Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 51
Ìàòðèöó билинейной ôîðìû зададим îäíèì èç ñïîсобов:
s
13
s
13
= η
1) η
2) η
Òîãäà спиновые áëîêè
= η
s
14
= η
s
14
= η
s
23
= η
s
23
s
24
Cs, äëÿ êîòîðûõ
= η
= −η
s
24
= η
s
56
s
= η
56
= −η
s
78
s
78
= η
= −η
1/2 ≤ s ≤ n + 1/2
s
,
9,10
s
.
9,10
(îñòàльные
(2.26)
áëîêè íàñ íå интереñóþò, ïîñêîëüêó îíè íå èçменяюòñÿ), могут áûòü
çàïèñàíû â âèäå
Cs=
as| c
− − − −− −− −−
±(cs)+|
s
| b
s
0
,
(2.27)
0 |
ãäå
as=
cs=
0 0 c
0 0 (c
s
c
13
s
(c
)∗(c
14
s
c
15
s
c
25
0 c
0 c
s
c
14
s
24
0 c
0 c
s
15
s
25
∗
)
s
17
s
27
0 c
0 c
s
13
s
)∗(c
14
0
0 0
s
0 c
19
s
0 c
29
s
0 c
17
s
0 c
27
s
c
14
s
∗
)
24
,
(2.28)
0
0
s
19
s
29
;
(2.29)
ìàòðèöà
bsобразîâàíà ïðåäñòàâлениями, íå зацепляющимися ñ ïðåäñòàâ-
лениями (2.24).
Допустимые преобразîâàíèÿ çäåñü по-прежнему èìåþò â базисå Ãåëü-
фандаЯгëîìà áëî÷íóþ ñòðóêòóðó (2.6), ãäå
As=
α
(1)
α
(2)
α
, α0=
α
0
5
α
6
.
,
.
.
52 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
=
α11α
(1)
α
α21α
12
22
, α
(2)
=
α33α
α43α
34
44
.
(2.30)
Òребовàíèå âûïîлнения условий (1.8), (1.14) релятивистñêîé èP-
èíâариантноñòè теории, à òàêæå âîçìîæíîñòè åå лагранжåâîé ôîðìó-
лировки ïðè допустимых преобразîâаниях, задаваемых ìàòрицей (2.30),
ïðèâîäèò ê ограничениям
(1)
α
| α5|2=| α7|2=| α9|2= 1,
= α
(2)
= α, α+α = I ,
(2.31)
α5= α6, α7= α8, α9= α10.
Îòñþäà ïîлучаетñÿ ñëåдующий явный âèä óêазанных преобразîâàíèé
(индекñsäëÿ упрощения çàïèñè опускàåì):
′
c
=| α11|2c13+ | α12|2c24+ α11α
13
′
c
=| α12|2c13+ | α11|2c24− α11α
24
∗
c14+ α
12
∗
c14− α
12
∗
11
∗
11
α12c
α12c
∗
14
∗
14
,
,
′
14
= e
= e
−iϕ
′
c
2i
−iϕ
= eiϕ(α
c
′
c
23
Èñïîëüçóÿ имеющийся произвîë â выборе ýлементîâ
[ (α
[ α
c
∗
11
2
11
′
1i
2
∗
14
∗
c
+ α11α22(c24− c13) ],
12
14
∗
− (α
12
c14α
)2c
= (α11c1i+ α12c2i)α
∗
c2i− α
11
∗
12
)2c14+ α
−1
c1i)α
i
∗
∗
∗
α
(c
11
22
24
−1
,
i
(i = 5, 7, 9).
− c
α11, α
∗
13
) ],
(2.32)
, âñåãäà
12
ìîæíî îáðàòèòü â íóëü зацепления между êðàтными ïðåäñòàâлениями
′
(
c
14
= c
′
23
= 0
), причем âî âñåõ áëîêàõ
Csîдновременно. Êàê ñëåäóåò èç
òретьей è ÷åòâåðòîé ôîðìóë (2.32), äëÿ ýòîãî íàäî ïîëîæèòü
α12=
1
c24− c13±(c24− c13)2+ 4 | c14|
∗
2c
14
Âñå вновь образующиеñÿ зацепления
′
′
, c
15
, c
′
17
c
14
2
α11.
′
, c
îдновременноîá-
19
(2.33)
ращаюòñÿ â íóëü ïðè âûïîлнении условий
c
c
15
25
=
c
c
17
27
=
c
19
=
c
29
1
c24− c13±(c24− c13)2+ 4 | c14|
∗
2c
14
2
,
(2.34)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 53
êîòîðûå îçíà÷àþò ïîëíûé îòðûâ ïðåäñòàâления (2.24) îò îñòàльной ñõå-
ìû зацеплений è, ñëåäîâàтельно, лоренц-инвариантноå распадение ðàñ-
ñìàòðèâаемогî ÐÂÓ.
Обобщение ïîлученных ðåçóëüòàòîâ íà случай, êîãäà ê èñõîäíîé ñõå-
ìå зацеплений (2.23) добавëÿåòñÿ íåñêîëüêî различных ïðåäñòàâлений
òèïà (2.24) èëè êîãäà èõ êðàòíîñòü áîëüøå äâóõ, íîñèò îчевидный õà-
ðàêòåð. Ïðè ýòîì âñåãäà îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàçîðâàòü зацепления
между êðàтными êîмпонентàìè. Ïðè ââåдении æå â ñõåìó (2.23) ïðåä-
ñòàâлений
îòличаетñÿ îò àíàлогичногî случая äëÿ целогî спина.
 êîíå÷íîì èòîãå êàê äëÿ целогî, òàê è äëÿ ïîлуцелогî спина могут
иметь ìåñòî ñëåдующие ñèòóàöèè.
1.Íåêîòîðûåêðàòíûå непривîдимые ïðåäñòàâления (îäíîèëèíåñêîëü-
êî)îêàçûâàþòñÿ îòîðâанными îò îñòàльной ñõåìûзацеплений è ïðè ýòîì
íå зацепляюòñÿ между собой. Â ñèëó òребовàíèÿ релятивистñêîé èíâà-
риантноñòè ÐÂÓ, êîмпоненты âîëíîâîé ôункции, ñîîòâåòñòâующие óêà-
занным ïðåäñòàâлениям, обращаюòñÿ â íóëü. Èíà÷å ãîâîðÿ, данноå ÐÂÓ
ñâîäèòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó.Примероì òàêîãîðîäà ìîæåò ñëóæèòü уравне-
íèå äëÿ частицы ñî спиноì 1, ïðåäëîæåííîå â ðàáîòå [25]. Ýòî уравнение
ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñõåìû зацеплений
τ ⊕˙τ
, ãäåτè
˙
τ
íå зацепляюòñÿ между собой, àíàëèç ничем íå
2(0, 0)
|
1
(1, 0) − (
Êàê ñëåäóåò èç ïðèâåденногî âûøå àíàëèçà, îäíà èç êðàòíûõ ñêàлярных
êîмпонент
ñõåìà
ðåàëèçующая ÐÂÓ ñ ìàêñèìàльным спиноì 1 [56].
Óñòраняя èç (2.36) ñîñòîÿíèÿ ñî спиноì 0, ïîлучим ÐÂÓ ñî ñõåìîé
зацеплений (1.35), эквивàлентноå ïðîстейшему уравнению Äàôôèíà
Êеммера äëÿ âåêòорной частицы (ñì. ðàçäåë
(0, 0)
â (2.35) ÿâëÿåòñÿ лишней, òàê ÷òî ðåàëüíî ïîлучаетñÿ
(1, 0) − (
1
,
2
2
(0, 0)
|
1
1
,
2
2
) − (0, 1).
) − (0, 1),
1.2
(2.35)
(2.36)
).
54 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Рассмоòренноå â [25] íà îñíîâå набора непривîдимых ïðåäñòàâлений
1
2(0, 0) ⊕ (
ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 2 òàêæå упрощаетñÿ çà ñ÷åò îòðûâà è îáðà-
щения â íóëü êðàòíîé ñêàлярной ñîñòàâляющей
2. Îòîðâанные ïðåäñòàâления зацепляюòñÿ между собой. Òîãäà âîçíè-
êàþò äâå (èëè áîëåå) ñõåìû зацеплений, íà îñíîâå êîòîðûõ допускàåòñÿ,
âообще ãîâîðÿ, ïîñòðîåíèå íåзависимых уравнений. Иными ñëîâàìè,
имеет ìåñòî распадение èñõîäíîãî ÐÂÓ ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями íà
áîëåå ïðîñòûå ôðàãменты. Ïðè ýòîì ìîæåò случиться, ÷òî íåзависимые â
смысле собственной ãðóïïû Ëоренца ôðàãментыP-сопряжåíû äðóã äðó-
ãó, ò. å. èñõîäíîå ÐÂÓ â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца ÿâëÿåòñÿ нерас-
падающимся. Наибоëåå интереñíûì è èçâåстным примероì ïîдобногî
òèïà ÐÂÓ ÿâëÿåòñÿ уравнение ДиракàÊýëåðà, êîòîðîìó áóäåò ïîñâящена
ñëåдующая ãëàâà.
3. Разрыв îòдельных зацеплений â èñõîäíîé ñõåìå ñ êðàтными ïðåä-
ñòàâлениями íå ïðèâîäèò ê ïîëíîìó îòðûâó åå непривîдимых èëè ïðè-
âîдимых ôðàãìåíòîâ. Òàêàÿ ñõåìà зацеплений ïðåäñòàâëÿåò áîëåå øèðî-
êèå âîçìîæíîñòè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÐÂÓ ñ заданным ñïåêòðîì ìассовых
è спиновых ñîñòîÿíèé, à òàêæå äëÿ ïîëóôåíîìåíîлогичеñêîãî îïèñàíèÿ
âíóòренней ñòðóêòóðû частиц. ÐÂÓ ñ óêазанными ñâойствàìè áóäóò ðàñ-
ñìîòðåíû â ñëåдующих ðàçделах данной ãëàâû.
1
,
) ⊕ (1, 1) ⊕ (
2
2
3
3
,
2
2
(0, 0)
)
âîëíîâîé ôункции.
2.2. ÐÂÓ ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями äëÿ ÷à-
ñòèö ñî спинами 0 è 1
Рассмоòðèì ñõåìóзацеплений непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû
Ëоренца
(0, 0)
|
1
(0, 1) − 2(
1
,
2
2
) − (1, 0),
(2.37)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 55
âåêòорная ñîñòàâляющая
(1/2, 1/2)
êîòîðîé имеет êðàòíîñòü, равную
äâóì. Â ñîîòâåòствии ñ ðåçóëüòàòàìè ïðåдыдущегî ðàçäåëà ñ ïîмощью
допустимогî преобразîâàíèÿ базисà â ïðîñòранствå ïðåäñòàâления (2.37)
ìû ìîæåì ðàçîðâàòü зацепление, ñâÿçûâающее îäíî èç êðàòíûõ âåêòîð-
íûõ ïðåäñòàâлений (обозна÷èìåãî
ñî ñêàлярным ïðåäñòàâлением
(1/2, 1/2)′, ÷òîáû îòëè÷àòüîò âòîðîãî)
(0, 0)
. Â èòîãå придем ê ñõåìå зацеплений
(0, 0)
|
1
(0, 1) − (
1
,
2
2
) − (1, 0)
(2.38)
1
1
(
,
)′.
2
2
Спиновàÿ ñòðóêòóðà ìàòðèöû
Γ4уравнения, ñòðîÿùåãîñÿ íà îñíîâå
ñõåìû (2.38), òàêîâà:
Γ4=
C
0
C1⊗ I
,
3
(2.39)
ãäå
C0è
C1 áëîêè, ñîîòâåòñòâующие спинам 0 è 1. Пронуìåðóåì непри-
âîдимые êîмпоненты, ñîдержащиеñÿ â (2.38):
(0, 0) ∼ 1, (
1
,
2
2
)′∼ 2, (
1
1
,
) ∼ 3, (0, 1) ∼ 4, (1, 0) ∼ 5.
2
2
1
Òîãäà ñ ó÷åòîì условийP-èíâариантноñòè теории äëÿ спиновых áëîêîâ
C0è
C1ïîлучим выражåíèÿ
C
0
0 0 c
0 0 0
0
c
0 0
31
0
13
, C1=
0 0 c
0 0 c
1
c
42
1
±c
42
c
±c
1
43
1
43
1
24
1
34
0 0
0 0
1
c
24
1
c
34
.
(2.40)
Заметим, ÷òî òребовàíèå èíâариантноñòè ÐÂÓ îòíîсительно преобразî-
âàíèéсобственной ãðóïïû Ëоренца(условия (1.8)) íèêàêèõ äîïîлнитель-
0
íûõ ограничений íà числа
1
c
, c
çäåñü íå накладывàþò.
ij
ij
56 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ýлементы
s
η
ìàòðèöûбилинейнойôîðìûη,êîòîðàÿâ базисå Ãельфан-
ij
äàßãëîìà имеет âèä
0
η
11
1
η
33
η =
η
0
η1⊗ I
η1=
3
, η0=
1
η
22
η
âûáåðåì ñëåдующим образîì:
0
η
11
= −η
0
22
= η
0
33
= η
1
22
= −η
1
33
= ∓η
Óсловия (1.14) ïðèâîäÿò òîãäà ê ñîîтношениям:
0
c
31
= (c
0
)∗, c
13
1
42
= −(c
1
)∗, c
24
Ïîлагаяîñòавшиеñÿ íåзависимые ýлементы
äëÿ áëîêîâ
C0, C1ïîлучаем îêîí÷àтельно:
C0=
0 0 1
0 0 0
1 0 0
, C1=
0 0 1 ±1
0 0 1 ±1
−1 1 0 0
±1 ±1 0 0
η
0 η
1
54
1
45
0
c
, c
13
0
22
1
45
0
= ∓η
1
= (c
43
1
24
,
0
η
33
,
1
= 1.
54
1
)∗.
34
1
, c
равными åдинице,
34
.
(2.41)
(2.42)
(2.43)
Íåòðóäíî óáåдиться â справåäëèâîñòè ðàâенств
(C1)3= 0, C0[(C0)2− I] = 0,
îçíàчающих, ÷òî минимàëüíîå уравнение ìàòðèöû
Γ4ñòðîÿùåãîñÿ ÐÂÓ
(2.44)
имеет âèä
3
2
Γ
(Γ
4
− I) = 0.
4
(2.45)
Èç (2.44) ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîяниям частицы ñî спиноì 0 ñîîòâåòñòâóåò
îäíî (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) çíàчение ìàññû, à âñå собственные çíàчения
áëîêà
C1равны íóëþ, ò. å. ó частицы îòñóòñòâóþò ñîñòîÿíèÿ ñî спиноì
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 57
1. Êðîìå òîãî, èç минимàльногî уравнения (2.45) вытекàåò, ÷òî ìàòðèöà
Γ4непривîäèìà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.
Äëÿ äåфинитноñòè энергии íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî â данноì случае
âûïîлнения неравенствà (ñì. (1.16))
(−1)
4
(Sp(Γ
4
η))2− (Sp(Γ
4
3
4
η))
2
> 0.
(2.46)
Èñïîëüçóÿ выражåíèÿ (2.39)(2.43) äëÿ ìàòðèö
Γ4èη, íåòðóäíî óáåäèòü-
ñÿ, ÷òî
Sp
(Γ
3
4
η) = 0,
à Sp
(Γ
4
η) = 0
4
è ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâенным. Îòñþäà àâòîìàòè÷åñêè вытекàåò справåäëè-
âîñòü условия (2.46).
Òàêèì образîì, 15-мерная лагранжåâà ôîðìóлировкàÐÂÓ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà, опирающаяся íà ñõåìó зацеплений (2.38), ñ непривîдимой ê äèà-
ãîíàëüíîìó âèäó ìàòрицей
Γ4(ñì. (2.39), (2.43)) è ìàòрицей билинейной
ôîðìûη(ñì. (2.41), (2.42)) описывàåò частицу ñî спиноì 0, îäíèì çíà-
чением ìàññû è óäîâëåòâоряет ñòандарòíîìó наборó òребовàíèé, обычно
èñïîëüçóåìûõ â классичеñêîé теории ÐÂÓ.
Òåíçорная ôîðìà ïîлученногî ÐÂÓ имеет âèä (äëÿ îïðåделенноñòè
выбираем â (2.43) âерхние знаки)
∂µψµ+ mψ0= 0,
∂νψ
−∂µψν+ ∂νψµ− ∂µψ
+ ∂µψ0+ mψµ= 0,
[µν]
−∂νψ
′
+ ∂νψ
ν
[µν]
′
+ mψ
µ
+ mψ
[µν]
′
µ
= 0,
= 0,
(2.47)
ãäå
ψ
ñêàëÿð,
0
ψµ, ψ
′
4-âåêòîðû,
µ
ψ
антисимметричный òåíçîð
[µν]
âòîðîãî ранга, ñîîòâåòñòâующие ïðåäñòàâлениям
1
1
1
(0, 0), (
,
), (
2
2
1
,
)′, [(0, 1) ⊕ (1, 0)].
2
2
Èç (2.47) íåñëîæíî ïîлучить уравнение КлейнаФокàÃîðäîíà äëÿ ñêà-
лярной ôункции
ψ
0
( − m2)ψ0= 0,
(2.48)
ïîäòâерждающее, ÷òî системà (2.47) действительно описывàåò частицу
ñî спиноì íîëü.
58 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òåíçорная системà (2.47) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ôîðìå (1.2), ãäå ìàò-
ðèöû
Γµâ базисå
ψ = (ψ0, ψµ, ψ
′
µ
, ψ
)
выражаюòñÿ ÷åðåç ýлементы
[µν]
ïîëíîé ìàòричной àëãåáðû (ñì. [39]) ñëåдующим образîì:
Γµ= e0µ+ eµ0+ e
λ,[λµ]
+ e
[λµ],λ
− e
λ′,[λµ]
− e
[λµ],λ
′
.
(2.49)
Çäåñüèçâåñòíîå правило ñóммировàíèÿïî ïîâòоряющимсяиндекñàì ðàñ-
ïðîñòраняетñÿ íà случай, êîãäà êоренные áóêâû индекñîâ îдинакîâû, íî
îäèí èç íèõ ñíàáæåí øòðèõîì.
Àëãåáðà ìàòðèö
Γµ(2.49) äîñòàòî÷íî ñëîæíà. Íåêîòîðûå åå частные
ðåàлизации äàíû â ðàáîòå [31], ìû èõ íå áóäåì выписывàòü ввиду ãðî-
ìîçäêîñòè. Ïðèâåäåì ëèøü ïîëåçíûå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñîîòíî-
шения, óñòàíàâëèâающие ñâÿçü между 10-мерными ìàòрицами
Γµ(2.49)
è 5-мерными ìàòрицами ÄàôôèíàÊеммера (1.33), ââåäÿ äëÿ íèõ çäåñü
обозначение
(5)
β
:
µ
(5)
β
3
Γ
=
µ
µ
= Bµ,
0
ΓµΓνΓλ= 2δµνBλ+ 2δµλBν+ 2δνλBµ;
p
ñóммировàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïåðåñòановкàì индекñîâ
µ, ν, λ
(2.50)
.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÐÂÓ, описывающегî частицу ñî спиноì 1 è íå ñâî-
дящегîñÿ ê рассмоòренноìó â ðàçäåëå 1.2 уравнению ÄàôôèíàÊеммера
äëÿ âåêòорной частицы, по-прежнему áóäåì èñõîäèòü èç набора непривî-
димых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца (2.37). Íà åãî îñíîâå ìîæåò áûòü
ñôîðмировàíà ñõåìà зацеплений
1
1
(
′
,
)
2
2
|
(0, 0)
(2.51)
|
1
(0, 1) − (
1
,
) − (1, 0),
2
2
â êîòîðîé ðàçîðâàíî зацепление между îäíèì èç âåêòîðîâ è антисим-
ìåòричным òåíçîðîì. Ñòðóêòóðà (2.39) ìàòðèöû
Γ4â базисå Ãельфанда
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 59
ßãëîìà ïðè ýòîì îñòàåòñÿ прежней, à спиновые áëîêè
C
0
0 c
0
c
21
0
c
31
0
12
0 0
0 0
0
c
13
, C1=
0 0 0 0
0 0 c
0 c
0 c
1
43
1
53
C0, C1èìåþò âèä
1
34
0 0
1
c
35
.
0 0
(2.52)
Çäåñü ñîхранена íóмерация непривîдимых ïðåäñòàâлений, èñïîëüçóåìàÿ
ïðè ïîñòðîåíèè уравнения äëÿ спина 0.
Ïîòðåáóåì,÷òîáû âñå собственные çíàчения áëîêà
ëþ, à áëîê
C1èìåë îäèí (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) íåíóëåâîé âåùåñòâенный
C0áûëè равны íó-
êорень. Ýòî ïðèâîäèò ê ñîîтношениям
0
0
0
c
c
+ c
12
21
13
0
c
31
= 0, c
1
34
1
1
c
+ c
43
35
1
c
53
> 0.
(2.53)
Èíâариантноñòü ÐÂÓ îòíîсительно преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû
Ëоренца íàлагает íà ýлементы
1
c
= ±c
34
s
c
ограничения
ij
1
, c
35
1
43
= ±c
1
53
.
(2.54)
Âîçìîæíîñòü ïîлучения èñêîìîãî уравнения èç ôункции Лагранжа
äîстигаетñÿ âûïîлнением условий
0
η
=
11
0
(c
)∗, c
21
0
η
22
0
13
0
c
12
=
0
η
11
0
(c
)∗, c
31
0
η
33
1
34
=
1
η
33
1
(c
)∗,
53
1
η
45
(2.55)
вытекающих èç (1.14).
Ýлементы
s
η
билинейной ôîðìûη(1.13) выбираем ñëåдующим ñïî-
ij
ñîáîì:
0
η
11
Ïîñêîëüêóчисла
= η
0
22
c
= −η
0
, c
12
0
13
0
33
, c
1
34
= −η
1
22
= η
1
33
= ±η
1
45
= ±η
1
54
= 1.
áåçóменьшения общноñòè могут áûòü заданы
(2.56)
âåùåñòâенными è ïîëîжительными [8], òî â ñîîòâåòствии ñ (2.54), (2.55),
(2.56) áóäåì иметь ðàâенствà
0
12
= c
0
, c
21
c
0
13
= −c
0
, c
31
0
12
= c
0
, c
13
1
34
= c
1
43
.
60 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òîãäà, ïîлагая
0
c
12
= 1, c
1
= 1/√2
34
, äëÿ спиновых áëîêîâ
C0, C1ïîлучаем
îêîí÷àтельно выражåíèÿ
C0=
0 1 1
1 0 0
−1 0 0
, C1=
√
0 0 0 0
1
0 0 1 ±1
0 1 0 0
2
0 ±1 0 0
.
(2.57)
Минимàльные уравнения äëÿ áëîêîâ(2.57) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
(C0)3= 0 , C1[ (C1)2− I ] = 0,
(2.58)
ò. å. данноå ÐÂÓ действительно описывàåò частицу ñî спиноì 1 è îäíîé
ìассой.
Èç (2.58) ñëåäóåò, ÷òî минимàльный ïîëèíîì ìàòðèöû
Γ4совпада-
åò ñ (2.45), ïîýòîìó условие äåфинитноñòè энергии îñòàåòñÿ òàêèì æå,
êàê è äëÿ ñêàлярной частицы (ñì. (2.46)). Èñïîëüçóÿ îïðåделения (2.56),
(2.57), íåòðóäíî óáåдиться â åãî справåäëèâîñòè äëÿ рассмàòðèâаемогî
âåêòорногî ïîëÿ.
Òåíçорная ôîðìóлировкà ïîñòðîенногî â базисå ÃельфандаЯгëîìà
ÐÂÓ òàêîâà:
∂µψµ+ ∂µψ
∂λψ
− ∂µψ0+ mψµ= 0,
[µλ]
−∂µψν+ ∂νψµ+ mψ
′
+ mψ0= 0,
µ
∂µψ0+ mψ
[µν]
′
µ
= 0,
= 0.
Èç системы (2.59) вытекàþò уравнения âòîðîãî порядкà
( − m2)(ψµ+ ψ
′
) = 0, ∂µ(ψµ+ ψ
µ
′
) = 0,
µ
îçíàчающие, ÷òî данная системà описывàåò частицу ñî спиноì 1.
Ìàòðèöû
Γµòåíçорной системы (2.59), çàïèñанной â ôîðìå (1.2), ïî
àíàлогии ñ (2.49) могут áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
′
Γµ= e0µ− eµ0+ e
Ìåæäó ìàòрицами
0µ
Γµ(2.60) è 10-мерными ìàòрицами ÄàôôèíàÊеммера
(10)
β
µ
= e
+ e
λ,[λµ]
µ′0
+ e
+ e
λ,[λµ]
[λµ],λ
+ e
[λµ],λ
.
(2.59)
(2.60)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]