîé ãðóïïû Ëоренца, âîçìîæíîñòü лагранжåâîé ôîðìóлировки, диракî- ïîдобноñòü â смысле àëãåáðû ìàòðèö спинов

0, 1, 2

è îäíîé ìассой. Ïðè ýòîì спиновые ñîñòîÿíèÿ ñ

äâóêðàòíî âûðîждены, à ñîñòîÿíèÿ ñ

Γµ) è описывàåò частицу ñ набороì

s = 0, 2

s = 1

âûðîждены четыреõêðàòíî. Нераспадение данногî уравнения â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца ñëå- äóåò èç òîãî, ÷òî ñõåìà зацеплений (3.95) íèêàêèì образîì íå ìîæåò áûòü разбитà íà части, óäîâëåòâоряющие òребованиям, ñôîðìóлированным â ðàçäåëå 3.1 íàñòîÿùåé ãëàâû (четноå число зацепляющихñÿ непривîäè- ìûõ êîмпонент, ôîðìèðующих êаждый спиновый áëîê ìàòðèöû парноå ïðèñóòствие сопряженных ïðåäñòàâлений ïðè

l1= l2), â ÷åì ëåãêî óáåдиться íåïîñðåäñòâåííî.

τ ∼ (l1, l2)

Γ4; ïî-

è˙τ ∼ (l2, l1)

Åñëè îáðàтиться ê уравнению

(Γα∂α+ m)BAψAµ= 0,

(3.118)

Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 127

êîòîðîå ïîлучаетñÿ â ðåçóëüòàòå íàâåøèâàíèÿ íà âîëíîâóþ ôункцию

ψ

уравнения ÄÊ ñâîáîäíîãî âåêòорногî индекñà, òî òóò имеет ìåñòî ñëåäó- þùàÿ ñèòóàöèÿ. Âîëíîâàÿ ôункция

ψ

преобразóåòñÿ ïî ïðåäñòàâлению

Aµ



2(0, 0) ⊕ 2(

1

,

) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0)⊗ (

2

1

,

),

2

(3.119)

1

êîòîðîå â общем случае ñîîòâåòñòâóåò ñõåìå зацеплений

2(0, 0)

|

1

2(0, 1) − 4(

1

,

) − 2(1, 0)

2

(3.120)

| | |

1

3

(

,

) − 2(1.1) − (

2

3

1

,

).

2

Ïðè ïîñòðîåíèè íà îñíîâå ñõåìû (3.120) ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà îíà äî- пустимым преобразîâанием базисà ïðèâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ íå зацепляющихñÿ между собой ôðàãìåíòîâ (3.4) è (3.95), ïîдробно иссле- äîâанных âûøå. Ñëåäîâàтельно, ñ интереñующих íàñ позиций уравнение (3.118) íå ñîдержит â ñåáå ничегî íîâîãî ïî сравнению ñ уравнением (3.84).

3.6. Òåíçорная ôîðìóëèðîâêà ïîлевых систем ñ íàáîðîì спиноâûõ ñîñòîÿíèé 1,2 è 0,1,2

Ïîлучим ñíà÷àëà явную òåíçорную ôîðìó 32-êîмпонентногî ÐÂÓ (3.88). Çàпишем åãî â âèäå, àíàлогичноì (3.81), ãäå âñå лоренцевñêèå êî- âарианты ñîîòâåòñòâóþò непривîдимым ïðåäñòàâлениям ãðóïïû Ëîðåí- öà. Äëÿ ýòîãî ñíàáäèì âîëíîâóþ ôункцию â (3.81) ñâîáîäíûì лоренцев- ñêèì индекñîì äëÿ óдобствà êоренную áóêâóΨíàψ, ïîлучим уравнения

−∂µψ

ν[αβ]

[αβ]

, îòâåчающим ïðåäñòàâлению

∂µψ

+ ∂νψ

∂νψ

µ[αβ]

[µν][αβ]

+ iε

+ ∂µψ

µνηξ∂η

ψ

ξ[αβ]

µ[αβ]

[αβ]

+ mψ

(0, 1)

. Переобозна÷àÿ

= 0,

[αβ]

= 0,

µ[αβ]

[µν][αβ]

= 0.

(3.121) (3.122) (3.123)

128 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

Фигурирующие â системе òåíçîðû ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïðåäñòàâлениям

1

ψ

∼ (0, 1), ψ

[αβ]

µ[αβ]

∼ [(

1

,

2

) ⊕ (

1

3

,

)],

2

ψ

[µν][αβ]

∼ [(0, 0) ⊕(0, 1) ⊕ (0, 2)].

(3.124)

Ââåäåì îïðåделения

φ

([µν][αβ])

φ

µ[αβ]

=

1 2

= ψ



ψ

µ[αβ]

[µν][αβ]

ψ

[[µν][αβ]]

φ = a ψ



1

−

δµαψ

3

+ ψ

[αβ][µν]

1

=

2

[αβ][αβ]



η[ηβ]

−

ψ

[µν][αβ]

, φβ= ψ

− δµβψ

η[ηβ]

η[ηα]

,

− iε

µναβ

1

(δµαδνβ− δµβδνα− iε

6



− ψ

[αβ][µν]

,

ψ

η[ην]

µναβ



,

)ψ

[ηξ][ηξ]

(3.125)

ãäåa ïîêà произвîльный êîýôфициент. Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî âåëè- ÷èíû

φ

Êðîìå òîãî, âñå îïðåделяемые ïî ôîðìóëàì (3.125) òåíçîðû, êàê è ñàìîäóàëüíû ïî индекñàì

µ[αβ]

α[αβ]

è

φ

([µν][αβ])

= 0, φ

óäîâëåòâîðÿþò условиям

([µν][αβ])

[αβ]è[µν]

= φ

([αβ][µν])

, φ

, ò. å. ïîдчиняюòñÿ условиям òèïà

([αβ][αν])

= 0.

(3.126)

ψ

[αβ]

1

ε

ψ

2

µναβ

[αβ]

= iψ

[µν]

,

1

ε

ψ

ηξαβ

2

[[µν][αβ]]

= iψ

[[µν][ηξ]]

,

1

ε

φ

ηξαβ

2

µ[αβ]

= iφ

µ[ηξ]

,

1

ε

φ

ηξαβ

2

([µν][αβ])

= iφ

([µν][ηξ])

(3.127)



,

è òî æå ñàìîå ïðè ñóммировàíèè ïî

[µν]

.

Ââåденные ñîãласно îïðåделениям (3.125), (3.127) òåíçорные îáúåêòû ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñëåдующим непривîдимым ïðåäñòàâлениям собствåí- íîé ãðóïïû Ëоренца:

1

φ ∼ (0, 0), φβ∼ (

φ

([µν][αβ])

∼(0,2),

1

,

2

), φ

ψ

µ[αβ]

[[µν][αβ]]

1

∼ (

,

2

∼(0,1).

3

),

2

(3.128)

Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 129

Èç ôîðìóë (3.125) ìîæíî выразить òåíçîðû

ψ

µ[αβ]

, ψ

[µν][αβ]

, фигури-

ðующие â системàõ (3.121)(3.123). Â ðåçóëüòàòå ïîлучим

1

ψ

µ[αβ]

= φ

µ[αβ]

+

(δµαφβ− δµβφα− iε

3

ψ

[µν][αβ]

= ψ

[[µν][αβ]]

+ φ

µαβνφν

([αβ][µν])

) ,

+

1

+

(δµαδνβ− δµβδνα− iε

6a

µναβ

)φ.

Ïîäñòàâëÿÿ (3.129), (3.130) â систему (3.121)(3.123), придем ê óðàâ-

нениям

1

∂νφ

ν[αβ]

+

(∂αφβ− ∂βφα− iε

3

∂νψ

[[µν][αβ]]

αβνξ∂νφξ

+ ∂νφ

([µν][αβ])

) + mψ

+ ∂µψ

[αβ]

= 0,

+

1

+

(δµα∂β− δµβ∂α− iε

6a

µναβ∂ν

)φ +

1

+mφ

µ[αβ]

+

(δµαφβ− δµβφα− iε

3

µαβνφν

)= 0,

(3.129)

(3.130)

(3.131)

(3.132)

−∂µφ

ν[αβ]

−

(δνα∂µφβ− δνβ∂µφα− iε

3

ναβξ∂µφξ

) +

1

+∂νφ



µ[αβ]

+

(δµα∂νφβ− δµβ∂νφα− iε

3

µαβξ∂νφξ

) +



1

+iε

µνηξ

∂ηφ

ξ[αβ]

+

(δξα∂ηφβ− δξβ∂ηφα+ iε

3

ξαβλ∂ηφλ

+

1

+mψ

[[µν][αβ]]

+ φ

([µν][αβ])

+

(δµαδνβ− δµβδνα− iε

6a

µναβ

)φ= 0.

(3.133)

Смысл äàльнейших преобразîâàíèé ñîñòîèò â óñòàíîâлении распа- дения системы (3.131)(3.133). Ñîâершим â уравнении (3.133) операцию ñâåðòêè ïî индекñàì

2∂νφν+

µ, αèν, β

1

ε

αβηξεξαβλ∂ηφλ

3

. Ñ ó÷åòîì условий (3.126) áóäåì иметь

2

+ m

φ = 0.

(3.134)

a

Ñ ïîмощью òîæäåñòâà [108]

ε

ηξαβεξαβλ

= 6δ

ηλ

130 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

уравнение (3.134) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

m

2∂νφν+

φ = 0.

a

(3.135)

Ïðè выборе

a = 1 /2

èç (3.135) вытекàåò

∂νφν+ mφ = 0.

Ñîâершим теперь ñâåðòêó ïî индекñàì

∂νψ

[[αν][αβ]]

+ ∂αψ

+ ∂βφ + mφβ= 0;

[αβ]

çäåñü è äàëåå ïðåäïîлагаетñÿ óæå, ÷òî

ψ

[[αν][αβ]]

+ ψ

[νβ]

èç (3.137) ïîлучим

′

∂νφ

Äàëåå ñâîðà÷èâàåì индекñû

+ ∂βφ + mφµ= 0.

[βν]

µ, α

1

−∂µφ

−

ν[µβ]

3

+∂νφβ+ iε

(∂νφβ− δνβ∂µφµ− iε

µνηξ∂η

φ

1

+

ε

µνηξεξµβλ∂ηφλ

3

+ m(ψ

µ, α

â уравнении (3.132):

a = 1/2

= φ

. Ââîäÿ обозначение

′

,

[βν]

â уравнении (3.133). Ýòî äàåò

νµβξ∂µφξ

) +

i

−

ξ[µβ]

[[µν][µβ]]

ε

µνηβ∂ηφµ

3

+ δνβφ) = 0 .

+

(3.136)

(3.137)

(3.138)

(3.139)

(3.140)

Исклю÷àÿ èç (3.140) ñ ïîмощью уравнения (3.136) ÷ëåí

mδνβφ

è èñïîëü-

çóÿ òîæäåñòâî [108]

ε

ηνµξεµξβλ

= 2(δηλδνβ− δηβδνλ),

уравнение (3.140) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

2

−∂µφ

Переобозна÷àÿ â (3.141) ñâîáîäíûå индекñûνèβ(

ν[µβ]

+

(∂νφβ− ∂βφν+ iε

3

+iε

µνηξ∂η

φ

ξ[µβ]

νµβξ∂µφξ

+ mψ

[[µν][µβ]]

) +

= 0.

ν ↔ β

(3.141)

), çàòåì ñêëà- äûâàÿ ïîлученные òàêèì образîì уравнения ñ (3.141) è èñïîëüçóÿ òîæ- äåñòâенные ñîîтношения

φ

ν[µβ]

+ φ

µ[βν]

+ φ

β[νµ]

= 0, ε

ηνµξ

φ

ξ[ηβ]

− ε

ηβµξ

φ

ξ[ην]

= iφ

µ[νβ]

,